精品解析：广东省佛山市顺德区某校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2024学年第二学期期中素养提升活动（初一年级数学） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一种细胞的直径约为米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知∠α=35°，那么∠α的余角等于(　　) A. 35° B. 55° C. 65° D. 145° 5. 如图所示，用尺规作图“作一个角等于已知角”，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（ ） A. B. C. D. 7. 下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（   ） A. B. C. D. 8. 数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①，②；③平分；④平分．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ②④ D. ①②③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若则________． 12. 如图，已知，请添加一个条件：______，使．（写出一个即可） 13. 已知实数满足，则______． 14. ______． 15. 如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为_____． 16. 如图，在四边形中，，，，且，则___________（用含α的代数式表示）． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知，垂足分别为点、，，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：，（已知） （垂直的定义）， ①______（②______）， ∴③______（④______）． 又（已知）， （⑤______）， （⑥______）， （两直线平行，同位角相等）． 20. 作三角形：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹）． 21. 如图，，，，点在同一直线上，点在直线的异侧，． （1）求的长； （2）求证：． 22. 模型意识以及知识运用 （1）【感知模型】如图1，正方形的顶点在直线上，分别过点、作于，于．则______． （2）【模型应用】如图2所示，在中，，，于，于，，，则的长为______． （3）【模型变式】如图3，在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，求证：． 23. 配方法应用广泛，除了用来解一元二次方程，还可以求代数式的最大值或最小值． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最大值． 解：． ， ， 当时，取最大值，最大值是5． 试利用配方法解决下列问题： （1）求出的最小值． （2）已知，试判断的大小，并说明理由． （3）如图，在中，，，，，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发以的速度向终点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小？最小面积为多少？ 24. 如图，已知直线与直线相交于点，于点，且，为射线上一点，过点作的平行线，与直线相交于点，直线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转所得的直线与直线相交于点，设旋转时间为． （1）求的度数； （2）为延长线上一点，分别为，的三等分线，且，． ①如图，当时，探究与的数量关系； ②当时，以上数量关系是否仍然成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请直接写出此时与的数量关系． （3）如图，作的角平分线，与的角平分线交于点．当直线开始旋转的同时，三角形也开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到三角形，当停止旋转时，三角形也同时停止旋转，在旋转过程中，直接写出当直线与三角形的某一边所在直线垂直时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期中素养提升活动（初一年级数学） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一种细胞的直径约为米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用合并同类项法则以及单项式除以单项式运算法则和积的乘方运算法则化简、同底数幂的乘法运算法则进行求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 3. 将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项符合题意； D、由，此选项不符合题意； 故选：C． 4. 已知∠α=35°，那么∠α的余角等于(　　) A. 35° B. 55° C. 65° D. 145° 【答案】B 【解析】 【分析】根据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角计算． 【详解】解：∵∠α=35°， ∴它的余角等于90°﹣35°=55°． 故选B． 【点睛】本题考查余角的概念，掌握概念正确计算是本题的解题关键． 5. 如图所示，用尺规作图“作一个角等于已知角”，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形全等的判定．利用基本作图得，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：由作法得， 则可根据“”判定， 所以． 故选：A． 6. 如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴中边上的高是． 7. 下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式形式为，要求相乘的两个二项式满足一项相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可， 【详解】解：A、不存在互为相反数的对应项，不能用平方差公式计算； B、，两项都相同，是完全平方形式，不能用平方差公式计算； C、，相同项为，和互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可用平方差公式计算； D、，是完全平方式，不能用平方差公式计算． 8. 数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 9. 为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，以及平行公理推论，解题的关键在于熟练掌握相关知识．过点作，得到，以及结合平行公理推论证明，得到，最后根据运算求解，即可解题． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①，②；③平分；④平分．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形外角的性质，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断③④． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，所以②正确； 设与交于点 ， ，所以①正确； 过O点作于E，于F，如图， ≌， ， 平分，所以④正确； 而， ，所以③错误． 综上所述：正确的结论是①②④． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查同底数幂相除：底数不变，指数相减，熟练掌握计算法则是解题的关键，根据法则计算即可得到答案 【详解】解：当时， ． 故答案为：． 12. 如图，已知，请添加一个条件：______，使．（写出一个即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形全等判定方法有、、、等，关键是要根据题意选择合适的判定方法． 由题可知和有公共边，，可根据或来判定三角形全等． 【详解】解：①添加一个条件：， 证明：在三角形和中 ， ∴， ②添加一个条件：， 证明：在三角形和中 ， ∴， 故答案为：（或） 13. 已知实数满足，则______． 【答案】17 【解析】 【分析】根据完全平方公式得到，进而可知的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 14. ______． 【答案】 【解析】 【分析】采用积的乘方的逆用进行计算即可． 【详解】解：． 15. 如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，可得，即得，进而得到，同理可得，，再根据即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，，且，则___________（用含α的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，补角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形的是解题的关键. 延长到点G，使，连接，证明，得，，再利用证明，得，从而解决问题． 【详解】解：如图，延长到点G，使，连接， ，， ， 又，， ∴， ，， 若， 则， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算： 【答案】7 【解析】 【详解】 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，24 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式，整式化简求值，先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，得，然后把代入求值，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 19. 如图，已知，垂足分别为点、，，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：，（已知） （垂直的定义）， ①______（②______）， ∴③______（④______）． 又（已知）， （⑤______）， （⑥______）， （两直线平行，同位角相等）． 【答案】①；②同位角相等，两直线平行；③；④两直线平行，同旁内角互补；⑤同角的补角相等；⑥内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等等知识点，熟练掌握平行线的判定和性质是解决此题的关键． 根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识作答即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 20. 作三角形：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，先作已知角，再作已知边，即可求得结果，掌握尺规作图的方法是解题的关键． 【详解】解：如图：①作， ②在上截取，在上截取，连接， ， 则即为所求． 21. 如图，，，，点在同一直线上，点在直线的异侧，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）5 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，证明，根据全等三角形的性质即可求解； （2）由（1）中得出，进而得出，证明，得出，最后根据平行线的判定即可得证． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ， ， ，， ， ， ． 22. 模型意识以及知识运用 （1）【感知模型】如图1，正方形的顶点在直线上，分别过点、作于，于．则______． （2）【模型应用】如图2所示，在中，，，于，于，，，则的长为______． （3）【模型变式】如图3，在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，求证：． 【答案】（1） （2）6 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）依据题意，由于E，于F，则，，又四边形是正方形，可得，，从而，进而，最后由即可判断得解； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，∵于E，于F， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：∵，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23. 配方法应用广泛，除了用来解一元二次方程，还可以求代数式的最大值或最小值． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最大值． 解：． ， ， 当时，取最大值，最大值是5． 试利用配方法解决下列问题： （1）求出的最小值． （2）已知，试判断的大小，并说明理由． （3）如图，在中，，，，，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发以的速度向终点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小？最小面积为多少？ 【答案】（1）． （2）．理由见解析 （3）时，四边形面积的最小值，最小面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方的非负性求出当的值为3时，的面积有最大，最大值为．由四边形的面积得到当时，四边形面积的最小值，最小面积为． 【小问1详解】 解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为，即的最小值为． 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ， ， ∴． 【小问3详解】 解：由题意得：， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为9，即：当的值为3时，的面积最大，最大值为． ∵四边形的面积， 当的面积最大时，四边形的面积有最小值， 即当时，四边形面积的最小值，最小面积为． 24. 如图，已知直线与直线相交于点，于点，且，为射线上一点，过点作的平行线，与直线相交于点，直线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转所得的直线与直线相交于点，设旋转时间为． （1）求的度数； （2）为延长线上一点，分别为，的三等分线，且，． ①如图，当时，探究与的数量关系； ②当时，以上数量关系是否仍然成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请直接写出此时与的数量关系． （3）如图，作的角平分线，与的角平分线交于点．当直线开始旋转的同时，三角形也开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到三角形，当停止旋转时，三角形也同时停止旋转，在旋转过程中，直接写出当直线与三角形的某一边所在直线垂直时的值． 【答案】（1） （2）①；不成立， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）证明，结合，证明，可得，再进一步可得答案； （2）①当时，作，分别求出，进而求出关系； ②如图，设与相交于点，，作，同理①分别求出，进而求出关系即可； （3）分四种情况讨论：如图，当于时，如图，当于时，记与于，如图，当于时，如图，当第二次于时，再利用数形结合建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，如图，由题意得， ， ∴，， ， 作， ， ， ， ∵， 由（），得， ∵， ∴， ∴； ②不成立，，理由如下： 如图，设与相交于点，作， 同理①可得，，，， ，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，，作的角平分线，与的角平分线交于点． ∴，，， ∴， ∵，， 如图，当于时， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 如图，当于时，记与于， 此时，， ∵， ∴， 解得：， 如图，当于时， 同理：，， ∴， 解得：， 如图，当第二次于时， 由对顶角相等可得：，，， ∴， 解得：， 综上：当或或或时，直线与三角形的某一边所在直线垂直． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，平行线的性质，一元一次方程的定义，角的动态定义的含义，本题的难度很大，画出图形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $