微专题3两曲线的公切线问题课件——2027届高三数学复习一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“两曲线的公切线问题”专题，依据高考评价体系梳理了导数几何意义、公切线方程求解两大核心考点，通过真题统计明确其在函数与导数解答题中占25%的权重，归纳共切点、不同切点两类常考题型，构建完整解题思路。 课件亮点在于“题型分类+方法归纳+真题演练”策略，如以新高考Ⅰ卷真题为例，运用学霸笔记的“设切点—求导数—列方程”三步法，培养学生数学思维中的逻辑推理与运算能力。特设易错点警示（如消元化简、导数计算），助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

微专题3　两曲线的公切线问题 1 多元视角·拓展教材　开放式拓展 实现一个“广” 视角一　共切点的公切线问题 例1：已知函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝－3.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值． 2 解析：函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝－3，则f′(x)＝－a，g′(x)＝－， 则f′(1)＝1－a，g′(1)＝－b. 由曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在交点(1，c)处具有公共切线，得1－a＝－b. 又c＝－a＝b－3，即解得 所以a＝2，b＝1. 3 学霸笔记：求共切点的公切线的一般思路：(1)设两曲线的公共切点P0(x0，y0)； (2)列关系式 (3)求公共切点P0的横坐标x0，再代入y＝f(x)或y＝h(x)，求y0； (4)所求公切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)或y－y0＝h ′(x0)(x－x0)． 4 　跟踪训练　(2026·石家庄模拟)若函数y＝ax2与y＝ln x＋1在公共点处存在公共的切线，则a＝________． 解析：函数y＝ax2与y＝ln x＋1的导数分别为y′＝2ax与y′＝，设公共点坐标为(x0，y0)，则所以ln x0＋1＝，又因为＝1，故ln x0＝－，所以a＝. 5 视角二　不同切点的公切线问题 例2：(新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝__________． ln 2 解析：令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线斜率为f′(0)＝2，所以切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝.因为直线y＝2x＋1也是曲线y＝g(x)的切线，所以令＝2，解得x＝，则曲线y＝g(x)与直线y＝2x＋1的交点坐标为，所以0＝a－ln 2，解得a＝ln 2. 6 真题探源　(源自人教B版选修三P91C组T3)已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，则a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程． 7 解析：函数y＝x2＋2x的导函数为y′＝2x＋2，∴其图象在切点处的切线方程为y＝(2x1＋2)x－.函数y＝－x2＋a的导函数为y′＝－2x， ∴其图象在切点Q处的切线方程为y＝－2x2x＋＋a. 由题意知得＋2x1＋1＋a＝0. ∵只有一条公切线，∴Δ＝0，解得a＝－. ∴当a＝－时，C1和C2有且仅有一条公切线，公切线方程为4x－4y－1＝0. 8 学霸笔记：求两曲线不同切点的公切线的一般思路： (1)分别设出两曲线的切点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)； (2)分别求两曲线在切点处的方程y＝h1(x)，y＝h2(x)； (3)由公切线转化为两切线方程对应项系数相同，列方程组消元求解x1或x2，再求公切线方程． 9 1．已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝ax2－x.若经过点A(1，0)存在一条直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝1＋ln x，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1，∴k＝1，∴曲线y＝f(x)在点A(1，0)处的切线方程为y＝x－1，由得ax2－2x＋1＝0，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.故选B. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 10 2．已知函数f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l与f(x)和g(x)的图象都相切，则直线l的方程是(　　) A．y＝－x＋2 B．y＝x＋2 C．y＝x＋1或y＝ex D．y＝x＋2或y＝x＋2 答案：C 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 11 解析：设直线l与f(x)＝ex的切点为，与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，2＋ln x2)，则消去x1得(x2－1)(1＋ln x2)＝0，故或所以切线方程为y＝x＋1或y＝ex.故选C. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 12 3．若曲线y＝mex与y＝ln x有且仅有一条斜率为1的公切线，则实数m＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 13 解析：设公切线在曲线y＝mex与y＝ln x的切点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝ln x，得y′＝，所以＝1，解得x2＝1.又y2＝ln x2＝ln 1＝0，即B(1，0)，所以切线方程为y＝x－1.由y＝mex，得y′＝mex，所以＝1，解得x1＝－ln m，又y1＝＝1，即A(－ln m，1)．因为点A(－ln m，1)也在切线y＝x－1上，所以1＝－ln m－1，解得m＝.故选B. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 14 4．已知曲线y＝ln x与曲线y＝a有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则a＝(　　) A．2 B． C．1 D． 答案：D 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 15 解析：当a＝0时，曲线y＝a＝0与曲线y＝ln x有唯一交点(1，0)；当a≠0时，因为y＝x和y＝－在(0，＋∞)上单调递增，故函数y＝a在(0，＋∞)上单调．因为曲线y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，且两曲线有相同切线，所以函数y＝a在(0，＋∞)上单调递增，故a>0.因为ln 1＝0，a＝0，所以y＝ln x与y＝a的交点为(1，0)． 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 16 因为(ln x)′＝，所以y＝ln x在点(1，0)处的切线斜率k＝1，因为′＝a＋，所以a＋＝1，解得a＝.记f(x)＝ln x－，则f′(x)＝＝≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故ln x－＝0有唯一解，即曲线y＝ln x与曲线y＝有唯一交点，满足题意．故选D. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 17 5．已知曲线y＝x2与y＝e2x＋a恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为(　　) A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，－2) 答案：D 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 18 解析：y＝x2的导数y′＝2x，y＝e2x＋a的导数为y′＝2e2x＋a，设与曲线y＝e2x＋a相切的切点为(m，n)，y＝x2相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为2s＝2e2m＋a＝.又t＝s2，n＝e2m＋a，即2s＝，即s－m＝，即m＝(s>0)，则有e2m＋a＝s，即为a＝ln s－s－1(s>0)，恰好存在两条公切线，即s有两解．令f(x)＝ln x－x－1(x>0)，则f′(x)＝.当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 19 当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，即在x＝1处f(x)取得极大值，也为最大值，且为ln 1－2＝－2，由恰好存在两条公切线可得y＝a与y＝f(x) 有两个交点，可得实数a的范围是(－∞，－2)．故选D. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 20 6．若直线y＝－x＋m是曲线y＝2x2＋3x＋4与y＝－ex＋n曲线的公切线，则(　　) A．m＝－1 B．m＝2 C．n＝3 D．n＝－3 答案：BD 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 21 解析：令f(x)＝2x2＋3x＋4，则f′(x)＝4x＋3，令f′(x)＝4x＋3＝－1，有x＝－1，则f(－1)＝2－3＋4＝3，即有y－3＝－(x＋1)，即y＝－x＋2，故m＝2，令g(x)＝－ex＋n，则g′(x)＝－ex＋n，令g′(x)＝－ex＋n＝－1，有x＝－n，则g(－n)＝－e0＝－1，即有y＋1＝－(x＋n)，即y＝－x－n－1，故有－n－1＝2，即n＝－3.故选BD. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 22 7．已知函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2＋x＋1，则(　　) A．曲线y＝f(x)与y＝g(x)有且只有一个公共点 B．直线y＝x＋1是曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线 C．曲线y＝f(x)与y＝g(x)存在斜率为的公切线 D．f(x)≥g(x) 答案：ABD 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 23 解析：对于A，令φ(x)＝f(x)－g(x)＝ex＋x2－x－1，则φ′(x)＝ex＋2x－1，易知φ′(x)单调递增，且φ′(0)＝0，所以当x∈(－∞，0)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，所以φ(x)≥φ(0)＝0，所以方程φ(x)＝0有唯一解x＝0，所以曲线y＝f(x)与y＝g(x)有且只有一个公共点，故A正确；对于B，由A可知曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(0，1)，由f(x)＝ex，得f′(x)＝ex，则f′(0)＝1，所以曲线f(x)＝ex在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1.由g(x)＝－x2＋x＋1，得g′(x)＝－2x＋1，则g′(0)＝1，所以曲线g(x)＝－x2＋x＋1在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，故B正确； 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 24 对于C，设公切线与曲线y＝f(x)切于点，因为f′(x)＝ex，令，解得x1＝ln ＝－ln 2，则切点为，切线方程为y＝(x＋ln 2)＋(1＋ln 2)．设公切线与曲线y＝g(x)切于点，因为g′(x)＝－2x＋1，令－2x2＋1＝，解得x2＝，则切点为，切线方程为y＝，两切线方程不同，所以不存在斜率为的公切线，故C错误； 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 25 对于D，由AB可知，曲线f(x)＝ex与g(x)＝－x2＋x＋1只有一个公共点(0，1)，且在该点处的公切线方程为y＝x＋1，结合图象可知，ex≥x＋1，而x＋1≥－x2＋x＋1，所以ex≥－x2＋x＋1，即f(x)≥g(x)，故D正确．故选ABD. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 26 8．(2026·厦门模拟)若曲线y＝tan x在坐标原点处的切线与曲线y＝x3－2x＋m(x>0)相切，则m＝__________． 2 解析：∵(tan x)′＝′＝，∴曲线y＝tan x在坐标原点处的切线的斜率为则切线方程为y＝x，则直线y＝x与曲线y＝-2x+m(x>0)相切.设切点的横坐标为x0 (x0>0)，′＝3x2－2，－2＝1(x0>0)，则x0＝1，∴切点为(1，1)，代入y＝x3－2x＋m(x>0)，得13－2×1＋m＝1，解得m＝2. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 27 9．(2026·南宁模拟)若曲线y＝ex－a(a>0)在x＝0处的切线也是曲线y＝ln (x＋b)(b>0)的切线，则a＋b＝__________． 2 解析：由题设y′＝ex，则y′|x＝0＝1，则x＝0处切线为y－(1－a)＝x，即y＝x＋1－a，对于y＝ln (x＋b)，有y′＝，又y＝x＋1－a也是y＝ln (x＋b)的切线，令＝1，可得x＝1－b，则y＝0，即切点(1－b，0)在直线y＝x＋1－a上，所以1－b＋1－a＝0⇒a＋b＝2. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 28 10．(2026·潍坊模拟)若两曲线y＝x2－1与y＝a ln x－1存在公切线，则a的取值范围是_________． (－∞，2e] 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 29 解析：对y＝x2－1求导得y′＝2x，设切点(x1，y1)，则切线方程为y－＝2x1(x－x1)，化简得y＝2x1x－－1.对y＝a ln x－1求导得y′＝，设切点(x2，y2)，则切线方程为y－(a ln x2－1)＝(x－x2)，化简得y＝x＋a ln x2－a－1.则根据公切线可列方程组消去x1得－2＝a ln x2－a，化简得a＝ln x2. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 30 令f(x)＝4x2－4x2ln x(x>0)，求导f′(x)＝8x－8x ln x－4x＝4x(1－2ln x)，当f′(x)>0时，4x(1－2ln x)>0，解得0<x<；当f′(x)<0时，4x(1－2ln x)<0，解得x>；当f′(x)＝0时，4x(1－2ln x)＝0，解得x＝，可知f(x)在上单调递增，在上单调递减，在x＝处取得最大值，f＝42－42ln ＝2e，f(x)的值域为(－∞，2e]，所以a的取值范围是(－∞，2e]. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 31 11．(13分)若函数y＝f(x)和y＝g(x)图象有公共点P，且各自在点P的切线l1和l2重合，则称重合的切线为两函数在点P处的公切线． 若y＝ln x和y＝ax2在点P处存在公切线，求a的值及点P的坐标． 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 32 解析：设公切点P(x0，y0)，x0>0. 对y＝ln x求导，根据求导公式(ln x)′＝，可得y′＝，则在点P处的切线斜率k1＝. 对y＝ax2求导，可得y′＝2ax，则在点P处的切线斜率k2＝2ax0. 因为两函数在点P处存在公切线，所以k1＝k2，即＝2ax0　①. 又因为点P在两函数图象上，所以ln x0＝　②. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 33 由①得a＝，将其代入②可得ln x0＝，即ln x0＝，解得x0＝. 将x0＝代入①得，解得a＝. 将x0＝代入y＝ln x得y0＝ln . 所以a＝，点P的坐标为. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 34 12．(15分)已知函数l：ax－4y＋3＝0是曲线C1：y＝3和C2：y＝kx2的一条公切线． (1)求实数a，k的值； 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 35 解析：设直线ax－4y＋3＝0与曲线y＝3的切点坐标为M(x0，y0)， ∵y＝3，∴y′＝， 又∵直线l的斜率为，∴　①， 且点M(x0，y0)同时在直线ax－4y＋3＝0和曲线y＝3上， ∴满足　②，联立以上两式可得a＝12， 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 36 故直线l的方程为12x－4y＋3＝0， 联立可得kx2－3x－＝0， 又∵直线与曲线相切， ∴Δ＝9＋3k＝0，解得k＝－3. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 37 (2)过点(0，m)可作曲线f(x)＝x－k－mx2＋的三条不同的切线，求实数m的取值范围． 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 38 解析：由(1)得f(x)＝x3－mx2＋2，f′(x)＝3x2－2mx， 设切点为P(x1，y1)， 则曲线在点P(x1，y1)的切线方程为y－＝(x－x1)， 又∵切线过点(0，m)， ∴＝0， 即方程2x2＋(2－m)x＋2－m＝0有两个不相等的实数根，且x≠1， 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 39 ∴ 解得m<－6或2<m<3或m>3， ∴实数m的取值范围为{m|m<－6或2<m<3或m>3}． 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 40 $