精品解析：2026年河南漯河市部分学校初中学业水平模拟数学试卷

2026年河南初中学业水平模拟 数学 注意事项：共三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.1415926 2. 如图为6个相同的小正方体搭成的几何体，有关其三视图的面积的说法正确的是（ ） A. 主视图面积最大 B. 俯视图面积最大 C. 左视图面积最大 D. 三个视图面积都相等 3. 2026年4月9日，第43届大河国际车展即将举行，该车展自首次举办以来，促成汽车成交量超过80万辆．数据“80万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正六边形放置于水平面上，直线平行于直线，且经过正六边形的顶点，若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算结果等于的是（ ） A. （8个m相加） B. （8个m相乘） C. D. 6. 若代数式是最简分式，则表示的可以是（ ） A. B. 2 C. D. 7. 关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 圆周率是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加， 这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．从的小数部分随机取出一个数字恰好是质数的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中， ，直线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中， ，点从点 出发沿运动到点时停止，过点作，交直角边（或）于点，设点运动的路程为 ， 的面积为，与 之间的函数关系图象如图2所示，当时，线段的长为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比﹣3大的负整数为_____． 12. 某校学生午餐消费金额分布情况统计图如图所示．根据统计图计算该校学生的平均午餐消费金额为______元． 13. 若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是______． 14. 如图，在中， ，以为直径作半圆交于点，若点两侧的阴影部分的面积相等，则的长度为______． 15. 如图，在矩形中， ，点为射线上一动点，连接，将 沿着翻折得到对应，若点落在射线上，则的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、解方程组： （1）； （2） 17. “杜绝手机进校园，推行刷卡打电话”关乎学生的学习专注度，关乎校园秩序的规范．为了优化该政策的实施效果，让学生从“能使用”向“愿使用”转变，相关主管部门到某中学就学生对“刷卡打电话”的满意度进行问卷调查，现分别从初中部、高中部各随机抽取10名学生，统计他们对“刷卡打电话”的满意度打分情况如下（单位：分）： 初中部：8分以下有3人．高中部：7，8，8，6，9，10，8，，8，9 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 初中部 8 8 8 1.2 高中部 8 1.2 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空： ___________，___________， ___________． （2）若对“刷卡打电话”的满意度评分大于或等于8分的学生占比及以上，则该政策可被评为“校园优策”．在不知该中学初中部和高中部具体学生人数的情况下，判断该校的“刷卡打电话”政策能否被评为“校园优策”，说明理由． 18. 如图，菱形的对角线相交于点 ，且 ． （1）请用无刻度的直尺和圆规作 ，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若（1）中所作的垂线交于点，求线段的长． 19. 如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点 ，点是线段 上（不与点 重合）的一点． （1）若点 的坐标为； ①求的值； ②观察图象，当时，直接写出不等式的解集． （2）若将点分别向上或向右平移相同距离均可落在反比例函数的图象上，请直接写出的值． 20. 角磨机是一种常用的电动工具，凭借高速旋转的磨片或切割片，可实现对钢板、石材等多种材料的切割、打磨等作业，在工业加工、装修施工等场景中应用广泛．手持角磨机切割钢板前，需精准测量切割深度等相关数据．如图，钢板上某弧形凹槽的边缘可近似看成（点O为所在圆的圆心），测量时，基准线垂直于钢板边缘（ ），且与相切于点D．连接 ，，．（参考数据： ， ） （1）求证： ． （2）测量得 ， ， ，求的长． 21. 灵宝苹果，河南省三门峡市灵宝市特产，全国农产品地理标志．某果农与快递公司合作寄送精品苹果到外地超市，根据下面两条相关素材，解决问题 素材1： 快递公司规定：从当地寄送精品苹果到外地超市按质量收费，单件质量不超过 时，需要寄送费56元；质量超过 时，超过部分另收寄送费元 ． 素材2： 电子存单1 电子存单2 电子存单3 托寄物：精品苹果 计量质量： 件数：1 总费用：56元 托寄物：精品苹果 计量质量： 件数：1 总费用：72元 托寄物：精品苹果 计量质量： 托寄物：精品苹果 计量质量： 件数：2 总费用：152元 （1）求的值． （2）现有一批新苹果需寄往外地超市，已知这批苹果的质量超过 且小于 ，若这批苹果分两个件寄送（两个件均不超过 ）的费用比单件寄送的费用低，求这批苹果的质量 的取值范围． （3）果农准备将一批质量为 的苹果全部寄送到外地超市，请直接写出最低寄送费用． 22. 车辆年检是保障道路交通安全的关键环节．通过年检中的刹车距离检测，可准确判断刹车系统是否正常工作，避免因刹车失灵引发交通事故，因此刹车距离检测是车辆年检的重要项目之一．某车辆年检机构对一辆待检汽车进行刹车性能测试，模拟汽车在城市道路按规定速度行驶时的刹车情况，记录到以下一组数据： 信息窗 ①开始刹车后行驶的距离（单位：m）与刹车后行驶的时间（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 刹车后行驶的时间（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离（单位：m） 0 14 24 30 （1）求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）． （2）当汽车刹车后行驶了 时，求的值． （3）年检标准规定，该型号汽车在此次测试速度下刹车，最大刹车距离不得超过 ，否则判定为刹车性能不合格．通过计算判断该车的刹车性能是否符合年检标准． 23. 在中， ，点为射线上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，过点作 ，垂足为，连接 ． （1）【观察猜想】：如图1，当点在线段上时， 的度数为___________；用等式表示线段 的数量关系为 ___________． （2）【类比探究】：如图2，当点在延长线上时，请依据题意补全图形（无需尺规作图，图中已标出点），并判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）【拓展应用】：若，连接，当中有一个内角为时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南初中学业水平模拟 数学 注意事项：共三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.1415926 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是无限不循环小数，属于无理数； B、 是整数，属于有理数； C、是分数，属于有理数； D、3.1415926是有限小数，属于有理数． 2. 如图为6个相同的小正方体搭成的几何体，有关其三视图的面积的说法正确的是（ ） A. 主视图面积最大 B. 俯视图面积最大 C. 左视图面积最大 D. 三个视图面积都相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体，画出三视图，即可判断． 【详解】由题意，几何体的主视图为，面积为； 俯视图为，面积为； 左视图为，面积为； 故主视图面积最大． 3. 2026年4月9日，第43届大河国际车展即将举行，该车展自首次举办以来，促成汽车成交量超过80万辆．数据“80万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：80万． 4. 如图，正六边形放置于水平面上，直线平行于直线 ，且经过正六边形的顶点，若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正六边形可得 ，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵六边形 是正六边形， ∴各内角度数为 ， 即 ， ∵正六边形是轴对称图形， 所在直线是其一条对称轴， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ． 5. 下列计算结果等于的是（ ） A. （8个m相加） B. （8个m相乘） C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A：8个m相加，得 ，不等于，不符合题意； 对于选项B：8个m相乘，根据乘方的意义得结果为，符合题意； 对于选项C：合并同类项得：，不等于，不符合题意； 对于选项D：根据同底数幂的除法法则，底数不变指数相减，得，不符合题意． 6. 若代数式是最简分式，则表示的可以是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平方差公式分解分子，再结合分式定义和最简分式定义，判断分母是否符合要求．最简分式要求分子分母没有公因式，且原式为分式要求分母含有字母． 【详解】解：首先对分子因式分解： ， 逐个判断选项： 对于A选项：当 时，分子分母有公因式 ，可约分，不是最简分式，不符合题意； 对于B选项：当 时，分母为常数，原式不是分式，不符合题意； 对于C选项：当 时，分母与分子的因式没有公因式，且分母含字母，原式是最简分式，符合题意； 对于D选项：当时，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意． 7. 关于的一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断根的情况． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 8. 圆周率是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加， 这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．从的小数部分随机取出一个数字恰好是质数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定 中质数的个数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵随着小数部分位数的增加， 这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同， ∴从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果， ∵ 中的质数为2，3，5，7，共4个， ∴随机取出一个数字恰好是质数的概率为． 9. 如图，正方形 中， ，直线交 于点 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，利用四边形内角和求出，进而可求出的度数． 本题考查了正方形的性质，等边对等角，多边形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵正方形 ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图1，在中， ，点从点出发沿运动到点时停止，过点作，交直角边（或 ）于点，设点运动的路程为， 的面积为，与之间的函数关系图象如图2所示，当时，线段的长为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，当点N在上时，通过解直角三角形得到 ，当N与点C重合时， 的面积最大，由图象可得此时， 可求出解得，过点C作于点D，则，当时， ，点M在上，通过解直角三角形与线段的和差即可求出． 【详解】解：由题意得，当点N在上时， ∵，， ∴在中， ， ∴， 当N与点C重合时， 的面积最大，由图象可得此时， 解得（负值舍去）， 过点C作于点D，如图，当点N与点C重合时，点D与点M重合， ∴， ∴在 中，， ∴在中， ， ， ∵当时， ， ∴点M在上， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比﹣3大的负整数为_____． 【答案】﹣2或﹣1 【解析】 【分析】根据在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大可得答案． 【详解】解：比﹣3大的负整数为﹣2和﹣1． 故答案为：﹣2或﹣1． 【点睛】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握数轴上的数，右边的总比左边的大． 12. 某校学生午餐消费金额分布情况统计图如图所示．根据统计图计算该校学生的平均午餐消费金额为______元． 【答案】8.75 【解析】 【分析】根据扇形图先计算出午餐消费9元对应的百分比，再利用加权平均数的计算方法，进行求解即可． 【详解】解： ， （元）． 故答案为：8.75． 13. 若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定m的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得：． ∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴两个不等式的解集没有公共部分， 可得 ． 14. 如图，在中， ，以为直径作半圆交于点，若点两侧的阴影部分的面积相等，则 的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】由于点两侧的阴影部分的面积相等，则它们分别加上空白部分的面积后的面积相等，即半圆的面积等于的面积，据此求解即可． 【详解】解：∵点两侧的阴影部分的面积相等， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 15. 如图，在矩形 中， ，点为射线上一动点，连接，将 沿着翻折得到对应，若点落在射线上，则的值为______． 【答案】或10 【解析】 【分析】利用翻折的性质，得到 ，，，将求转化为求．在 中，因为已知和 的长度，所以可根据勾股定理求出的长度，进而得到的长度．设 ，用含 的式子表示的长度，在 中，根据勾股定理列方程求解 ．考虑点在射线上的两种位置：在线段上、在的延长线上，分别按上述步骤计算． 【详解】解：根据翻折的性质， ， ∴  ， ， 设  ，矩形中 ，， 分两种情况讨论： 点 落在线段上（在边上）  在 中，由勾股定理得：  ， ∴  ， ． 在 中，由勾股定理： ， 即 ， 解得 ． 点 落在的延长线上（在的延长线上） ， 同理可得 ， 此时  ， ． 在 中，由勾股定理： ， 即 ， 解得 。 综上，的值为​或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、解方程组： （1）； （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）运用二次根式的运算法则和零指数幂、负整数指数幂公式计算即可； （2）运用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 得： ， 解得：， 将代入①得： ，解得： ， ∴方程组的解为． 17. “杜绝手机进校园，推行刷卡打电话”关乎学生的学习专注度，关乎校园秩序的规范．为了优化该政策的实施效果，让学生从“能使用”向“愿使用”转变，相关主管部门到某中学就学生对“刷卡打电话”的满意度进行问卷调查，现分别从初中部、高中部各随机抽取10名学生，统计他们对“刷卡打电话”的满意度打分情况如下（单位：分）： 初中部：8分以下有3人．高中部：7，8，8，6，9，10，8，，8，9 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 初中部 8 8 8 1.2 高中部 8 1.2 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空： ___________，___________， ___________． （2）若对“刷卡打电话”的满意度评分大于或等于8分的学生占比及以上，则该政策可被评为“校园优策”．在不知该中学初中部和高中部具体学生人数的情况下，判断该校的“刷卡打电话”政策能否被评为“校园优策”，说明理由． 【答案】（1）7；8；8 （2）该校的“刷卡打电话”政策能被评为“校园优策”．理由：根据题意，初中部抽取的10名同学中，大于或等于8分的学生占比为 ； 高中部抽取的10名同学中，大于或等于8分的学生占比为 ． 故即使不知该中学初中部和高中部具体学生人数，根据样本估计整体，也可判断出该校对“刷卡打电话”的满意度评分大于或等于8分的学生占比为，即该校的“刷卡打电话”政策能被评为“校园优策”． 【解析】 【分析】（1）平均数，中位数，众数的定义求解即可； （2）运用样本估计总体的思想，结合“校园优策”的评判标准解答即可． 【小问1详解】 解：∵高中部打分的平均分为8分， ∴ ， 解得． ∵高中部打分排在中间位置第5个和第6个数据都是8， ∴中位数 ． ∵高中部打分出现次数最多的是8， ∴众数 ． 【小问2详解】 略 18. 如图，菱形 的对角线相交于点 ，且 ． （1）请用无刻度的直尺和圆规作 ，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若（1）中所作的垂线交于点，求线段的长． 【答案】（1）如图所示． （2） 【解析】 【分析】（1）根据作垂线的尺规作图的方法作图即可； （2）由菱形对角线互相垂直平分得 ， ，由   得，结合及对顶角 ，可证 ，利用相似三角形对应边成比例，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形 为菱形，且 ， ∴ ，且， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴． 19. 如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． （1）若点的坐标为； ①求的值； ②观察图象，当时，直接写出不等式的解集． （2）若将点分别向上或向右平移相同距离均可落在反比例函数的图象上，请直接写出的值． 【答案】（1）①；② （2）1 【解析】 【分析】（1）①把点代入反比例函数，求出n的值，得到点A的坐标，再将点A的坐标代入正比例函数即可求解； ②由图象可得，不等式的解集为正比例函数的图象在反比例函数的图象上方对应的自变量x的取值，即可解答； （2）设点B的坐标为，向上平移b个单位长度得到，向右平移b个单位长度得到，把，代入反比例函数，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数的图象过点， ∴ ， 解得． ②∵反比例函数与正比例函数交于点， ∴由图象可得，当时，不等式的解集为． 【小问2详解】 解：∵点是线段上（不与点重合）的一点， ∴设点B的坐标为，向上平移b个单位长度得到，向右平移b个单位长度得到， ∵点分别向上或向右平移相同距离均可落在反比例函数的图象上， 即，在反比例函数的图象上， ∴ ， ， ∴． 20. 角磨机是一种常用的电动工具，凭借高速旋转的磨片或切割片，可实现对钢板、石材等多种材料的切割、打磨等作业，在工业加工、装修施工等场景中应用广泛．手持角磨机切割钢板前，需精准测量切割深度等相关数据．如图，钢板上某弧形凹槽的边缘可近似看成（点O为所在圆的圆心），测量时，基准线 垂直于钢板边缘（ ），且与相切于点D．连接， ，．（参考数据： ， ） （1）求证： ． （2）测量得 ， ， ，求的长． 【答案】（1）证明：连接． 由题意得：， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ． （2）的长为2 【解析】 【分析】（1）连接．由 ，可得 ，根据 ，结合 ， ，推导得出 ； （2）连接并延长交于点P，连接．先证 ，根据同弧所对的圆周角相等，可知 ，即 ，设 ，在 中，求出 ，在中，求出 ，由 ，求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接并延长交于点P，连接． ∴ ， ∵为 的直径， ∴， ∴ ， ∴ ， 根据同弧所对的圆周角相等，可知 ， ∴ ， 设 ， 在 中， ． 在中， ， ∵ ， ∴ 解得， ∴的长为2． 21. 灵宝苹果，河南省三门峡市灵宝市特产，全国农产品地理标志．某果农与快递公司合作寄送精品苹果到外地超市，根据下面两条相关素材，解决问题 素材1： 快递公司规定：从当地寄送精品苹果到外地超市按质量收费，单件质量不超过 时，需要寄送费56元；质量超过 时，超过部分另收寄送费元 ． 素材2： 电子存单1 电子存单2 电子存单3 托寄物：精品苹果 计量质量： 件数：1 总费用：56元 托寄物：精品苹果 计量质量： 件数：1 总费用：72元 托寄物：精品苹果 计量质量： 托寄物：精品苹果 计量质量： 件数：2 总费用：152元 （1）求的值． （2）现有一批新苹果需寄往外地超市，已知这批苹果的质量超过 且小于 ，若这批苹果分两个件寄送（两个件均不超过 ）的费用比单件寄送的费用低，求这批苹果的质量的取值范围． （3）果农准备将一批质量为 的苹果全部寄送到外地超市，请直接写出最低寄送费用． 【答案】（1） （2） （3）160元 【解析】 【分析】（1）利用电子存单2的总费用和计量重量列出方程求出m； （2）设计方案求出总费用，比较大小即可； （3）要尽可能的多寄送，则分两个件寄送，且每个件均不小于 ，即可求解． 【小问1详解】 解：由电子存单2的信息，可得 ， 解得 ． 【小问2详解】 解：设这批苹果的重量为． 单件寄送的费用为元，分两个件寄送的费用为 （元）． 由题意，得 ， 解得 ． 这批苹果的质量的取值范围为 ． 【小问3详解】 解：最低寄送费用为160元． 寄送方案：分两个件寄送，且每个件均不小于 ．（如一个件 ，另一个件 ；或一个件 ，另一个件 等） 当苹果重量为 时，每千克寄送费用最低，为5.6元 ，因此按此单价寄送的数量越多，总费用越低． 故若寄送 ，要尽可能降低总费用，应分两个件寄送，且每个件均不小于 ， 最低费用为 （元）． 22. 车辆年检是保障道路交通安全的关键环节．通过年检中的刹车距离检测，可准确判断刹车系统是否正常工作，避免因刹车失灵引发交通事故，因此刹车距离检测是车辆年检的重要项目之一．某车辆年检机构对一辆待检汽车进行刹车性能测试，模拟汽车在城市道路按规定速度行驶时的刹车情况，记录到以下一组数据： 信息窗 ①开始刹车后行驶的距离（单位：m）与刹车后行驶的时间（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 刹车后行驶的时间（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离（单位：m） 0 14 24 30 （1）求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）． （2）当汽车刹车后行驶了 时，求的值． （3）年检标准规定，该型号汽车在此次测试速度下刹车，最大刹车距离不得超过 ，否则判定为刹车性能不合格．通过计算判断该车的刹车性能是否符合年检标准． 【答案】（1） （2） （3）该车的刹车性能符合年检标准， 计算如下： ∵ ， ∴当 时，汽车停下，最大刹车距离为 ． ∵ ， ∴该车的刹车性能符合年检标准． 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）将代入（1）中解析式，即可解答； （3）根据（1）中函数解析式求出最大刹车距离，即可解答； 【小问1详解】 解：由于当时， ， 故设关于的函数解析式为 ， 将 代入，得， 解得， 故关于的函数解析式为 ； 【小问2详解】 解：由（1）知 ， 当时，， 解得：（舍去）， 所以当汽车刹车后行驶了 时，的值为； 【小问3详解】 略 23. 在中， ，点为射线 上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，过点作 ，垂足为，连接 ． （1）【观察猜想】：如图1，当点在线段 上时， 的度数为___________；用等式表示线段 的数量关系为 ___________． （2）【类比探究】：如图2，当点在 延长线上时，请依据题意补全图形（无需尺规作图，图中已标出点），并判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）【拓展应用】：若，连接，当中有一个内角为时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）解：作图如下： 结论 成立，结论 不成立，应为 ． 证明：由旋转性质可知 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵在 和 中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ； ∵在等腰中， ， ∴ ． （3）或． 【解析】 【分析】（1）由 得到 ，由旋转可得 ，根据同角的余角相等得出 ，即可证明，因此 ，得到 是等腰直角三角形，即可得到 ，根据勾股定理得到 ，从而根据线段的和差与等量代换即可得到线段 的数量关系； （2）同（1）思路即可解答； （3）由并结合勾股定理可求出 ．分 和 两种情况，通过解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， 由旋转可得 ， ， ， ． ， ， ，即 ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， ， ． ①当 时， ， 由旋转有 ； ②当 时， ， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $