第8讲 函数的奇偶性、周期性与对称性-第一课时 函数的奇偶性、周期性与对称性课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的奇偶性、周期性与对称性”核心考点，依据课标要求梳理理解概念、判断性质、综合应用三大考查维度，通过表格对比定义与图象特点，归纳奇偶函数模型、周期性结论等重要结论，对接高考评价体系，明确求解析式、解不等式等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+方法归纳+素养提升”策略，如例3利用偶函数单调性转化不等式，例5结合对称性与周期性求函数值，培养逻辑思维与抽象能力。提供定义法判断奇偶性等技巧，含2025年模拟题训练，助力学生掌握得分关键，教师可精准教学，提升复习效率。

第8讲 函数的奇偶性、周期性与对称性 第一课时 函数的奇偶性、周期性与对称性 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，判断函数的奇偶性. 2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及参数值. 3.掌握函数的单调性与奇偶性的综合应用. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个 ，都有 ______________，那么函数 就叫做偶函数 关于_____ 对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个 ，都有 _______________，那么函数 就叫做奇函数 关于______ 对称 轴 原点 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有　 　，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.  (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　 　，那么这个　 　就叫做f(x)的最小正周期.  f(x+T)=f(x) 最小的正数 最小正数 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 3.函数图象的对称性 (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a-x)=f(a+x)⇔函数y=f(x+a)是偶函数. (2)函数y=f(x)的图象关于点(b，0)中心对称⇔f(-x+b)+f(x+b)=0⇔函数y=f(x+b)是奇函数. (3)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=对称.特别地，当a=b，即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)时，y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (4)若函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b，则y=f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b=0，即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0时，y=f(x)的图象关于点(a，0)对称. 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 【重要结论】 1.一些重要类型的奇偶函数模型 (1)函数f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)是偶函数. (2)函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)是奇函数. (3)函数f(x)=(a>0且a≠1)是奇函数. (4)函数f(x)=loga(a>0且a≠1)是奇函数. (5)函数f(x)=loga(±mx)(a>0且a≠1)是奇函数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a(a>0); (2)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0); (3)若f(x+a)=，则T=2a(a>0); (4)若f(x+a)=-，则T=2a(a>0). 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 【基础检测】 概念辨析 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0.(　　) (2)对于函数y=f(x)，若存在x，使f(-x)=f(x)，则函数y=f(x)一定是偶函数.(　　) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.(　　) (4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(　　) (5)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(　　) [解析] (1)f(0)=0的前题是0在定义域内. × × √ √ × 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 教材改编 2.[必修1p86T11]已知奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2x-m(m为常数)，则f(-2)=(　　) A.1 B.2 C.-3 D.3 C [解析] 由于f(x)是奇函数，所以f(0)=20-m=1-m=0，即m=1，即x≥0时，f(x)=2x-1，所以f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 3.[必修1p85T1]设奇函数f(x)的定义域为[-5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为　　　　　　　　　　.  (-2，0)∪(2，5] [解析] 由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0;当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当-2<x<0时，f(x)<0;当-5≤x<-2时，f(x)>0. 综上，f(x)<0的解集为(-2，0)∪(2，5]. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 4.下列函数为偶函数的是(　　) A.y=x2(x≥0) B.y=(x-1) C.y=0 D.y=|x|(x≤0) C [解析] 对于选项A，D，其定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数; 对于选项B，当x=-1时，y=0，而当x=1时，函数无意义， 故选项B也是非奇非偶函数; 对于选项C，令y=f(x)=0，无论x取何值都满足f(-x)=f(x)=0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)-f(x)=0，当x∈(0，2]时，f(x)=log4x，则f(2026)=　　　　　.  [解析] 由f(x+2)-f(x)=0得f(x+2)=f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数， 所以f(2026)=f(2)=log42=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 考点1 函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=; (2)f(x)= (3)f(x)=log2(x+). 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 [解析] (1)由得定义域为(-1，0)∪(0，1)，关于原点对称. ∴x-2<0，∴|x-2|-2=-x，∴f(x)=. 又∵f(-x)==-=-f(x)，∴函数f(x)为奇函数. (2)显然函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称. 因为当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当x>0时，-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x); 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立， 所以函数f(x)为奇函数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 (3)显然函数f(x)的定义域为R， f(-x)=log2[-x+] =log2(-x)=log2(+x)-1 =-log2(+x)=-f(x)， 故f(x)为奇函数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 [小结]1.判断函数的奇偶性的三种方法 (1)定义法: (2)图象法: 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 (3)性质法: 常用结论: ①奇±奇为奇;偶±偶为偶;奇±偶为非奇非偶; 奇×(÷)奇为偶;奇×(÷)偶为奇;偶×(÷)偶为偶. ②若函数f(x)的定义域关于原点对称,则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记偶函数g(x)=[f(x)+f(-x)],奇函数h(x)=[f(x)-f(-x)],则f(x)=g(x)+h(x). ③复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原理:内偶则偶,两奇为奇. ④若奇函数y=f(x)在x=0处有意义,则有f(0)=0;偶函数y=f(x)必满足f(x)=f(|x|). 2.抽象函数奇偶性的判断:应充分利用定义,巧妙赋值,通过合理、灵活地变形配凑来判断. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 1.已知函数f(x)=log4(4x+1)-x.则函数f(x)的奇偶性是　　　　　　 .  偶函数   [解析] 定义域为R，关于原点对称， f(-x)=log4(4-x+1)+ = log4+ = log4(1+4x)-x+ = log4(1+4x)- = f(x)， 所以函数f(x)为偶函数. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 2.定义域均为R的函数f(x)，g(x)满足f(x)=g(x-1)，且f(x-1)=g(2-x)，则一定正确的是(　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 C.g(x)是奇函数 D.g(x)是偶函数 D [解析] 因为f(x-1)=g(2-x)， 所以f(-x+1-1)=g(2-(-x+1))， 即f(-x)=g(1+x)=g(x+2-1)=f(x+2)，所以f(x)关于直线x=1对称， 因为f(x)=g(x-1)，所以g(x)关于直线x=0对称，即g(x)为偶函数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 考点2 函数奇偶性的应用 角度1.利用奇偶性求(最)值(解析式) 例2　(1)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x+ln x，则当x<0时，f(x)=　　　　　　.  x-ln(-x) [解析] 当x<0时，-x>0，故f(-x)=-x+ln(-x)， 又y=f(x)是定义在R上的奇函数， 故f(-x)=-f(x)，所以-f(x)=-x+ln(-x)，故f(x)=x-ln(-x). 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 (2)已知函数f(x)=(ex-e-x)cos x+2在[-1，1]上的最大值和最小值分别为M，N，则M+N=(　　) A.-2 B.0 C.2 D.4 D [解析] 令g(x)=f(x)-2=(ex-e-x)cos x， 则g(x)的最大值和最小值分别为M-2，N-2， 又g(-x)=(e-x-ex)cos(-x)=(e-x-ex)cos x=-g(x)，所以g(x)为奇函数， 故g(x)的图象关于原点对称，故M-2+N-2=0⇒M+N=4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 角度2.利用奇偶性解不等式 例3　已知定义在R上的偶函数f(x)，在x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)，若f(a)<f(a-1)，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，1) B. C. D.(1，+∞) B [解析] 根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0，+∞)上是增函数， 根据偶函数图象的对称性，可知函数在(-∞，0)上是减函数， 所以f(a)<f(a-1)等价于|a|<|a-1|，解得a<.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 角度3.利用奇偶性求参数值(范围) 例4　已知定义域为[a-8，a+2]的奇函数f(x)=2026x3-5x+b+3，则a+b的值为　　　　.  0 [解析] 因为奇函数f(x)=2026x3-5x+b+3的定义域为[a-8，a+2]， 所以(a-8)+(a+2)=0，解得a=3， 又因为f(-x)=-2026x3+5x+b+3=-f(x)=-2026x3+5x-b-3，所以b=-3，所以a+b=0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 [小结]已知函数奇偶性可以解决以下问题: (1)求函数值,将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)画函数图象,利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象. (3)求函数解析式:①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围;②将转化后的自变量代入已知解析式;③利用函数的奇偶性求出解析式. (4)求参数值:在定义域关于原点对称的前提下,根据奇函数满足f(-x)=-f(x)或偶函数满足f(-x)=f(x)列等式,根据等式两侧对应相等确定参数的值.特别要注意的是:若能够确定奇函数的定义域中包含0,可以根据f(0)=0列式求解,若不能确定则不可用此法. [注意]已知f(x)=奇函数+M,x∈[-a,a],则f(-x)+f(x)=2M,f(x)max+f(x)min=2M. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 3.已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-ex，则当x>0时，f(x)=　　　　.  e-x [解析] 当x>0时，-x<0，故f(-x)=-e-x， 因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即-f(x)=-e-x，所以f(x)=e-x. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 4.若函数f(x)=+为奇函数，则实数a的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 A [解析] 因为f(x)= +为奇函数， 所以+ = -， 所以a= -- = -- = - = -1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 5.(2025·山西临汾·三模)已知f(x)=log2(1+4-x)+x，则满足f(2m-3)<f(m)的实数m的取值范围为(　　) A.(1，3) B. C.(-∞，3) D.(3，+∞) A [解析] 由f(x)=log2(1+4-x)+x，易知其定义域为R， 由f(-x)-f(x)=log2(1+4x)-x-)-x=log2-2x=log24x-2x=2x-2x=0，则函数f(x)为偶函数， f(x)=log2(1+4-x)+x=log2(1+2-2x)+log22x=log2(2x+2-x)， 由y=2x在R上单调递增，y=x+在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 则y=2x+在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 即函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减， 由f(2m-3)<f(m)，则|2m-3|<|m|， 即(2m-3)2<m2，整理可得3m2-12m+9<0， 分解因式可得(m-3)·(m-1)<0，解得1<m<3.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 考点3 函数的周期性及应用 例5　已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)+f(2-x)=2，f(1+x)=f(3-x)，f(2)=-1，则 = . 17 [解析] 由f(1+x)=f(3-x)，可得f(2+x)=f(2-x)，即函数f(x)是关于直线x=2对称， 又f(x)+f(2-x)=2， 所以f(x)+f(2+x)=2，① 则f(2+x)+f(4+x)=2，② 由①②知，f(x)=f(4+x)，即函数f(x)是周期为4的函数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 令x=0，则f(0)+f(2)=2，又f(2)= -1， 即f(0)=3，则f(4)=f(0)=3， 令x=1，则f(1)+f(1)=2，即f(1)=1， 则f(3)=f(1)=1， 所以 =5[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]-f(4)=5[1+(-1)+1+3]-3=17. 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 [小结](1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)即可,且周期为T. (2)根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 6.(2025·重庆·二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(x-2).若f(1)=2，则 f(k)=(　　) A.-2 B.0 C.2 D.4 C [解析] 因为f(x+2)=f(x-2)，可得f(x+4)=f(x)，可知函数f(x)的一个周期为4， 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，则f(x+4)=f(x)=-f(-x)， 即f(x+4)+f(-x)=0，令x=-1，可得f(3)+f(1)=0; 令x=-2，可得f(2)+f(2)=0，即f(2)=0， 则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0， 所以 f(k)=f(1)+f(2)+2×0=2+0+0=2.故选C. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 考点4 函数的对称性及应用 例6　(1)(多选)设f(x)的定义域为R，给出下列四个命题，其中正确的是(　 　) A.若f(1+x)+f(1-x)=2，则f(x)的图象关于点(1，1)对称 B.若y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)的图象关于直线x=2对称 C.若f(2+x)=f(x-2)，则y=f(x)的图象关于直线x=2对称 D.若f(2-x)-f(x)=0，则y=f(x)的图象关于直线x=1对称 ABD 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 [解析] A.因为f(1+x)+f(1-x)=2，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，故A正确; B.因为y=f(x+2)为偶函数，所以函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称， 因此y=f(x)的图象关于直线x=2对称，所以B正确; C.因为f(2+x)=f(x-2)，所以f(x-2)=f(2-x)不一定成立，即f(2+x)=f(2-x)不一定成立， 所以y=f(x)的图象不一定关于直线x=2对称，因此C错误; D.由f(2-x)-f(x)=0，则f(2-x)=f(x)，所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称，因此D正确. 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 (2)(2025·广东珠海·模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)=6-f(-x)，g(x)=+3，若g(x)的图f(x)的图象与象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi+yi)=(　　) A.0 B.m C.2m D.3m D 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 [解析] 因为f(x)=6-f(-x)， f(-x)=6-f(x)， 所以f(x)的图象关于点(0，3)对称.设h(x)= ， 因为h(-x)= = - = -h(x)， 所以h(x)是奇函数，图象关于原点对称， 所以g(x)=h(x)+3的图象关于点(0，3)对称， 所以f(x)，g(x)的图象的交点关于点(0，3)对称， 所以 (xi+yi)= xi+ yi=0+3m=3m.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 [小结]函数对称性代数表示: 函数f(x)为奇函数⇔f(x)=-f(-x),函数f(x)为偶函数⇔f(x)=f(-x)(定义域关于原点对称); 函数f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(x)+f(-x+2a)=2b,函数f(x)的图象关于直线x=m对称⇔f(x)=f(-x+2m). 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 7.(2025·河北沧州·模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，则(　　) A.f(0)=1 B.f(1)=-1 C.f(2)=0 D.f(3)=0 D [解析] 根据题意，因为函数f(x+1)为奇函数，所以f(-x+1)=-f(x+1)， 即f(1-x)=-f(1+x)， 所以f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，所以f(1)=0. 又因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)=f(-x+2)， 所以f(x)的图象关于直线x=2对称， 所以f(3)=0.故选D. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 8.已知函数y=f(x+1)-2为奇函数，g(x)= ，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则x1+x2+…+x6+y1+y2+…+y6=(　　) A.14 B.16 C.18 D.20 C [解析] 令h(x)=f(x+1)-2，由题意可知h(x)为奇函数，故h(-x)+h(x)=0， 即f(-x+1)-2+f(x+1)-2=0， 则f(-x+1)+f(x+1)=4，所以函数f(x)的图象关于点(1，2)对称， 又g(x)= = +2，所以g(x)的图象也关于点(1，2)对称， 故f(x)与g(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)两两关于点(1，2)对称， 则x1+x2+…+x6+y1+y2+…+y6=3×2+3×4=18.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 $