精品解析：2025年广东省深圳市龙华实验学校教育集团中考数学三模试卷

2025年广东省深圳市龙华实验学校教育集团中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 几种气体的沸点（标准大气压）如下表： 气体 氢气 氮气 氧气 氦气 沸点温度（℃） 其中沸点最低的气体是（ ） A. 氢气 B. 氮气 C. 氧气 D. 氦气 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较， 根据负数相比较，绝对值大的反而小，即可得出答案． 【详解】解：由， ∵， ∴， 所以沸点最低的气体是氦气． 故选：D． 2. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A 3. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下面为张小亮的答卷，他的得分应是（ ） 姓名张小亮 得分？ 填空（每小题3分，共15分）． ①的绝对值是． ②2的倒数是． ③的相反数是． ④1的立方根是1． ⑤4的平方根是． A. 15分 B. 12分 C. 9分 D. 6分 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用绝对值以及倒数、相反数、立方根、平方根的定义分别分析得出答案． 【详解】解：答卷中只有：②2的倒数是错误，2的倒数是， 他的得分应是分， 故选：B． 【点睛】本题主要考查绝对值、倒数、相反数、立方根、平方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 5. 检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数的定义，并结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得7.2≤≤7.8，从而得出答案． 【详解】解：根据题意知7.2≤≤7.8， ∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3， 故选：A． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握平均数的定义． 6. 某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式算出重物上升的高度即可． 【详解】解：． 故选：B． 7. 某工程队在滨江路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“”，设实际每天改造人行道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补充为（　　） A. 每天比原计划少铺设10米，结果延迟10天完成 B. 每天比原计划多铺设10米，结果延迟10天完成 C. 每天比原计划少铺设10米，结果提前10天完成 D. 每天比原计划多铺设10米，结果提前10天完成 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，由已知分式方程可以得到需要补充的内容． 【详解】解：设实际每天改造人行道x米， 则表示原计划每天比实际少铺设10米，即每天比原计划多铺设10米， ∴表示原计划铺设天数，表示实际铺设天数， ∴表示原计划铺设天数比实际多10天， ∴题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为每天比原计划多铺设10米，结果提前10天完成， 故选：D． 8. 如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线解析式为，再求出抛物线与正方形边长另一个交点为，再根据直线过定点，结合函数图象解题即可． 【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为， ∵正方形的顶点坐标分别为， ∴， ∵抛物线经过点，顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得到，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ， ∵直线， ∴直线过定点， 当时， ∴直线与必有两个交点， ∵将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象，直线与图象有唯一交点， ∴当时，抛物线过，即，解得， 当时，抛物线过，即， 解得：， 综上所述，或， 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 2025年春节档热映多部精彩电影．小李、小王分别从四部影片：《唐探1900》《哪吒之魔童闹海》《封神》《重启未来》中随机选择一部观看，则两人选择的影片相同的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设“《唐探1900》”表示为A，“《哪吒之魔童闹海》” 表示为B，“《封神》”表示为C，“《重启未来》” 表示为D，根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中甲乙恰好选中同一项目的结果有4种， 两人恰好选中同一部电影的概率是， 故答案为：． 10. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 11. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y= (x＞0)上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为_________. 【答案】B（4，）． 【解析】 【详解】试题分析：由矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），利用待定系数法即可求得反比例函数与直线OA的解析式，又由OA⊥AB，可得直线AB的系数，继而可求得直线AB的解析式，将直线AB与反比例函数联立，即可求得点B的坐标． 试题解析：∵矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（x＞0）上，点A的坐标为（1，2）， ∴2=， 解得：k=2， ∴双曲线的解析式为：y=，直线OA的解析式为：y=2x， ∵OA⊥AB， ∴设直线AB的解析式为：y=-x+b， ∴2=-×1+b， 解得：b=， ∴直线AB的解析式为：y=-x+， 将直线AB与反比例函数联立得出： ， 解得： 或 ∴点B（4，）． 考点: 反比例函数综合题. 12. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 13. 如图，在边长为6的等边三角形中，点在边上，且，点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，当与的某条边平行时，则线段的长为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据题意，分三种情况：；；，分类讨论，利用等边三角形的判定与性质，勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：在边长为6的等边三角形中，点在边上，且， ，则， 若，如图所示： 将线段绕点顺时针旋转得线段， 是等边三角形，且边长为4， ； 若，如图所示： 将线段绕点顺时针旋转得线段， 是等边三角形， ， ，则， 为等边三角形，且边长为4， 连接，如图所示： ， 是等边三角形，则，， ， ，即，则， ， 在中，，， 则由勾股定理可得； 当与重合时，如图所示： 的情况不存在； 综上所述，线段的长为2或． 【点睛】本题考查求线段长，涉及等边三角形的判定与性质、旋转性质、平行线性质、勾股定理、含的直角三角形性质等知识，根据题意，分类讨论是解决问题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1），；（2） ， 【解析】 【分析】本题考查的知识点是公式法解一元二次方程、分式的化简求值、完全平方公式，解题关键是熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤及分式的化简． （1）用公式法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）先算括号里面的，再算除法，最后把的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 则， 所以，． （2）解：原式 ； 当时， 原式． 15. 为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下． 信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下． 信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下． 分组 人数 m 7 2 7 信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______； （2）下列结论正确的是______；（填序号） ①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的； ②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”； ③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升； （3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数． 【答案】（1）4 （2）①③ （3）18 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图的相关知识，个体占比，中位数定义，用样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）用样本总体减去良好成绩的人生，合格成绩的人数，待提高成绩的人数即可得出答案． （2）①用体育成绩低于80分的人数8除以样本总体20即可得出判断．②用中位数的定义判断即可．③根据坐标得出点A和点B各自的美育和体育的成绩判断即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：4． 【小问2详解】 ①根据20位学生体育成绩和美育成绩得分统计图可知： 体育成绩低于80分的人数有8人， ∴体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的，故①正确． ②∵一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数， ∴中位数位于之间， 即参与测评20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误． ③在信息三中，点A的美育成绩为90，体育成绩为70，点B的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确， 故有①③正确， 故答案为①③． 【小问3详解】 根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人． 故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有人． 16. 如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面，最低点距地面．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身垂直于水平地面（点，，，，，，在同一平面内）． （1）求风轮叶片的长度； （2）如图2，点在右侧，且．求此时风叶的端点距地面的高度．（参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，的长为半径作圆，延长交于点，设直线与交于点，根据题意可得，，从而求出的长，进而可得，进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，从而得，，进而求出，然后在中求出，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：以点为圆心，的长为半径作圆，延长交于点，设直线与交于点 由题意得：，， ∴， ∴， ∴风轮叶片的长度为； 【小问2详解】 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意得：，， ∴． ∴在中，． ∵， ∴， ∴， ∴此时风叶的端点距地面的高度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，圆的定义，矩形的判定与性质，三角函数等知识．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17. 某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： （1）若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 【答案】（1）应选用A种食品4包，B种食品2包 （2）应选用A种食品3包，B种食品4包 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用： （1）设选用A种食品x包，种食品y包，根据“恰好摄入热量和蛋白质”列方程组，即可求解； （2）设应选用A种食品a包，B种食品包，根据“每份午餐中蛋白质含量不低于”列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 小问1详解】 解：设选用A种食品x包，种食品y包， 由题意可知，， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． 【小问2详解】 解：设应选用A种食品a包，B种食品包， 由题意可知，． 解得：． 当选用A种食品a包时，脂肪含量（单位：g）为， 脂肪含量随a的增大而减小． ∴时既符合蛋白质的需求，又能够保证脂肪含量最少． B种食品:（包）． 答：应选用A种食品3包，B种食品4包． 18. 如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于D． （1）尺规作图：过点D作交的延长线于点E，交于点F． （2）求证：是的切线； （3）若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）5 【解析】 【分析】（1）按照基本作图“过一点作已知直线的垂线”的作法，作交的延长线于点，再连接交于点即可； （2）连接，则，而，则，所以，则，即可证明是的切线； （3）作于点，则，可证明，设，由，得，则，再证明，得，则． 【小问1详解】 解：作法：1．延长； 2．以点为圆心，以适当长度为半径作弧交射线于点、； 3．分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点； 4．作射线交的延长线于点； 5．连接交于点， 线段、、点就是所求的图形． 【小问2详解】 证明：连接，则， ， 的平分线交于， ， ， ， 交的延长线于点， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问3详解】 解：作于点，则 ∵是的切线． ∴ 平分，作于点，交的延长线于点， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的长是5． 【点睛】此题重点考查尺规作图、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 19. 如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值； （3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）把代入抛物线的解析式，解方程求解即可； （2）联立两个函数的解析式，消去 得：再利用根与系数的关系与可得关于的方程，解方程可得答案； （3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当 ＜＜ 结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案. 【详解】解：（1）把代入中， 抛物线的解析式为： （2）联立一次函数与抛物线解析式得： 整理得： ∵x1+x2=4-3k，x1•x2=-3， ∴x12+x22=（4-3k）2+6=10， 解得： ∴ （3）∵函数的对称轴为直线x=2， 当m＜2时，当x=m时，y有最大值，=-（m-2）2+3， 解得m=±，∴m=-， 当m≥2时，当x=2时，y有最大值， ∴=3， ∴m=， 综上所述，m的值为-或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键. 20. 【模型建构】 如图1，已知线段，所在直线交于点O，其所夹锐角为α．小明在学习了平移之后，将图1中的线段，其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，，点D，E分别在，延长线上，且，，求证：． 方法一：过点E作，且，连接，，将证明，转化为证明； 方法二：过点C作，且，连接，，将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程． （2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己的思路解答下面问题： 如图5，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，，连接交于点G，求的度数． （3）如图6，在中，，D，E分别是边，上的点，且于点H，若，，，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 方法一：过点E作，且，连接，，如下图， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 方法二：过点C作，且，连接，，如下图， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到．方法一：过点E作，且，连接，，证明四边形是平行四边形，得到，再证明，进而证明是等边三角形，利用等边三角形的性质得到即可．方法二：过点C作，且，连接，，四边形是平行四边形，由，证明，得到，再证明是等边三角形得到，即可证明结论； （2）方法一：过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，即可得结论；方法二：过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形得到，再证明，得到，进而求得即可； （3）过点作，且，连接，作于点，证明四边形是平行四边形，得到，进而，则，在中，利用勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：过点作，且，连接，如下图， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 方法二：过点作，且，连接，如下图， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 如下图，过点作，且，连接，作于点， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，可有， ∵，即， ∴， ∴在中，可有． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质应用和全等三角形的性质，“一题多解”的方法运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省深圳市龙华实验学校教育集团中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 几种气体的沸点（标准大气压）如下表： 气体 氢气 氮气 氧气 氦气 沸点温度（℃） 其中沸点最低的气体是（ ） A. 氢气 B. 氮气 C. 氧气 D. 氦气 2. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下面为张小亮答卷，他的得分应是（ ） 姓名张小亮 得分？ 填空（每小题3分，共15分）． ①的绝对值是． ②2的倒数是． ③的相反数是． ④1立方根是1． ⑤4平方根是． A. 15分 B. 12分 C. 9分 D. 6分 5. 检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（ ） A. B. C D. 6. 某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. B. C. D. 7. 某工程队在滨江路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“”，设实际每天改造人行道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补充为（　　） A. 每天比原计划少铺设10米，结果延迟10天完成 B. 每天比原计划多铺设10米，结果延迟10天完成 C. 每天比原计划少铺设10米，结果提前10天完成 D. 每天比原计划多铺设10米，结果提前10天完成 8. 如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 2025年春节档热映多部精彩电影．小李、小王分别从四部影片：《唐探1900》《哪吒之魔童闹海》《封神》《重启未来》中随机选择一部观看，则两人选择的影片相同的概率为______． 10. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 11. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y= (x＞0)上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为_________. 12. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 13. 如图，在边长为6的等边三角形中，点在边上，且，点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，当与的某条边平行时，则线段的长为______． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中 15. 为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下． 信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下． 信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下． 分组 人数 m 7 2 7 信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______； （2）下列结论正确的是______；（填序号） ①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的； ②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”； ③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升； （3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数． 16. 如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面，最低点距地面．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身垂直于水平地面（点，，，，，，在同一平面内）． （1）求风轮叶片的长度； （2）如图2，点在右侧，且．求此时风叶的端点距地面的高度．（参考数据：，） 17. 某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： （1）若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 18. 如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于D． （1）尺规作图：过点D作交的延长线于点E，交于点F． （2）求证：是的切线； （3）若，求的长． 19. 如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值； （3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值． 20. 【模型建构】 如图1，已知线段，所在直线交于点O，其所夹锐角为α．小明在学习了平移之后，将图1中的线段，其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，，点D，E分别在，延长线上，且，，求证：． 方法一：过点E作，且，连接，，将证明，转化为证明； 方法二：过点C作，且，连接，，将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程． （2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己的思路解答下面问题： 如图5，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，，连接交于点G，求的度数． （3）如图6，在中，，D，E分别是边，上的点，且于点H，若，，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $