精品解析：吉林省吉林市第七中学校2025-2026学年九年级下学期6月中考模拟数学训练题

九年级数学学科诊断训练题 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 杜甫出生于公元年，我们记作，那么周武王出生于公元前年，可记作（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干给出的公元年份的记法，推出公元前年份的表示方法即可． 【详解】解：∵公元年份记作正数，公元和公元前是一对相反意义的量， ∴公元前年份记作负数， ∴公元前年可记作． 2. 汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣艺术．如图是一个汴绣干果盒，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据立体图形的左视图的定义即可解答． 【详解】解：如图其左视图为． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式运算的法则计算即可． 【详解】A、，计算错误，该选项不符合题意； B、，计算错误，该选项不符合题意； C、，计算错误，该选项不符合题意； D、计算正确，该选项符合题意． 4. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：四个选项中，选项A、B、C、D中图形是轴对称图形；选项C中图形是中心对称图形， 选项C中图形既是轴对称图形又是中心对称图形． 5. 如果关于 的不等式的解集为，那么实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，先解不等式得到含的解集，再结合已知的解集列等式求解即可． 【详解】解：∵， 移项得：， 两边同除以得：， 又∵不等式的解集为， ∴， 等式两边同乘得：， 解得： 6. 如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（ ）度 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质．由作法得：，根据等腰三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：由作法得：， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式的各项，发现都含有公因数 ，先提取公因式得到；接着观察括号内的式子，它符合平方差公式的形式，再利用平方差公式进一步分解即可． 【详解】解： ． 8. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得 ，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则 ，即 ； 故答案为： ． 9. __________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别化简负整数指数幂、绝对值、特殊三角函数值、零指数幂，再四则运算即可． 【详解】解： ． 10. 吉林市马拉松为世界田联金标赛事，并于年月 日上午 鸣枪开跑，其中吉马外地参赛选手 人，写成科学记数法为__________人． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 如图，已知，正五边形 的顶点、分别在射线、 上，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的内角公式可得，则，利用三角形内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵五边形 是正五边形， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共11个小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题应该先将两个分式的分子与分母通分后，再按同分母分式进行加减，最后化简即可. 【详解】原式 . 【点睛】本题考查分式的混合运算，要求学生能够灵活运用各运算法则. 13. 如图所示的两张图片形状完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，四张形状相同的小图片分别用、、、b表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，则画树状图可展示所有12种等可能的结果，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：四张形状相同的小图片分别用、、、b表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为4， 所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率． 14. 列二元一次方程组解应用题：“上禾下禾”问题（《九章算术》第八章第二问）：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问秉各几何？”译成现代文为：现有上等禾谷7捆，若从总实重中减去1斗，再加上2捆下等禾谷，则总重为10斗；另有下等禾谷8捆，若从总实重中加上1斗，再加上2捆上等禾谷，则总重也为10斗．问：上等禾谷、下等禾谷每捆各重多少斗？ 【答案】上等禾谷每捆重斗，下等禾谷每捆重斗 【解析】 【详解】解：设：上等禾谷每捆重x斗，下等禾谷每捆重y斗． 根据题意得：， 解得： 答：上等禾谷每捆重斗，下等禾谷每捆重斗． 15. 如图，在矩形中，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，再利用全等三角形的判定证得结果． 【详解】证明：由折叠的性质知，． 四边形是矩形， ， 在 和 中， ， ． 16. 图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，，，三个格点均在上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列要求画图．（画图过程用虚线表示） （1）在图①中，画出的圆心，并直接写出直径的长________． （2）在图②中，画出圆周角，使得． 【答案】（1）如图，图中点即为所求的圆心， ， （2）如图，图中即为所求（答案不唯一）， 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及，得到是的直径，根据矩形的对角线相等且相互平分，作矩形的对角线交于点，点即为所求；根据勾股定理即可求得的直径的长度． （2）根据格点的性质作等腰直角三角形 ，即可得 ，则与的交点即为所求，连接，根据同弧所对的圆周角相等，即可得到 ． 【小问1详解】 解：根据作图可知，， ，是的直径， ∴在中， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略． 17. 蛇年春晚舞台上扭秧歌的机器人吸引了无数关注，使人形机器人的“智能”被给予了更高的期待，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻．某企业为了调查谐波减速器运行时产生的噪音情况，利用声光测试仪对一批谐波减速器进行了声光测试，根据分贝数分为四个等级，并绘制了如下尚不完整的统计图表． a.分贝等级频数分布表 等级 分贝数 频数 A 45 B 38 C D 2 b.分贝数在B等级的是 c.分贝等级扇形统计图 根据以上信息，回答以下问题： （1）这批调查的谐波减速器共有_________台，表中 的值为_________． （2）这批减速器的分贝数的中位数是_________ ，B等级分贝数的众数是_________ ． （3）已知产生噪音不大于60 的为合格产品，若该企业一季度共生产了1200台谐波减速器，估计一季度分贝合格的谐波减速器有多少台？ 【答案】（1）100；15 （2）32.3；36.5 （3）996台 【解析】 【分析】本题考查统计表，扇形统计图，求中位数、众数，利用样本估计总体，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用B等级频数除以其所占百分比，即可得到这批调查的谐波减速器总台数，进而即可求出表中 的值； （2）根据中位数，众数定义求解，即可解题； （3）用1200乘以噪音不大于60 的所占比，即可解题． 【小问1详解】 解：这批调查的谐波减速器共有（台）， 则， 故答案为：100；15； 【小问2详解】 解：这批调查的谐波减速器共有台， 按从小到大的顺序排列后，第台分贝数分别为， 这批减速器的分贝数的中位数是 ， B等级分贝数出现的次数最多， B等级分贝数的众数是 ． 故答案为：32.3；36.5； 【小问3详解】 解：（台）， 答：一季度分贝合格的谐波减速器有996台． 18. 如图，坐落于吉林文庙前方的孔子行教像，从与相距 的点D处观测塑像顶部A的仰角，观测塑像底部B的仰角，求塑像的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，在中，利用正切函数求得，在 中，利用正切函数求得，即可根据求得旗杆的高度． 【详解】解：由已知得，， 在中，， ∴， 在 中，， ∴， ∴． 答：塑像的高度约为． 19. 如图，在四边形中，，，，，．动点P从点A出发，以速度沿线段向终点B运动．过点P作交折线于点Q，以为边向右侧作正方形．设点P的运动时间为，正方形与四边形重叠部分图形的面积为． （1）____________． （2）当点M与点C重合时，求x的值． （3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）45 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）过作于，根据矩形的性质得到,，求得，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到； （2）根据正方形的性质得到，求得，得到， （3）当时，根据正方形的性质得到；当时，，，根据三角形和正方形的面积公式得到；当时，，，即可求解． 【小问1详解】 解：（1）过作于， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ； 故答案为：45； 【小问2详解】 解：，， ， ∴四边形 是矩形， ∴ ∵四边形是正方形， ， ∵，， ∴， ∴出发时， ∵动点P从点A出发，以速度沿线段向终点B运动，设点P的运动时间为 ， ； 【小问3详解】 解：如图①， 由（2）可知，当时，点M与点C重合， ∴当时，则； 如图②， 当点Q与点C重合，此时， ∴当时，则，， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 如图③， 当点P与点B重合，此时， ∴当时，则， ， 综上所述，． 20. 清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间 （小时）之间的函数关系如图所示． （1）小刚在服务区休息了_____小时； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 【答案】（1）1 （2） （3）3.2 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，可得两点之间的函数值无变化，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解： 根据函数图象可得小刚在服务区休息了1小时； 【小问2详解】 解：设所在直线对应的函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以线段所在直线对应的函数表达式为． 【小问3详解】 解：当时， 解得：， ∴小刚离开家3.2小时． 21. 综合与实践 问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为． （1）观察思考：如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________． （2）探究证明：如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （3）拓展延伸：如图3，连接 ．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段 的长． 【答案】（1） （2） 四边形是菱形， 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴ ， 由旋转可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是菱形； （3） 的长为或 或． 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得出 ，根据旋转的性质得出 ，进而可得是等边三角形，即可求解； （2）根据菱形的性质得出 ，由旋转可得， ，则，进而证明 ，即可得证 （3）①当时，如图所示，设交于点，过点作于点，勾股定理求得的长，进而求得的长，勾股定理即可求解；②当 时，证明三点共线，即可求解．③当，且在上方时，过点E作于点G，得到，设，，利用勾股定理求出， ，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴ ， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，如图所示，设交于点，过点作于点， ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ，， 又 ，， ∴， ∴， ∴， ②如图所示，当 时， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴； ③如图，当，且在上方时，过点E作于点G ∴ ∴ ∴设， ∵，即 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴综上所述， 的长为或 或． 【点睛】本题考查了正切的定义，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 已知抛物线： （）与 轴相交，两点（其中为坐标原点），过点作直线 轴于点，交抛物线于点，如图所示． （1） ________． （2）若点在抛物线的对称轴上，则的长为________． （3）把抛物线在直线右侧的部分（含点）记为图象．用含的式子表示图像的最高点的坐标； （4）已知点到轴的距离为，把抛物线在直线左侧的部分（不含点）记为图象．图象沿轴向下平移个单位长度得到图象．当图象上恰好只有两个点到 轴的距离等于该点到直线 的距离的倍时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）0 （2）12 （3）或 （4） 或或 【解析】 【分析】（1）原点的横纵坐标代入解析式，即可求解； （2）根据对称轴公式和题意，可得 ，则 ，对称轴为直线，再求出点的坐标，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴和顶点坐标，再根据图象和点与对称轴的位置，分类讨论即可； （4）根据题意，先求出，再根据解析式求出点，顶点以及平移后对应点，，结合题意可得满足条件的两个点是图象与直线 和 的交点，画出图象分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线： （）过原点， ，则 ； 【小问2详解】 ， 对称轴为直线 ， 点在抛物线的对称轴上， ，解得 ， 对称轴为直线， 抛物线与 轴相交，两点， ，两点关于对称轴对称， ， ； 【小问3详解】 解： ， ， 抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为， 轴，交抛物线于点，点， ， ， ， 当 时，即 时，图像的最高点的坐标为； 当 时，即 时，图像的最高点的坐标为； 综上所述：图像的最高点的坐标为或； 【小问4详解】 解：设抛物线的顶点为， 点到轴的距离为， ，解得或 ， ， ， 抛物线： ，点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线，顶点，即点在对称轴右侧， 图象沿轴向下平移个单位长度得到图象， 平移后点，的对应点坐标分别为，， 图象上恰好只有两个点到 轴的距离等于该点到直线 的距离的倍， 这两个点的纵坐标满足条件， ，即 或 ， 满足条件的两个点是图象与直线 和 的交点， 如图1， 当直线 过点时， ，解得，此时图象(不包含)与直线 和 各有一个交点； 如图2， 当直线 过点时， ，解得，此时图象与直线 和 各有一个交点； 如图3， 当直线 过点时， ，解得 ，此时图象(不包含)只与直线 有一个交点； 如图4， 当直线 过点时， ，解得，此时图象只与直线 有一个交点； 综上所述，结合图象可得，当图象上恰好只有两个点到 轴的距离等于该点到直线 的距离的倍时，的取值范围为 或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科诊断训练题 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 杜甫出生于公元年，我们记作，那么周武王出生于公元前年，可记作（ ）． A. B. C. D. 2. 汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣艺术．如图是一个汴绣干果盒，其左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果关于的不等式的解集为，那么实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，以A为圆心， 长为半径画弧交 于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（ ）度 A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：________． 8. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 9. __________． 10. 吉林市马拉松为世界田联金标赛事，并于年月 日上午 鸣枪开跑，其中吉马外地参赛选手 人，写成科学记数法为__________人． 11. 如图，已知，正五边形 的顶点、 分别在射线、 上，则_____ ． 三、解答题（本大题共11个小题，共87分） 12. 计算：． 13. 如图所示的两张图片形状完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？ 14. 列二元一次方程组解应用题：“上禾下禾”问题（《九章算术》第八章第二问）：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问秉各几何？”译成现代文为：现有上等禾谷7捆，若从总实重中减去1斗，再加上2捆下等禾谷，则总重为10斗；另有下等禾谷8捆，若从总实重中加上1斗，再加上2捆上等禾谷，则总重也为10斗．问：上等禾谷、下等禾谷每捆各重多少斗？ 15. 如图，在矩形中，将矩形沿对角线折叠，点落在点 处，交 于点．求证：． 16. 图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，，，三个格点均在上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列要求画图．（画图过程用虚线表示） （1）在图①中，画出的圆心，并直接写出直径的长________． （2）在图②中，画出圆周角，使得． 17. 蛇年春晚舞台上扭秧歌的机器人吸引了无数关注，使人形机器人的“智能”被给予了更高的期待，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻．某企业为了调查谐波减速器运行时产生的噪音情况，利用声光测试仪对一批谐波减速器进行了声光测试，根据分贝数分为四个等级，并绘制了如下尚不完整的统计图表． a.分贝等级频数分布表 等级 分贝数 频数 A 45 B 38 C D 2 b.分贝数在B等级的是 c.分贝等级扇形统计图 根据以上信息，回答以下问题： （1）这批调查的谐波减速器共有_________台，表中的值为_________． （2）这批减速器的分贝数的中位数是_________ ，B等级分贝数的众数是_________ ． （3）已知产生噪音不大于60 的为合格产品，若该企业一季度共生产了1200台谐波减速器，估计一季度分贝合格的谐波减速器有多少台？ 18. 如图，坐落于吉林文庙前方的孔子行教像，从与 相距 的点D处观测塑像顶部A的仰角，观测塑像底部B的仰角，求塑像 的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，，） 19. 如图，在四边形中，，，，，．动点P从点A出发，以速度沿线段 向终点B运动．过点P作交折线于点Q，以为边向右侧作正方形．设点P的运动时间为，正方形与四边形重叠部分图形的面积为． （1）____________． （2）当点M与点C重合时，求x的值． （3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 20. 清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． （1）小刚在服务区休息了_____小时； （2）求 所在直线对应的函数表达式； （3）当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 21. 综合与实践 问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点， 旋转后的对应点分别为 ，．旋转角为． （1）观察思考：如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________． （2）探究证明：如图2，当，且时， 与 交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （3）拓展延伸：如图3，连接 ．在旋转过程中，当 与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段 的长． 22. 已知抛物线： （）与轴相交，两点（其中为坐标原点），过点作直线 轴于点，交抛物线于点，如图所示． （1） ________． （2）若点在抛物线的对称轴上，则的长为________． （3）把抛物线在直线右侧的部分（含点）记为图象．用含的式子表示图像的最高点 的坐标； （4）已知点到轴的距离为，把抛物线在直线左侧的部分（不含点）记为图象．图象沿轴向下平移个单位长度得到图象．当图象上恰好只有两个点到轴的距离等于该点到直线 的距离的倍时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $