第8讲　函数的奇偶性与周期性课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的奇偶性与周期性”核心考点，依据高考评价体系梳理定义、性质、判定、应用四大模块，分析近五年真题中奇偶性判定（占比约30%）、周期性应用（占比约25%）等高频考点，归纳选择、填空、解答题常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“考点梳理+真题精析+技巧提炼”的备考策略，如以2025新高考Ⅰ卷周期偶函数题为例，示范“定义域转化+周期性化简”突破方法，培养学生的数学思维（推理能力）和数学语言（规范表达）。设置易错点分析（如定义域对称忽略）和答题模板，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第二章 基本初等函数 第8讲函数的奇偶性与周期性 1.(教材经典题改编)（多选）下列函数是奇函数的是 A.x)=2x4+3x2 B.Ax)=x3 C.f0w)=x+ X n-是 2.若一个奇函数的定义域为{-1,2，a,b},则a+ A.-1 B.1 C.0 D.2 BC 2x 6= (A) 3.(教材经典题改编)已知奇函数y=x)在区间[a,b]上单调递减，且有最大值m, 则y=孔x)在[-b,一a上单调 递减 ,且有最小值 m 4.(教材经典题改编)已知函数孔x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，孔x)=x(1十 x), 则-2)的值是一6 【解析】由题知f2)=6,因为x)为奇函数，所以机一2)=一2)=一6. 5.己知f(x)是定义在R上的周期为2的函数， -4x2+2,-1≤x<0, x,0≤x<1, 则 【解析】 由题启得2寸-4×〔+2-1 当x∈[-1,1)时，f(x)= 1.奇偶性 定义：若一x)=孔x) 数. 这两个式子有意义的前提条件 性质：(1)奇函数的图象关于 (2)若奇函数的定义域包含0， =x): 则x)为偶函数；若一)=一f), 则x)为奇函 是：定义域关于原点对称. 原点对称，偶函数的图象关于轴 对称 则必有f0)=0:如果函数x)是偶函数，那么孔x) (3)在关于y轴对称的两个区间内， (4)一般地：奇±奇=奇；偶±偶 法相同 (⑤)复合函数的奇偶性：内偶则偶 (6)既奇又偶的函数只有一个y=0, 奇函数单调性 相同 偶；奇×奇=偶；偶× 内奇同外 但定义域可以有无数个 偶函数单调性 相反 偶=偶；奇×偶=奇，除 2.周期性 (1)对定义域内任意x,存在非零常数T(T>0), 的周期； (2)若T存在最小值，侧该值为最小正周期. 使x+)=)成立，则7为x) 目标1 函数奇偶性的判定 例1(1)判断下列函数的奇偶性. ①fx)=1Vx2-1+1V1-x2; 【解答】x)的定义域为{-1,1}，关于原 又是偶函数. 点对称.又孔x)=0,所以x)既是奇函数 x2+2,x>0, ②x)=0,x=0, -x2-2,x<0: 【解答】x)的定义域为R,关于原点对称.当x>0时，一x)=-(一x)2-2=一(x2 +2)=-x): 当x<0时，一x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-孔x): 当x=0时，0)=0，也满足一x)=一x).故该函数为奇函数. m+x 恩y()=logm-女m≠0)： 【解答】fx)的定义域为（一m,m), f),所以fx)为奇函数. mx m+x f一x)=1ogm十-l0gm-x m十x」 例1 (2)(多选)如果x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数为奇函数的是(AD) A.g(x)=x+孔x) B.g(x)=xx) C.g(x)=x2+Ax) D.g(x)=x2孔x) 【解析】因为x)是奇函数，所以-x)=一x).对于A,g(一x)=一x十孔一x)=一 x一孔x)=一g(x),所以g(x)=x十x)是奇函数； 对于B,g(一x)=一一x)=x)=g(x),所以g(x)=xx)是偶函数； 对于C,g(-x)=(一x)2+-x)=x2-x),所以g(x)=x2+x)为非奇非偶函数； 对于D,g(-x)=(-x)2-x)=-x2孔x)=一g(x),所以g(x)=x2孔x)是奇函数. 判断函数奇偶性的步骤：①求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，若不对 称，则既不是奇函数也不是偶函数；②验证f(一x)是否等于+fx),或验证其等价形 式)-x=0或=±1≠0是否成立. f(x) 变式1 1X, 设函数f)一1+x 则下列函数为奇函数的是 (B) A.x-1)-1 B.x-1)+1 C.x+1)-1 D.x+1)+1 【解析】由题意可得)-1+十：对于A-)一1--2不是奇函数： 对于B,f0-1)十1=2是奇函数： 对于C)一1=子22，定义域不关于原点对称，不是奇画数： 对于D化+1+1十2定义城不关于原点对称，不是奇西数。 目标2函数奇偶性的应用 视角1求值 例2-1(1)(2026·武汉期初)若函数f)= 足存高或则欧致。1B A.1 B.-1 C.2 D.-2 【解析】fx)= 40+a_1+a 的定义域为R.由为奇函数，故0 2 4x-14x-1_(4x-104_1-4 =0,解得a=-1.当a=-1时，f一刘=2cs一2x2ws,42w fx),故a=-1符合题意. 例2-1 (2)2025·福州质检)已知yfx)为定义在R上的奇函数，当x<0时，∫x) -4++24.若f)≥a十1对一切x≥0成立，则实数a的取值范围是一，一5] 【解析】因为yfx)为定义在R上的奇函数， 所以f0)=0.当x>0时，一x<0, --4女+十24=寸，所以0)-4+24学4拟24，当且仅当2时 X 0≥a+1, 等号成立.由fx)≥a十1对一切x≥0成立，则 4a-24≥a+1, 解得a≤-5. 例2一2(3)(2025杭州质检)设函数y=x)一x2是奇函数，若函数gx)=x)+5, 4)=9,则g(-4)= (B) A.27 B.28 C.29 D.30 【解析】 由函数y=孔x)一x2是奇函数可知fx)一x2+孔一x)一（一x)2=0,因此可得孔x) +-x)=2x2.又g(x)=x)+5,因此g4)=4)+5,g(-4)=-4)+5;两式相加可 得g(4)+g(-4)=孔4)+5+-4)+5=2×42+10=42.又g(4)=4)+5=14,因此 8(-4)=42-14=28. 例2一24)已知函数f)- a sinx+3(x2)2 x2+4 a是不为0的常数)，当x∈[-2,2] 时，函数fx)的最大值与最小值的和为 (B) A.a+3 B.6 C.2 D.3-a 【解折】通数a-2片设s+4 x2+4 sin 则 g(x)在x∈[-2,2]上是奇函数，且为单调函数，所以g(-2)十g(2)=0.当x∈[-2， 2]时，函数fx)的最大值与最小值的和为f(2)+/(一2)=[g(2)十3]+[g(一2)十3]=6. 变式？⊥(0X2025·岳阳质检若函数)一k。为奇函数，则=(B) e 2 B·2 C.-e D.e 【解析】令e-1≠0，可得x≠0，即函数fx)的定义域为xx≠0.若函数fx)为奇函 数.则=0.可得i列+ek。二=2法。三号 2k-e=0,所以k=5 变式2-1 (2)2025·泉州二检)已知定义在R上的函数x)十1为奇函数，且一1) =-2,则1)= 0 【解析】因为函数x)十1为奇函数，所以-x)+1=一优x)十1]台一x)+x)=一 2.令x=1有-1)+1)=-2，又-1)=-2，所以1)=0. (3)(2025·新乡二模)若孔x),g(x)分别为奇函数、偶函数，2)十g2)=20,且x)-xg (x)=x3,则-2)十5g(-2)=4 【解析】 依题意得2)-2g(2)=8,又2)十g2)=20,解得2)=16，g(2)=4,所以 -2)+5g(-2)=-2)+5g(2)=-16+20=4. 视角2解抽象不等式 例2-3 (2026·漳州期初)已知定义在R上的奇函数fx)满足：x1,2∈(0，十∞)， 且≠，001，若f2=2.则不等式户的解集为可2,0)U2,十) X1—X2 【解标】因为，n0.十∞，且1≠，)1，设g=一，则 X1一X2 g)一g2)根据单调性的定义可得，g)在(0，+○)上单调递增. X1一x2 因为x)在R上为奇函数，所以g(一x)=-x)-(一x)=一九x)十x=一x)一x刈]=一 g(x),所以gx)在R上为奇函数，所以g(x)在（一∞，0），(0，十∞)上单调递增，因为 2)=2,所以g(2)=2)-2=0,则g(-2)=-g(2)=0,所以g(x)=x)-x>0的解集 为(-2,0)U(2,+∞)，即fx)>x的解集为(-2,0)U(2,+∞). 变式2一 2(2025·邢台-模)设函数f)=n1+x)-1十3，则不等式/2x)/ (x十1)的解集为 U(1,+∞) 【解析】 因为f)=h(1+1十3x的定义域为R,且f一x)=1血1十-1十3x =fx),所以fx)为偶函数. 当之0时.=1与=hy=与y=113x均在0.上单调递增，所以 y=n(1+与y=一 一3w均在0.)上单调递增，所以在0.1)上单调递 增，则不等式f2x)fx+1)等价于2x>x+1,即(2x)2>x+1)2,解得x>1或x<- 即不等式2)x+1的解集为-，U1,+) 目标3 函数的周期性 例3(1)2025·泰兴调研)已知函数y=x)是定义在R上的奇函数，且满足x+2) 一x),当x∈[-2,0]时，x)=x2+x,则当x∈[4,6]时，x)等于 (B) A.x2-7x+12 B.-x2+9x-20 C.-x2+7x-12 D.-x2+9x+20 【解析】由题意知x十2)=一x),则x十4)=一x十2)=x),所以函数x)是以4为 周期的周期函数. 又当x∈[-2,0]时，x)=x2+x,且x)是定义在R上的奇函数，所以x∈[0,2]时， 一x∈[-2,0]，x)=一-x)=-(x2-x)=一x2+x.所以当x∈[4,6]时，x-4∈ [0,2],x)=x-4)=-(x-4)2+(x-4)=-x2+9x-20. 例3(22025·武汉2月调研)已知函数x)满足x十1)=x)十x+2),若f(1)=2, 11)=3,则/2025)= (D) A.1 B.-1 C.5 D.-5 【解析】 由题意可得x+2)=孔x+1)一x),用x+1代替x得孔x+3)=x+2)一x+ 1),两式相加得孔x十3)=一x),所以x+6)=一x+3)=x),所以函数x)是以6为 周期的周期函数，所以11)=5)=3. 又5)=-2)，所以2)=-3，所以3)=2)-1)=-3-2=-5，所以2025)= 337×6+3)=3)=-5. 周期性的几个常用结论 对x)的定义域内任一自变量的值x,周期为T,则： (1)孔x+a)=x十b)→x)为周期函数，其周期T=b (2)x+a)=一x)→x)的周期T=2a; (ee+o)心j的周期20： (4)孔x)十x+a)=k(k为常数)→孔x)的周期T=2; (5)xx+a)=k(k为常数)→x)的周期T=2a. a: 变式3(2026·泉州期初)若定义在R上的奇函数fx)满足fx+2)fx),且当0< 1时，)=-+，则 (B) A.-1 B. C. 4 2 【解析】 因为f十2)，所以函数)是周期函数，2是其一个周期，所以行 6可因为12乃-[+5本所以 1.(2025·新高考I卷)设f(x)是定义在R 时，=5-2x,则 1 2 B C. 4 D. 【解析】人-品-5-2×4-分 上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3 (A) 4 12 2.(2024·全国甲卷理)函数孔x)=-x2+(e-e-)sinx在区间[-2.8,2.8]上的大致图 象为 (B) A B D 【解析】 由-x)=-x2+(e-x-e)sin(-x)=-x2+(e-e-x)sinx=x),又函数的定 义域为[-一2.8,2.8]，故该函数为偶函数，排除A,C. 又0)1e-ml-1-e-m吾氵-1-0}名0故回排除D. 3.(2025·苏锡常镇二模)已知函数f孔x)和g(x)的定义域均为R,若孔x十1)是奇函数， g(x)是偶函数，且x)-gx-2)=2-x,则g(-1)= (D) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】 由孔x+1)是奇函数，所以-x十1)=一x十1).令x=0,可得1)=一 1),可得1)=0.在x)-g(x-2)=2-x中，令x=1,得1)-g(-1)=1,所以g(- 1)=-1;令x=3,得3)-g(1)=-1,所以3)=g(1)-1=g(-1)-1=-2,所以 g-1)=-1)=-2+1)=-2+1)=-3)=2. 配套练习题 一、单项选择题 1.(2025·承德质检)若函数fx) 为 A.fx)=一x2+1 c x十1 A组夯基精练 十在1是音西致，划a的解式 (B) X B.f()-x2+1 X D.f(x)-x2+x+1 2.若定义在R上的函数fx)是周期为2的偶函数， 则- A.2 B.1 C.-2 D.-1 【解析】由题知》}223-4=3 当0≤x≤1时，fx)=3一4， (B) -2=1. 3.(2026镇江期初)下列函数为偶函数的是 2+1 A.f(x)=2-2x B.f(x) 2x-1 2 C.f(x)-x In(x+Vx2+1) D.f(x)=-x3+x3 【解析】对于A,函数定义域为R,-x)=2x一2x=一x),所以孔x)为奇函数，故 A错误； 对于B,由2一1≠0可得x≠0，所以函数的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)， 2x+11+2 又一)一2-11一2=四)所以函数)为奇函数，故B错误： 对于C,函数的定义域为R,( 0x2+1+0x2+1- Vx2+1+x )=一xnx2+ 数，故C正确； 对于D,函数的定义域为R,f(一x)= 函数，故D错误. 【答案】C -x)=-xln(一x 1+xx Inex+ 2 (一x)3+(一x)3=x3十 +(-x)2+1)=-xln 1)f(),所以fx)为偶函 2 x3fx),所以fx)不是偶 4.已知函数fx)和g(x)均为奇函数，h(x)=ax)十bg(x)十2在区间(0，+∞)上有最大 值5，那么h(x)在（一∞，0）上的最小值为 (B) A.-5 B.-1 C.-3 D.5 【解析】令Fx)=h(x)-2=ax)十bgx),则Fx)为奇函数.因为x∈(0，+∞)时， h(x)≤5，所以x∈(0，+∞)时，Fx)=h(x)-2≤3. 又x∈（一∞，0）时，一x∈(0，+∞)，所以F(一x)≤3台一F(x)≤3台Fx)≥一3，所以 h(x)≥-3+2=-1. 5.设函数)=x2027十x则使得fc)>Y(21诚立的x的取值范围是(A) Ag司 B,1.t网 c. D.,+o 【解析】 由题意知，fm)是R上的偶函数，当x≥0时，f=r一2027+x2, 所以fx) 在[0，+∞)上是增函数，所以由fx)>f(2x一1)，得f(x)f2x一1)，所以x>2x一1， 所以4女中1，解得<1.所以：的取值范国是}，小 二、多项选择题 6.(2025·徐州调研)若函数/()= 2x-1 x+1 A.x-1)-2 C.x+1)+2 则以下函数不为奇函数的是() B.x-1)+2 D.x+1)-2 【解析】对于A,令g)化-1)-2=23 2=-3 x 定义域为(-∞，0)U(0,十 ∞)，且满足g(一x)=一g(x),所以函数fx一1)一2为奇函数. 对于，设-十2=-子+4，定义域为(-，0U0.十.但不满足M x)=一h(x),所以函数fx-1)十2不是奇函数. 对打C-+22,定义城为(，-(-2.十故w十十2不 是奇函数. 对于D,+1)-22十 x+2 -2,定义域为(-∞，-2)U(-2,+∞)，故f十1)一2不 是奇函数. 【答案】BCD 7.已知函数fx)是定义在R上的奇函数，当x<0时，fx) 确的有 A.当x>0时，f)=1 3 2十x C.不等式xfx)<0的解集为（一1,0）U(0,1) D.若函数y=x川一a的图象与x轴有4个不同的交点，则 3 一一1，则下列说法正 2-x 0习 【解析】 当x>0时，一x<0,由题意可知f(x)=f( A正确.由题意可知f(0)=0,B错误. -3--1,x<0, 2一x 由以上知fx)=0,x=0, 令fx)>0,则-1 3 2+x’x>0, 心1戏N1出n9支n 确。 2-3 x<0或>1；令f)<0,则x 即0<x<1或-1<x<0,C正 令y=fx)一a=0,得a=fx),作出rx)的图象如图所示， 函数y=f0训的图象存在4个交点时，0<a<,D正确. y / 1 v-a -1 【答案】ACD 由图可知当直线y=a和 8.(2025·佛山二模)已知函数fx) A.最小正周期为π C.在[0，]上单调递增 2sinx, 3+cos 2x' 则下列关于f(x)的说法中正确的有 () B.是奇函数 D.最大值为1 2sin(π+x) 【解析】由f(x十x)=3十cos[2(π十x] 2sin=w),显然元不是fx)的周期， 3+cos 2x A错误. 2sin(-x)-= 由f)的定义域为R,且f(-)一3十cos(一2x) ,2sim.=寸x,所以f为奇函 3+c0s2x 数，B正确. 由解析式，易得0)=孔π)=0，显然在[0，上不是单调递增，C错误. 2sinx sinx 由fx)-3+cos2x2-simt 令t=sinr∈[-1 0.若0，则02 又=在一1， 上 2,则0一1,0)：在0 以fx)=h(t)的最大值为1，D正确. 【答案】BD ,1小则)-=，且M0= 0),(0,1]上都单调递减，在[-1,0) 止子-1， 则h()∈(0,1]，所 三、填空题 9.(2023·全国甲卷理)若 【解析】 因为y=fx)=(c x十1为偶函数，定义域为 a=2. y=(x-1)2+ax+sinx十 y+a中nk+=r R,所以f(一x)=(一x)2+ π2 为偶函数，则a= 2 1)2+ax+cosx=x2+cosx-2x+ cos(一x)十2x一ax+1fx),解得 10.(2026黄冈期初)已知函数x)的定义域为R,y=x)一sinx为偶函数，y=x)十 2cosx为奇函数，则/x)的最大值为V5 【解析】因为y=x)一sinx为偶函数，则-x)十sinx=x)一sinx①，又y=x)十 2cosx为奇函数，则-x)十2cosx=一儿x)一2cosx②. 由①-②，整理得fx)=sinx-2cosx,则fx)=sinx一2cosx=V5sin(x一p),其中tan 9-2,故当sin)=1时.即x=乃十o+2m,∈乙时，f)取得最大值为5. 11.(2025张家口一模)已知定义在R上的函数孔x)满足以下条件：①x)=2一x): ②x)=-6-x):③5)=1.则1)+2)+…+2025)= 【解析】由x)=2-x),x)=一6-x),得x)=2-x)=一+4)=x+8),所 以x)的周期为8,1)+2)+3)+4)+5)+6)+7)+8)=1)+2)+3)+4) +5)+6)+-1)+0)=[1)+5)]+[2)+6)]+[4)+0]+3)+九-1)]= 0,1)+2)++2025)=1)+253[1)+2)+3)+4)+5)+6)+7)+8)] =-5)=-1. 四、解答题 12.设函数x)对任意x,y∈R都有x十y)=x)十y),且当x>0时，x)<0,1) =-2. (1)求证：x)为奇函数； 【解答】令x=y=0,则0)=0)十0)=20)，所以0)=0.令y=一x,则有0)= x)+一x)=0,所以孔一x)=一x).因为函数孔x)的定义域为R,关于原点对称，所 以函数孔x)为奇函数. 12.(2)求证：孔x)在R上是减函数： 【解答】任取1，x2∈R,且x1<x2,! 则x2-x1>0,因为当x>0时，x)<0,所以 x2-x1)<0,所以x2)-x1)=(x2-x1)十x1)-x1)=x2-x1)+x1)-x1)=x2 x1)<0,所以x2)-x1)<0,即x1)>x2),所以x)在R上是减函数. (3)若2x+5)+f6-7x)>4,求x的取值范围： 【解答】由(1可知，-1)=-1)=2.令x=y=-1,则-2)=术-1)+-1)= 2-1)=4.因为2x+5)+6-7x)>4,所以2x+5+6-7x)>-2),即11 5x)>-2). 因为f)在R上是减函数，所以11一5x<一2，解得>，即x的取值范围是 12.(4)求孔x)在[一3,3]上的最大值与最小值. 【解答】令x=-2,y=-1,则-3)=-2)十-1)=4+2=6. 因为孔x)在R上是 减函数，所以x)在[一3,3]上的最大值为6.因为奇函数在关于原点对称的区间上 的最值互为相反数，所以x)在[一3,3]上的最小值为一6. 13.设函数fx)与g(x)的定义域是{xx∈R且 且十g6x1 X (1)求x)与g(x)的解析式： 【解答】 根据题意，知f)十)=则 偶函数，gx)是奇函数，则f(一x)十g(一x)=fx) 80)=x2-1 x≠±1，fx)是偶函数，gc)是奇函数， -动--千1义a是 x1联立两式解得/广1 13.设函数fx)与g(x)的定义域是xx∈R且x≠±1，fx)是偶函数，g(x)是奇函数， 且十g6)广 2)求+5/4+2)+)4的值 【解】虹e=则日-亡奥有w+ 1.re)treytrrr-3. B组能力提升练 14.(2025福州二模)（多选）定义在R上的函数f孔x),gx)满足：①当x>0时， x)>0,且g(x)>0;②gx+y)=gx)g0y)+xy):③g(x-y)=gx)gy)-x/y),则 A.g(0)=1 B.g(x)为偶函数 C.x)为奇函数 D.x)为周期函数 【解析】由g(x+y)=gx)gy)十xy)及g(x一y)=gx)gy)一x),两式相加可得g(x +y)十g(x-y)=2g(x)gy).令x>0,y=0,可得2g(x)=2g(x)g0),因为x>0,所以 gx)>0,即可得g0)=1,A正确. 再令x=0,可得gy)十g(-y)=2g(0)gy),又g(0)=1,即g(-y)=g0y),由于y∈R,所 以g(x)为偶函数，B正确. 再由g(x+y)=g(x)g0y)+x)儿y),令y=一x,得g(O)=g(x)g(-x)+x)-x),又g(x)为 偶函数，所以g(0)=g(x)g(x)+x)M一x)①.由g(x一y)=g(x)gOy)一xy),令y=x得 g(0)=g(x)8(x)-孔xx)②.①②两式相减可得x)儿x)十-x)]=0,又人x)不恒为0， 所以孔x)+孔一x)=0,即x)为奇函数，C正确. 因为x)为奇函数，且x>0时，有x)>0,则有x<0时，x)<0,且仅有0)=0，所 以不可能存在常数T满足0+T)=O),即x)不是周期函数，D错误. 【答案】ABC 15.(2025·德州期中)已知函数fx)的定义域为R,fx一1)+fx+1)=f(3),f(一2x+ 2为.且=，则1y =1 【解析】 由x-1)+x+1)=3),得x)+x+2)=3),x+2)+x+4)=3),所 以x)=x+4),故x)是周期为4的函数. 因为-2x+2)为偶函数，所以/2-2x)2+2),所以0-)2+，令=2 得月=1.令=1，得. 在f-1)+fx+1)f3)中， 得0h5i-o.故2 -1. 2025 由函数的周期性得∑(k十1) k=1 -2025)-2026=-2026. 【答案】1 -2026 令x=2,得f(1)+f3) =-1:令x= 5 21 k-2=(-2 3+4 f3),所以f1)f(3)=0.令x= 得i=0.故-- 5)十+(-2022+2023+2024