函数模型及其应用课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型及其应用”专题，依据高考评价体系梳理了一次函数、二次函数、指数函数等六大模型及性质，通过真题分析明确指数函数模型（如半衰期）、对数函数模型（如pH值计算）等高频考点占比超60%，归纳四大常考题型形成系统备考框架。 课件亮点在于“真题训练+素养提升”双轨模式，以例3对数函数“鸟类耗氧量”问题为例，运用“审题-建模-解模-还原”四步法，培养数学眼光（抽象数量关系）和数学语言（构建函数模型）素养。特设“易错陷阱警示”和“方法总结”，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

函数模型及其应用 BD C C 43 A C C [知识梳理] 1．常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次 函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例 函数模型 f (x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 二次 函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数 函数模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数 函数模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f (x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，使得当x>x0时，有logax<xn<ax 3.常用结论 形如f (x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x＞0时，函数f (x)在x＝处取最小值2， 当x＜0时，函数f (x)在x＝－处取最大值－2. [热身训练] 1．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一个公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图2.9­1所示的是甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的有( ). 图2.9­1 A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 2．有一组实验数据如表2.9­1所示： 表2.9­1 x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 下列所给函数模型较适合的是( ). A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1) C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1) 3．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器探测不到．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ). A．8　　　 B．9 C．10　　　 D．11 4．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是 万元． 题型　函数模型的应用 角度1　幂函数模型 【例1】遗忘曲线由德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．陈同学利用信息技术拟合了遗忘曲线，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x(单位：h)的大致关系如下：y＝1－0.6x0.06.若陈同学需要在明天15：00语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在明天( ).(参考数据：≈0.959 3，≈1.025，20.06≈1.042 5) A．14：30　　　 B．14：00 C．13：30　　　 D．13：00 【解析】令1－0.6x0.06＝0.42，x0.06＝≈0.967，因为≈0.959 3，≈1.025，20.06≈1.042 5，所以x的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14：30. 角度2　指数函数模型 【例2】某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理．已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为N＝N0e－kt，其中N0为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的( ). A．49%　　　 B．51% C．65.7%　　　 D．72.9% 【解析】依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为70%N0，所以70%N0＝N0e-2k，解得e-2k＝0.7，所以前6个小时过滤后剩余污染物数量为N＝N0e-6k＝N0(e-2k)3＝N0×0.73＝0.343N0，所以前6小时共能过滤掉污染物的＝65.7%. 角度3　对数函数模型 【例3】候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量M之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是常数)，据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为45个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a，b的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少为多少个单位？ 【解析】(1)由题意可得0＝a＋blog3，1＝a＋blog3，化简得a＋b＝0①，a＋2b＝1②，联立①②，解得a＝－1，b＝1. (2)由(1)得v＝－1＋log3，由－1＋log3≥2，得log3≥3，得log3≥log327，解得M≥285，所以这种鸟类飞行的速度不低于2 m/s时，其耗氧量至少为285个单位． 角度4　函数拟合 【例4】在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位：百万个)与培养时间x(单位：小时)的3组数据如表2.9­2所示． 表2.9­2 x 2 3 5 y 3.5 4.5 5.5 (1)当x≥2时，根据表中数据分别用模型y＝loga(x＋c)＋b和y＝m＋k建立y关于x的函数解析式． (2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”．已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为(1)中哪个函数模型为“理想函数模型”？请说明理由．(参考数据：≈7.6) 【解析】(1)当x≥2时，y＝loga(x＋c)＋b，由题意得loga(2＋c)＋b＝3.5，loga(3＋c)＋b＝4.5，loga(5＋c)＋b＝5.5，解得a＝2，b＝3.5，c＝－1，则y＝log2(x－1)＋3.5；当x≥2时，y＝m＋k，由题意得m＋k＝3.5，m＋k＝4.5，m＋k＝5.5，解得m＝，n＝－，k＝3，则y＝·＋3. (2)考虑模型y＝log2(x－1)＋3.5，由x＝9，可得y＝log28＋3.5＝6.5，而|6.5－6.2|＝0.3<0.5，可得模型y＝log2(x－1)＋3.5是“理想函数模型”．考虑模型y＝·＋3，由x＝9，可得y＝×＋3＝＋3≈3.8＋3＝6.8，而|6.8－6.2|＝0.6>0.5，所以模型y＝·＋3不是“理想函数模型”． 用函数模型解决实际问题的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． (3)解模：求解函数模型，得出数学结论． (4)还原：将数学结论还原为实际问题的解． 【变式】(1)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位：mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位：mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10-14.已知pH值的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( ). A．　　　 B． C．　　　 D． 【解析】由题意可得pH＝－lg [H＋]∈(7.35，7.45)，且[H＋]·[OH－]＝10-14，所以lg ＝lg ＝lg [H＋]2＋14＝2lg [H＋]＋14.因为7.35＜－lg [H＋]＜7.45，所以－7.45＜lg [H＋]＜－7.35，所以－0.9＜2lg [H＋]＋14＜－0.7，即－0.9＜lg ＜－0.7.因为lg ＝－lg 2≈－0.30，故A错误；lg ＝－lg 3≈－0.48，故B错误；lg ＝－lg 6＝－(lg 2＋lg 3)≈－0.78，故C正确；lg ＝－1，故D错误． (2)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法将报警时间分为4段(如图2.9­2所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到表2.9­3(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9). 图2.9­2 表2.9­3 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝ 30 m d1 d2 d3＝ m ①请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； ②若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ 【解析】①根据题意，d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋＝30＋v＋(0≤v≤33.3). ②根据题意，对任意的k∈[0.5，0.9]，d<90恒成立，即对任意的k∈[0.5，0.9]，30＋v＋<90恒成立．易知当v＝0时，满足题意；当0<v≤33.3时，<－对任意的k∈[0.5，0.9]恒成立，由k∈[0.5，0.9]，得∈，所以－>，即v2＋10v－600<0，解得－30<v<20，所以0<v<20.综上，0≤v<20.所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下． $