精品解析：重庆市渝西中学2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试卷

高2028届高一（下）第三次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为复数满足， 所以 ， 所以的虚部为. 2. 一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图 ，如图所示， ， ，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法画出三角形 的原图并确定对应边长，结合三角形面积公式计算即可. 【详解】将直观图还原为，如下图所示， 其中 ， ， ，则  . 3. 已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为 ，则球心到该截面所在平面的距离为（ ） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm 【答案】C 【解析】 【分析】利用球心到截面的距离与球半径以及圆半径构造直角三角形，根据勾股定理解决问题． 【详解】因为截面圆的周长为 ，则 ，解得； 因为球半径，设球心到截面所在平面的距离为， 则，即，解得 ． 4. 已知直线，，，下列命题中正确的是（ ） A. 若， ，则 B. 若， ，则 C. 若 ，则，，共面 D. 若，异面，，异面，则，异面 【答案】B 【解析】 【详解】对于选项A，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，例如正方体中交于同一顶点的三条棱两两垂直，但并不都平行，故A错误. 对于选项B，根据空间中平行线的性质，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则必垂直于另一条，故若 ，则，B正确. 对于选项C，互相平行的三条直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱互相平行，但它们不共面，故C错误. 对于选项D，若 异面，异面，与可能平行、相交或异面，位置关系并不确定，故D错误. 5. 如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连结，，根据题中条件，得到异面直线与所成角即为直线 与所成角，进而可求出结果. 【详解】 连结，，因为在正方体中，M，N分别为的中点， 所以， 因此，异面直线与所成角即为直线 与所成角，即，显然为. 故选：B 6. 设 ， ，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量在向量上的投影向量公式，由系数相等得到夹角的关系式，从而求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为，其中为与的夹角，且 ，因为在上的投影向量为，所以, 将 ， 代入得，解得，因为 ，且，所以. 7. 已知中，，，则 等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理与余弦定理化简求解即可. 【详解】由余弦定理可得，因为 ，所以， 即，解得或， 由正弦定理可得， 即，即或， 因为，所以不合题意， 同理，当时，， 解得，解得，故 等于或. 8. 已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，利用余弦定理计算即可得到答案. 【详解】因为 平面， 平面 ，所以 ，， 在正方形中，对角线平分直角，得， 将平面沿展开，与平面共面， 此时，且 ， 当 三点共线时 最小，此时 ， 由余弦定理可得，  开方得：，即 的最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足 ，以下说法正确的有（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第一象限 C. D. 若是方程 的一个根（ ），则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A： ，故A正确； 对B：在复平面内对应的点为，在第一象限，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：由题意，方程 的另一个根为 ， 由韦达定理， ，故D正确. 10. 如图所示，线段是圆 的弦，其中 ，，点为圆 上任意一点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值是48 D. 当 时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A：结合半径 ， 即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助平面向量线性运算与数量积公式计算即可得；对D：取中点，再分 在、之间与在、 之间讨论即可得. 【详解】对A：由圆 的半径 ，故 ，故A正确； 对B： ，故B正确； 对C： ， 当且仅当、共线时，等号成立，故C正确； 对D： ，则，取中点，则、C、三点共线， 若 在、之间，则， 若在、 之间，则，故D错误. 11. 在棱长为2的正方体中，点是正方体内及其表面上一动点，且 面，则线段的长度可能是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】通过面面平行与线面平行得到点P的轨迹，从而求出线段的取值范围. 【详解】 在正方体中：， 且 ，，因此平面 平面 ， 已知 平面，且在平面 上，根据 “过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”，所有满足条件的点都在平面 上， 平面 与正方体的交线为 （连接顶点、 、），因此的轨迹是等边 的内部及边界； 因为（正方形对角线垂直），（正方体侧棱垂直底面），且 ，所以 平面 ，又 平面 ，因此 ， 同理， ，，且，所以 平面 ， 又 平面 ，因此 ， 因为 ，且、 平面 ，所以 平面 ， 设 与平面 的交点为，则是等边 的重心，且 是点到平面 的距离，即 的最小值； 到等边 三个顶点的距离为 的最大值， 正方体棱长为 2，体对角线， 等边 的重心将体对角线 分为两段： （到平面 的距离）， 到 三个顶点、 、的距离相等，均为面对角线长度： 综上， 的取值范围是 ： 选项 A：，不可能 选项 B：，不可能 选项 C：，是最小值，可能 选项 D：，是最大值，可能 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】已知，， 由于，所以 ，解得 . 13. 已知一个圆锥的底面直径等于母线长，侧面积为 ，则该圆锥的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据侧面积列出母线与半径的等式关系，求出半径与母线长，利用母线与底面半径求棱锥的高，代入圆锥的体积公式计算体积． 【详解】设 为圆锥的底面半径，母线长，高, 由题意知， ，由圆锥侧面积公式可知 ，解得， 则，则， 则圆锥的体积为 ． 14. 如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为，等边三角形的中心为，由题意得，，在中利用勾股定理即可求出答案. 【详解】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为, 因为汤圆与碗的内壁相切，所以， 又因为三颗汤圆两两相切，所以， 设等边三角形的中心为， 因为汤圆与碗口等高，所以， 在中，， 在中，， 即，即， 所以，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）若向量与平行，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方的方法来求得正确答案. （2）根据向量平行列方程来求得. 【小问1详解】 ， 所以. 【小问2详解】 由于向量与平行， 所以存在实数 ，使得， 所以，解得. 16. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． （1）求圆柱的侧面积； （2）求圆柱的外接球的表面积； （3）证明：平面 ． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用圆柱的侧面积公式，即可求解； （2）根据条件，求出外接球的半径，即可求解； （3）取的中点．连接，根据条件得，再由线面平行的判定定理，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以圆柱的母线长为，底面半径为， 则圆柱的侧面积 【小问2详解】 取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为. 【小问3详解】 取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又 ，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又 平面 ，平面 ，所以平面 ． 17. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）若，在棱上是否存在一点，使 平面？并证明你的结论． 【答案】（1） （2）存在，当是棱中点时， 平面，证明如下： 取中点，连接 ，，则 ， 因为 平面， 平面，所以 平面， 在 中，为中点，为中点， ， 平面， 平面，所以 平面； ， 所以平面 平面，因为 平面 ，所以 平面. 【解析】 【分析】（1）取的中点，结合异面直线夹角定义证明 为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （2）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明 平面， 平面，再根据面面平行判定定理证明平面 平面，由此证明 平面. 【小问1详解】 取的中点，因为为中点，所以在 中， 为中位线，所以 ，， 所以 为异面直线与所成角（或其补角）， 在 中，，，， 由余弦定理可得，又 ， 所以 为锐角，所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 略. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若为锐角三角形，求 的取值范围． （3）若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由正弦定理转化为三角函数，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦型三角函数求值域即可； （3）由余弦定理及基本不等式求出 范围，再由三角形面积公式得出，再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得：， 因为， 所以， 即， 由可得，即， 由，可得. 【小问2详解】 因为， 所以 ， 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以，， 所以. 【小问3详解】 如图， 由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立， 又， 化简可得，， 所以，当且仅当时等号成立. 故BD长度的最大值为. 19. 中，角所对的边分别为．为边上的中线，点，分别为边上动点，交于．已知，且． （1）求； （2）设，若，求； （3）在（2）的条件下，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理得出 ，即可求解； （2）由平面向量的线性运算及数量积的运算律列出关于的方程即可求解； （3）设，由三点共线，得，由平面向量数量积的运算律得出，根据及三角形面积公式得出，再结合的范围即可求解． 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理， 由余弦定理 因为，所以 ． 【小问2详解】 因为为中点，所以， 所以 所以， 即 ， 解得或， 又 ，所以，所以的余弦值为． 【小问3详解】 设 ， ， 由三点共线，得， ， ， 所以 ， ， 所以，所以． 所以． 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2028届高一（下）第三次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2. 一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图 ，如图所示， ， ，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为 ，则球心到该截面所在平面的距离为（ ） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm 4. 已知直线，，，下列命题中正确的是（ ） A. 若， ，则 B. 若， ，则 C. 若 ，则，，共面 D. 若，异面，，异面，则，异面 5. 如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（ ） A. B. C. D. 6. 设 ， ，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，，，则 等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足 ，以下说法正确的有（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第一象限 C. D. 若是方程 的一个根（ ），则 10. 如图所示，线段是圆 的弦，其中 ，，点为圆 上任意一点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值是48 D. 当 时， 11. 在棱长为2的正方体中，点是正方体内及其表面上一动点，且 面，则线段的长度可能是（ ） A. 2 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则________． 13. 已知一个圆锥的底面直径等于母线长，侧面积为 ，则该圆锥的体积为________． 14. 如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）若向量与平行，求实数的值． 16. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． （1）求圆柱的侧面积； （2）求圆柱的外接球的表面积； （3）证明：平面 ． 17. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）若，在棱上是否存在一点，使 平面？并证明你的结论． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若为锐角三角形，求 的取值范围． （3）若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 19. 中，角所对的边分别为．为边上的中线，点，分别为边上动点，交于．已知，且． （1）求； （2）设，若，求； （3）在（2）的条件下，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $