精品解析：广东省深圳市龙华区第二外国语学校2025-2026学年初三第三次学情调研数学试卷

九年级数学适应性限时训练试卷 一、选择题（共8小题） 1. 如图所示新能源车企的车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 长江是我国第一大河，它的全长约为6300000米，将6300000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至，此时测得点B的俯角为，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某公司拟推出由5个小礼品组成的礼品套盒，统计序号为1到5号的小礼品的质量如图所示．为了提高礼品套盒的品质，公司决定再增选2个小礼品放入套盒，且7个小礼品质量的中位数与原来5个小礼品质量的中位数相等，增选的2个小礼品的质量可以是（ ） A. 50克、60克 B. 70克、90克 C. 90克、100克 D. 60克、60克 7. 研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 8. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，的阻值为 B. 当托盘上货物的质量为时， C. 在一定范围内，随的增大而减小 D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 二、填空题（共5小题） 9. 若是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 10. 从拼音“zhongkao”中随机抽取一个字母，抽中字母o的概率为__________． 11. 将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第三象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 12. 年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足球的原型．其由块手缝嵌面组成（块黑色的正五边形和块白色的正六边形），这种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中度数为______． 13. 如图，正方形中， 绕点逆时针旋转到，分别交对角线于点，若，则的值为________． 三、解答题（共7小题） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，并从1，2，3三个数中选一个合适的数代入求值． 16. 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施、儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了人，其调查结果如下：如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），请根据统计图回答下面的问题： （1）调查总人数______人，在扇形统计图中“健身”这一项所对应的圆心角度数为______． （2）请补充条形统计图； （3）若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？ （4）改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下： 项目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身 甲 7 7 9 8 乙 8 8 7 9 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高； 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高． 17. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 18. 如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，点E在上，连接，且 ． （1）实践与操作：用直尺和圆规作出边上满足条件的点E，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）推理与计算： ①求证：是的切线； ②若， ，，求劣弧的长度． 19. [综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数 图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线 与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 20. 定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． （1）互补四边形中，若，求的度数； （2）如图，在四边形中， 平分，，．求证：四边形是互补四边形； （3）如图，互补四边形中， ，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； （4）如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学适应性限时训练试卷 一、选择题（共8小题） 1. 如图所示新能源车企的车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 2. 长江是我国第一大河，它的全长约为6300000米，将6300000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，故A不符合题意； ∵，故B不符合题意； ∵，故C不符合题意； ∵，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则，熟练掌握相关法则是解题的关键． 4. 如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至，此时测得点B的俯角为，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ，， ∴． 故选：B． 5. 如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握是解题的关键． 根据平行线同旁内角之和为即可解题． 【详解】解：由题意得，和为平行线间同旁内角， 故． 故选C． 6. 某公司拟推出由5个小礼品组成的礼品套盒，统计序号为1到5号的小礼品的质量如图所示．为了提高礼品套盒的品质，公司决定再增选2个小礼品放入套盒，且7个小礼品质量的中位数与原来5个小礼品质量的中位数相等，增选的2个小礼品的质量可以是（ ） A. 50克、60克 B. 70克、90克 C. 90克、100克 D. 60克、60克 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，熟记中位数的定义是解题关键．先求出原来5个小礼品质量的中位数为克，再根据中位数的定义可得增选的2个小礼品的质量一个需在克以下，一个需在克以上，由此即可得． 【详解】解：由图可知，原来5个小礼品质量的中位数为克， 要使7个小礼品质量的中位数与原来5个小礼品质量的中位数相等，则增选的2个小礼品的质量一个需在克以下，一个需在克以上， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 7. 研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了不等式的表示．分别求出最佳燃脂心率最高值，最低值，即可求解． 【详解】解：最佳燃脂心率最高值为， 最低值为， ∴15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为． 故选：B 8. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，的阻值为 B. 当托盘上货物的质量为时， C. 在一定范围内，随的增大而减小 D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 根据所给函数图象即可判断选项A、C，再求出当时，观察图象即可判断选项B，当时，的阻值为，此时有最大值，进行计算即可判断选项D． 【详解】解：根据图2得，当时，的阻值为，故选项A说法正确； 当托盘上货物的质量为时，令，， 观察图象可知当时，在和 之间， 故选项B说法错误，符合题意； 在一定范围内，随的增大而减小，故选项C说法正确； 当时，的阻值为，最小，此时有最大值，即， 解得：， 即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确； 故选：B． 二、填空题（共5小题） 9. 若是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解及解一元一次方程，将代入方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， 即， 解得：． 故答案为：1． 10. 从拼音“zhongkao”中随机抽取一个字母，抽中字母o的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查古典概型概率的计算，解题的关键是明确古典概型概率公式（其中是基本事件总数，是事件所包含的基本事件数），准确找出字母的总数以及字母的个数． 先确定拼音“zhongkao”中字母的总数，再确定字母的个数，最后根据古典概型概率公式计算抽中字母的概率． 【详解】从拼音“zhongkao”的个字母中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为． 故答案为：． 11. 将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第三象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一， 即可） 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”法则，得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件，得到的取值范围，写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：将直线沿轴向上平移个单位长度，根据平移法则得平移后解析式为： ∵直线，， ∴直线恒过第一、第三象限，若要经过第二象限，需直线与y轴交点的纵坐标大于， 即： 解得 则的值可以是． 12. 年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足球的原型．其由块手缝嵌面组成（块黑色的正五边形和块白色的正六边形），这种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，先求出正五边形和正六边形的每个内角，进而根据镶嵌的定义即可求出，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵正五边形的每个内角为， 正六边形的每个内角为， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 13. 如图，正方形中， 绕点逆时针旋转到，分别交对角线于点，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明，利用相似的性质即可得出答案． 【详解】解：在正方形中，， ∵ 绕点逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 三、解答题（共7小题） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别根据二次根式化简、零指数幂、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的定义进行计算，再根据实数运算法则计算得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，并从1，2，3三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，正确根据分式的混合运算法则化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可，要注意取2，3时分式无意义，故只能取1． 【详解】解： ； 取2，3时分式无意义， ∴当时，原式 16. 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施、儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了人，其调查结果如下：如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），请根据统计图回答下面的问题： （1）调查总人数______人，在扇形统计图中“健身”这一项所对应的圆心角度数为______． （2）请补充条形统计图； （3）若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？ （4）改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下： 项目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身 甲 7 7 9 8 乙 8 8 7 9 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高； 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高． 【答案】（1）①100；② （2）见解析 （3）该城区10万名居民中愿意改造“娱乐设施”的约有人 （4）乙；甲 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图中健身的人数40人和扇形统计图中健身占比，用部分量除以对应百分比即可求出调查总人数；再用健身人数占总人数的比例乘以，即可计算出健身项目对应的圆心角度数； （2）用调查总人数依次减去休闲、儿童、健身的人数，求出选择娱乐设施的人数，然后在条形统计图中画出对应高度的直条，补全统计图即可； （3）先求出样本中愿意改造娱乐设施的人数占总调查人数的比例，再用该城区的总居民数乘以这个样本比例，即可估算出全城区愿意改造娱乐设施的人数； （4）先根据给定的两种不同权重比例，分别计算甲、乙两个小区的满意度平均分，第一种的权重直接计算算术平均数，第二种的权重按对应比例计算加权平均数，然后比较两个小区的平均分大小，即可得出哪个小区满意度更高． 【小问1详解】 解：①由题意得，； ②样本中“健身”的人数40人， “健身”所占的圆心角的度数为： ； 【小问2详解】 解：样本中“娱乐”的人数（人），补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 答：该城区10万名居民中愿意改造“娱乐设施”的约有人； 【小问4详解】 解：按照进行考核： 甲：（分）， 乙：（分）， ∵， ∴乙小区满意度（分数）更高； 按照进行考核： 甲：（分）， （分）， ∵， ∴甲小区满意度（分数）更高． 17. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】（1）选用A种食品4包，B种食品2包 （2）选用A种食品3包，B种食品4包 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品4包，B种食品2包． 【小问2详解】 解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当 时，w最小． ∴． 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 18. 如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，点E在上，连接，且 ． （1）实践与操作：用直尺和圆规作出边上满足条件的点E，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）推理与计算： ①求证：是的切线； ②若， ，，求劣弧的长度． 【答案】（1）见解析； （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）方法①作交于点E即可；方法②作的垂直平分线交于点E即可；方法③过点作的垂线交于点． （2）①连接，根据等边对等角得出， ，由可得出，由平角的定义得出，进而可证明是的切线． ②过点O作的垂线，交于点H，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，由垂径定理求出，由余弦的定义求出，最后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：如下图点E即为所求： 【小问2详解】 解：①连接， ∵， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． ②过点O作的垂线，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 19. [综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数 图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线 与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据顶点坐标公式列方程求解即可； （2）先求出，得到 ，求出点，得 ，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线 图的顶点坐标为， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）∵直线 与坐标轴交于，两点， ∴令，得，令，则，则 ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ； ∵直线 是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ∴ ，， ∴, ∴ 是等腰直角三角形， ∴， 对于，当时，， 解得，或 ， ∴, ∴ ∴， ∴ （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得，， ∴ 设M点坐标为，则， ∵， ∴当时，的最大值为2． 20. 定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． （1）互补四边形中，若，求的度数； （2）如图，在四边形中，平分，，．求证：四边形是互补四边形； （3）如图，互补四边形中， ，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； （4）如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长． 【答案】（1） ； （2）证明：在上取，连接， 平分， ， 在 和 中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 即对角互补，四边形是互补四边形． （3）周长不变，周长为； （4）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由定义可得，设，，，解方程后即可求出的度数； （2）在上取，连接，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质得，，再由等量代换、等边对等角得出，根据即可证四边形是互补四边形； （3）延长使 ，连接、，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质得， ，可证，再利用“边角边”证明，再结合全等三角形的性质得，即，证明后，结合全等三角形性质、含的直角三角形特征、勾股定理得到，即可得到周长； （4）分两种情况考虑：①四边形是平行四边形；②四边形 是平行四边形，结合平行四边形性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含的直角三角形特征、勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 解：依题意得：， 设，，， 即， 解得 ， ， ，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：周长不变，证明如下： 延长使 ，连接、， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在 和中， ， ， ，， ， ，， ， 故周长不变，周长为． 【小问4详解】 解：分两种情况： ①如下图所示，四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 同（3）得，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 设， 作于点，则， 菱形的面积， 解得或 （舍去）， ， ， ，， ； ②如下图所示，四边形 是平行四边形， ， 平行四边形 是菱形， ，， 作 交于点，交于点， 设，则， 菱形 的面积， 解得或 （舍去）， ， ， ， 则 中，，，， ，， ， 同①得：， ， 是的外角， ， ， ． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用、全等三角形的判定与性质、等边对等角、含的直角三角形特征、勾股定理、平行四边形性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $