第14讲 函数模型及其应用课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型及其应用”专题，依据课标要求覆盖指数、对数、幂函数增长特征及函数模型应用等核心考点，通过真题分析明确“建立函数模型解决实际问题”占比60%的高频考点，归纳图表分析、已知模型求解、建模应用三大常考题型。 课件亮点在于“真题实战+素养导向”的备考设计，如结合2025年北京高考真题训练，通过“审题-建模-解模-还原”四步流程培养数学思维，以指数函数模型解决过滤污染物问题为例，指导学生掌握函数建模技巧。特设易错点分析和答题模板，助力学生高效得分，教师可据此系统开展针对性复习教学。

第2章 函数 第14讲 函数模型及其应用 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 3.会运用函数的知识和函数思想解决有关函数的综合性问题，培养学生分析问题和解决问题的能力. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a，b为常数，a≠0) 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在 上的单 调性 单调______ 单调______ 单调______ 增长速度 越来越快 越来越慢 相对稳定 图象的变化 随 增大逐渐表现为 与___轴平行 随 增大逐渐表现为 与___轴平行 随 值变化而不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 递增 递增 递增 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 3.解函数应用题的基本步骤 (1)审题:弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型; (3)解模:求解函数模型，得出数学结论; (4)还原:将数学结论还原为实际意义的问题. 以上过程用框图表示如下: 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 【基础检测】 概 念 辨 析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(　　) (2)不存在x0，使<<logax0.(　　) (3)在(0，+∞)上，随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.(　　) (4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.(　　) (5)下列函数中，随x的增大，y的增长速度由慢到快依次是y=log100x(x∈N+)，y=100x，y=x100，y=100x.(　　) × × √ × √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 教材改编 2.[必修1p139T4]在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表: x 0.50 0.99 2.01 3.98 y -0.99 -0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的函数模型是(　　) A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x D [解析] 根据x=0.50，y=-0.99，代入计算，可以排除A; 根据x=2.01，y=0.98，代入计算，可以排除B，C; 将各数据代入函数y=log2x，可知满足题意，故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 3.[必修1p102T14]某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶;若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为(　　) A.3.75元/瓶 B.7.5元/瓶 C.12元/瓶 D.6元/瓶 D [解析] 设销售价每瓶定为x元，利润为y元， 则y=(x-3)=80(x-3)·(9-x)=-80(x-6)2+720(x≥3)， 所以x=6时，y取得最大值. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 4.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下: 上市时间x天 4 10 36 市场价y元 90 51 90 根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系(　　) A.y=ax+b B.y=ax2+bx+c C.y=alogbx D.y=kax B [解析] ∵随着时间x的增加，y的值先减后增， 而函数y=ax+b，y=alogbx，y=kax显然都是单调函数，不满足题意， ∴选择y=ax2+bx+c. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 5.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v m/s和燃烧质量M千克，火箭(除燃料外)的质量m千克，它们之间的函数关系是v=2000ln，当燃料质量是火箭质量的　　　　　倍时，火箭的最大速度可达到12 km/s.  e6-1 [解析] 由题可知，v=2000ln， 当v=12000，则2000ln=12000， ∴ln=6，则1+=e6，解得:=e6-1， 即当燃料质量是火箭质量的e6-1倍时，火箭的最大速度可达到12 km/s. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 考点1 用图表刻画实际问题 例1　(1)如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系的大致图象是(　　) D 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 [解析] 开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变; 烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快; 当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水， 水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 (2)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K;P表示压强，单位是bar.下列结论正确的是(　　) A.当T=220，P=1026时，二氧化碳处于液态 B.当T=270，P=128时，二氧化碳处于气态 C.当T=300，P=9987时，二氧化碳处于超临界状态 D.当T=360，P=729时，二氧化碳处于超临界状态 D 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 [解析] 对于A选项，当T=220，P=1026时，lg P=lg 1026>lg 103=3， 根据题图可知，二氧化碳处于固态; 对于B选项，当T=270，P=128时，lg P=lg 128∈(2，3)， 根据题图可知，二氧化碳处于液态; 对于C选项，当T=300，P=9987时，lg P=lg 9987<lg 104=4，且lg P接近于4，根据题图可知，二氧化碳处于固态; 对于D选项，当T=360，P=729时，lg P=lg 729∈(2，3)， 根据题图可知，二氧化碳处于超临界状态. 故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 [小结]判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的三种方法: (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择函数图象. (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. (3)根据图表和数据分析数据的增加趋势,即函数值的增加速度越来越快,从而确定最符合实际的函数模型. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 1.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算: 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 3% 超过3000元至12000元的部分 10% 超过12000元至25000元的部分 20% 有一职工八月份收入12000元，该职工八月份应缴纳个税为(　　) A.1200元 B.1040元 C.490元 D.400元 C 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 16   [解析] 12000-5000=7000元，其中有3000元应纳税3%， 7000-3000=4000元应纳税10%， 所以一共纳税3000×3%+4000×10%=490元. 故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 2.某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟 内的速度v(x)(单位:米/分钟)与飞行时间x(单位:分钟)的关系 如图所示.若定义“速度差函数”u(x)(单位:米/分钟)为无人机 在[0，x]这个时间段内的最大速度与最小速度的差， 则u(x)的图象为(　　) C 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 [解析] 由题图知，当x∈[0，6)时，无人机做匀加速运动，v(x)从80开始上升， v(x)=80+x，u(x)=;当x∈[6，10)时，无人机做匀减速运动， v(x)从160下降到80，u(x)=80;当x∈[10，12)时，无人机做匀减速运动， v(x)从80开始下降，v(x)=180-10x，u(x)=160-(180-10x)=10x-20; 当x∈[12，15]时无人机做匀加速运动，v(x)从60开始上升，u(x)=160-60=100.所以u(x)在[6，10)和[12，15]两个区间上都是常数.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 考点2 已知函数模型求解实际问题 例2　(1)(2025·武汉部分学校调研)某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N(mg/L)与时间t(h)的关系为N=N0e-kt，其中N0为初始污染物的数量，k为常数.若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6个小时共能过滤掉污染物的(　　) A.49% B.51% C.65.7% D.72.9% C [解析] 当t=2时，N=(1-30%)N0=0.7N0，因为N=N0， 所以0.7N0=N0， 所以e-2k=0.7. 当t=6时，N=N0e-6k=N0(e-2k)3=0.73N0=0.343N0， 所以前6个小时共能过滤掉污染物的×100%=65.7%，故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 (2)德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化的趋势可由函数y=1-0.6t0.27近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为(参考数据:lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A.2小时 B.0.8小时 C.0.5小时 D.0.2小时 C [解析] 根据题意得=1-0.6t0.27，整理得到 =t0.27， 两边取以10为底的对数，得到lg=0.27lg t，即1-lg 3-2lg 2=0.27lg t， 又lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，故100.3≈2，10-0.3≈0.5， 所以1-0.48-2×0.30=0.27lg t，化简得lg t= -，得到t=1≈10-0.3≈0.5， 故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 [小结]已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 3.异速生长规律描述生物的体重与其他生理属性之间的非线性数量关系，通常以幂函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y=kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为(　　) A. B. C. D. D [解析] 设初始状态为(x1，y1)，则x2=16x1，y2=8y1， 又y1=k，y2=k，所以8y1=k(16x1)α=k·16α，故 = =16α=24α=23，所以4α=3，故α= .故选D. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 4.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是　　　　　 万元.  37.5 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 [解析] 由题意，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=3-，即t=-1(1<x<3)， 所以月利润为y=x-32x-3-t =16x- -3=16x- -2.5 =45.5-≤45.5-2=37.5， 当且仅当16(3-x)=，即x=时取等号，即月最大利润为37.5万元. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 考点3 建立数学模型解决实际问题 角度1.构建二次函数模型 例3　为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月的处理量最少为30吨，最多为400吨.月处理成本f(x)(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系近似地表示为f(x)=x2-300x+64800.该企业每月处理量为　　　　　　 吨时，才能使月处理成本最低;该企业每吨的平均处理成本的最低值为　　　　元.  300 60 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 [解析] 该企业的月处理成本f(x)= x2-300x+64800= (x-300)2+19800， 因为30≤x≤400，f(x)在[30，300]上单调递减，在(300，400]上单调递增， 所以该企业每月处理量为300吨时，才能使月处理成本最低. 因为，每吨的平均处理成本g(x)= = x-300+ . 因为 + ≥2 =360，当且仅当x=360时，等号成立， 所以g(x)≥60，即该企业每月处理量为360吨时，每吨的平均处理成本最低，为60元. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 角度2.构建分段函数模型 例4　某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价格P(x)(单位:元)与第x天的函数关系近似满足P(x)=10+ (k为常数，且k>0，1≤x≤30，x∈N*)，日销售量Q(x)(单位:件)与第x天的部分数据如表所示: x 5 10 15 20 25 Q(x) 45 50 55 50 45 已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型: ①Q(x)=ax+b; ②Q(x)=a|x-m|+b; ③Q(x)=a-bx. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 (1)根据表中的数据，选择合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与x的变化关系，该函数的解析式为　　　　　　　　　　　　　　　;  (2)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位:元)，则销售收入f(x)的最低值为　　　　　元.  Q(x)= -|x-15|+55(1≤x≤30，x∈N*) [解析] (1)由表格中的数据知，随着x的增大，Q(x)先增后减， 函数模型①，③描述的都是单调函数，不符合该数据模型， 所以选择函数模型②， 由Q(10)=Q(20)，可得=，解得m=15， 因为解得 则Q(x)= -|x-15|+55(1≤x≤30，x∈N*). 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 (2)因为第5天的日销售收入为459元，则×45=459，解得k=1， 所以P(x)= +10，又Q(x)= -|x-15|+55=x∈N*， 则f(x)=P(x)·Q(x)=x∈N*. 当1≤x≤15，x∈N*时，f(x)=10x++401≥2 +401=441， 当且仅当10x= ，即x=2时，等号成立; 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 当15<x≤30，x∈N*时，f(x)=-10x+ +699单调递减， 所以函数的最小值为f(30)=399+ = <441， 综上可得，当x=30时，函数f(x)取得最小值元. 所以该工艺品的日销售收入第30天最低，最低收入是元. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 角度3.构建指数函数模型 例5　某企业从2015年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2015年至2025年的年产值(万元).为了描述该企业年产值y(万元)与新政策实施年数x(年)的关系，现有以下三种函数模型:y=kx+b，y=kax(a>0，且a≠1)，y=klogax+b(a>0，且a≠1)，选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2028年的年产值约为(附:1.113≈1.368)(　　) 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 年产值 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 A.924万元 B.976万元 C.1109万元 D.1231万元 C 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 [解析] 由表中数据可知该企业年产值y(万元)随着新政策实施年数x(年)的增加而增加，结合2016年比2015年增加31万元，2025年比2024年增加82万元，可知越往后的年份比上一年增加的产值越多，即y的增长速度越来越快， 结合三种函数模型:y=kx+b，y=kax(a>0，且a≠1)，y=klogax+b(a>0，且a≠1)，可知y=kax(a>0，且a≠1)为最符合实际的函数模型; 则729=ka10，811=ka11，故a=≈1.11， 故预测该企业2028年的年产值约为y=ka14， 则y=811×a3≈811×1.113≈1109.45(万元)， 即预测该企业2028年的年产值约为1109万元. 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 角度4.构建对数函数模型 例6　根据火箭理想速度公式v=v0·ln，可以计算理想状态下火箭的最大速度v(单位:m/s)，其中v0(单位:m/s)是喷流相对速度，m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比.已知A型火箭喷流相对速度为800 m/s，根据以上信息: (1)当总质比为50时，A型火箭的最大速度为　　　　　m/s;  (2)若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加800 m/s，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为　　　　　 .  (所有结果保留整数，参考数据:ln 2≈0.693，ln 5≈1.609，e≈2.718) 3129 68 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 [解析] (1)当总质比为50时，A型火箭的最大速度为 v=800·ln 50=800·(2ln 5+ln 2)≈800·(2×1.609+0.693)=3128.8≈3129(m/s); (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1600(m/s)，总质比为，要使火箭的最大速度至少增加800(m/s)， 则1600·ln-800·ln≥800，即 2·ln-ln≥1， 即 ln-ln≥1，即 ln≥1，所以≥25e≈67.95≈68， 所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 [小结]1.构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模:抽象出实际问题的数学模型; (2)推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解; (3)评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解. 2.谨记解决这类问题的2个关键 (1)准确理解题意(有时为了叙述背景的需要,这类问题的题干有点长,因而认真审题,准确理解题意显得尤为重要). (2)根据具体情境确定相关解题策略(如给出函数图象的实际应用问题,关键在于准确识图;而指数函数、对数函数模型的实际应用问题,关键在于充分利用幂与对数的运算,以及指数函数、对数函数的图象与性质分析来解决问题). 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 3.掌握2种函数模型的应用技巧 (1)与指数、对数函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在三类模型中,指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型,与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型. (2)在解决指数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时可借助导数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 5.某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关:把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位:万元)与处理量x(单位:吨)(x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为y=当处理量x等于　　 吨时，每吨的平均处理成本最少.  400 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 [解析] 由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为S= 当x∈[120，144)时，S= x2-80x+5040= (x-120)2+240， 当x=120时，S取得最小值240. 当x∈[144，500] 时，S= x+-200≥2-200=200， 当且仅当x= ，即x=400时取等号，此时S取得最小值200， 综上，当每月的处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元. 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 6.假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式 f=ρCSv2，其中ρ是空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C 是空气阻力系数(其大小取决于多种其他因素)，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P=fv. 当ρ，S不变，v比原来提高10%时，下列说法正确的是(　　) A.若C不变，则P比原来提高不超过30% B.若C不变，则P比原来提高超过40% C.为使P不变，则C比原来降低不超过30% D.为使P不变，则C比原来降低超过40% C 名师导学第一轮总复习 高三数学 40 [解析] 由题意，f= ρCSv2，P=fv， 所以P= ρCSv3，C= ， 对于A:当ρ，S，C不变，v比原来提高10%时， 则P1= ρCS(1+10%)3v3= ρCS(1.1)3v3=1.331·ρCSv3， 所以P比原来提高超过30%，不超过40%，故A，B错误; 对于C:当ρ，S，P不变，v比原来提高10%时， C1= = ≈0.75·， 所以C比原来降低不超过30%，故C正确，D错误. 名师导学第一轮总复习 高三数学 41 7.(多选)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度θ0 ℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位:℃)满足:t=20ln.若空气温度为10 ℃，该物体温度从θ1 ℃(90≤θ1≤100)下降到30 ℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70 ℃，50 ℃下降到30 ℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(参考数据:ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　　) A.t2=20 B.28≤t1≤30 C.t1≥2t3 D.t1-t2≤6 BC 名师导学第一轮总复习 高三数学 42 [解析] 由题意可知，θ0=10，当θ=30时， t1=20ln，其是关于θ1的单调递增函数， 当θ1=90时，t1=20ln=20ln 4=40ln 2≈28，当θ1=100时，t1=20ln=20ln=20·≈30，则28≤t1≤30，故B正确; 当θ1=70时，t2=20ln=20ln 3≈22，故A错误; 当θ1=50时，t3=20ln=20ln 2≈14， 此时满足t1≥2t3， t1-t2≥6，故C正确，D错误，故选BC. 名师导学第一轮总复习 高三数学 43 8.某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为2.25 g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21 g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型rn=r0+(r1-r0)·30.25n+t(t∈R，n∈N*)，其中r0为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过0.65 g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为(参考数据:lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A.12 B.13 C.14 D.15 D 名师导学第一轮总复习 高三数学 44 [解析] 由题意知r0=2.25 g/m3，r1=2.21 g/m3， 当n=1时，r1=r0+(r1-r0)×30.25+t，故30.25+t=1，解得t=-0.25， 所以rn=2.25-0.04×30.25(n-1).由rn≤0.65，得30.25(n-1)≥40，即0.25(n-1)≥， 得n≥+1≈14.33，又n∈N*，所以n≥15， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 45 走进高考 1.(2025·北京)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N(单位:h)，其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20 h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(　　) A.2 h B.4 h C.20 h D.40 h B [解析] 设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3， 由题意，T1=klog2106=6klog210， 名师导学第一轮总复习 高三数学 46 T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210)， T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210)， 因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20，所以k=2， 所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4， 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时， 训练时间增加4小时. 故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 47 $