1.2.2 完全平方公式（教学课件）2025--2026学年湘教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，涵盖推导过程、结构特征及应用。导入通过回顾平方差公式，对比(3x+2y)²的结构引发思考，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于结合几何直观（图形面积验证公式）和推理意识（多项式乘法推导、替换法得差公式），用口诀“首平方，尾平方，积的2倍放中央”简化记忆。典例覆盖多种形式，归纳步骤与注意事项，帮助学生提升运算能力，为教师提供清晰教学流程。

1.2.2 完全平方公式 第一章 整式的乘法 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点. （重点） 2.会运用公式进行简单的运算.(难点) 完全平方公式 p2 + 2p + 1 m2 + 4m + 4 p2－2p + 1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = . (2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = . (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = . m2－4m + 4 根据上面的规律，你能直接写出下面式子的结果吗？ (x＋y)2 = . x2 + 2xy + y2 (x－y)2 = . x2－2xy + y2 1 完全平方公式 (x + y)2 = ； x2 + 2xy + y2 (x - y)2 = . x2 - 2xy + y2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫作完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” 知识要点 新知探究 完全平方公式1 完全平方公式1： (x+y)2=x2+2xy+y2 两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。 注意：x,y可以是单项式，也可以是多项式。 新知探究 思考：计算(xy)2？ 将完全平方公式1中的y用y代替则可得 (xy)2=[x+(y)]2 =x2+2x·(y)+(y)2 =x22xy+y2. 即(xy)2=x22xy+y2 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同； 4. 公式中的字母 x，y 可以表示数、单项式或多项式. 新知探究 完全平方公式2 完全平方公式2： (xy)2=x22xy+y2 两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。 注意：x,y可以是单项式，也可以是多项式。 新知探究 口诀：首平方和尾平方，首(乘)尾两倍在中央，中间符号照原样. 完全平方公式1： (x+y)2=x2+2xy+y2 完全平方公式2： (xy)2=x22xy+y2 你能根据图 1 和图 2 的面积解释完全平方公式吗? b a a b b a b a 图 1 图 2 想一想： 设 a，b 都是正数，将完全平方公式1中的 x 用 a 代入，y 用 6 代入，可得 (a ± b)² = a² ± 2ab + b². 几何解释： a a b b = + + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 完全平方公式1： a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 几何解释： (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 完全平方公式2： a−b 新知探究 填表： 算式 与公式中x对应的项 与公式中y对应的项 计算结果 (2a+b)2 (5a4b)2 2a b 4a2+4ab+b2 5a 4b 25a240ab+16b2 新知探究 解法一： (x)2=(x)22·(x)·+()2=x2+x+. 解法二： (x)2=[(x+)]2=(x+)2=x2+2·x·+()2=x2+x+. 说一说：怎样计算(x)2? 1.运用完全平方公式计算： (1) (2x+3)2 (2) 解： (2x+3)2 = (2x)2+2·2x·3+32 = 4x2+12x+9 [教材P19 练习第1题] (3) (5x-2y)2 (4) (-4a-3b)2 解： (5x-2y)2 = (5x)2-2·5x · 2y+(2y)2 = 25x2-20xy+4y2 (-4a-3b)2 = (-4a)2-2· (-4a) ·3b+(3b)2 = 16a2+24ab+9b2 2.计算： [教材P19 练习第2题] (1) 1032 (2) 2972 1032 =(100+3)2 =1002+2×100×3+32 =10 000+600+9 =10 609 解： 2972 = (300-3)2 = 3002-2×300×3+32 = 90 000-1800+9 = 88 209 新知探究 归纳 一般步骤： (1)确定公式中的x和y；(2)确定和差关系； (3)选择公式；(4)计算结果 . 注意事项： (1)套用公式时千万不能漏掉“2xy” 这一项； (2)两个平方项的底数要带上括号 . 课堂小结 口诀：首平方和尾平方，首(乘)尾两倍在中央，中间符号照原样. 完全平方公式1： (x+y)2=x2+2xy+y2 完全平方公式2： (xy)2=x22xy+y2 $