精品解析：广东省广州市培正中学2025～2026学年6月中考前数学 模拟试卷

初三级6月诊断性练习（问卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在﹣1，﹣5，3，0这四个数中，最小的数是（ ） A. ﹣1 B. ﹣5 C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵-5＜-1＜0＜3， ∴最小的数是-5． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，注意两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2. 下面四个几何体中，从正面看是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、从正面看是三角形，符合题意； B、从正面看是长方形，不符合题意； C、从正面看是圆，不符合题意； D、从正面看是正方形，不符合题意. 3. 激昂奋进新时代，推进中国式现代化，年全国两会公布了年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别为，，，，（单位：万亿），这五个数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】将这组数据从小到大排列为，，，， ∴这组数据的中位数为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，逐项分析计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，熟练掌握运算运算法则是解题的关键． 5. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理得出，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握以上定理是解题的关键． 6. 对于一次函数，下列说法错误的是（ ） A. 随 的增大而减小 B. 图象与 轴交点为 C. 图象经过第一、二、四象限 D. 图象经过点 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，与坐标轴的交点，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：中，， A. ， 随 的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； B. 当 时，，则图象与 轴交点为，故该选项正确，不符合题意； C. ∵，则图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，不符合题意； D. 当 时，，则图象经过点，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数图象的增减性，求函数值，与坐标轴交点，能正确根据k判断增减性是解题的关键． 7. 若关于 的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根时，．根据一元二次方程，有两个不相等的实数根，则，解出，即可判断． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． ∴k的取值范围为， 则的值可以是0． 故选：A． 8. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切的定义即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 9. 函数与函数在同一平面直角坐标系下的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键． 分和两种情况讨论，然后根据一次函数和反比例函数所经过的象限逐一判断即可． 【详解】解：当时，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，无符合的图象； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合此种条件的图象只有B选项， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，点 从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动了秒，直线上有一动点， 轴上有一动点，当的和最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点关于对称的点，作点 关于 轴的对称点，连接交 轴于点，则点即为所求，根据题意求得 的坐标，进而得出的坐标，根据轴对称的性质求得点的坐标，待定系数法求解析式，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， 作点关于对称的点，作点 关于 轴的对称点，当，在直线上时，的和最小时 ∵点，点 从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动了秒， ∴ ∴ ∵ ∴ 的纵坐标为 ∴ ∴， ∵点关于对称的点， ∴即 设直线的解析式为 ， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当 时，， ∴点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和最值问题，解直角三角形，求得点 的坐标是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 如图，，则的度数为_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据垂线的定义得出，根据余角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线的定义，熟练掌握求一个角的余角是解题的关键． 12. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，再相减． 【详解】解： 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质． 13. 分式方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得． 检验：当时，， 所以是原方程的解． 故答案为：． 14. 物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则下表中压强与的大小关系为：_________．（填“”，“”或“”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据表格数据求得反比例函数解析式，根据反比例数的性质即可求解． 【详解】解：∵压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，设， 依题意， ∴反比例数解析式为：，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，把它沿斜边AB所在直线旋转一周，所得几何体的侧面积是_____．（结果保留π） 【答案】π 【解析】 【分析】作于，如图，利用勾股定理计算出，再根据面积法计算出，由于把沿斜边 所在直线旋转一周，所得几何体为两个圆锥，它们的底面为以点为圆心， 为半径的圆，所以利用扇形的面积公式计算两个圆锥的侧面积即可． 【详解】解：作于，如图， ，，， ， ， ， 把沿斜边 所在直线旋转一周，所得几何体为两个圆锥，它们的底面为以点为圆心， 为半径的圆， 这个几何体的侧面积． 故答案为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，掌握圆锥的侧面积等于圆锥底面的周长与圆锥的母线长积的一半是解题关键． 16. 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题目给出的十六进制与十进制的对应规则，第一空直接按规则将十六进制转换为十进制计算即可，第二空先求出乘积对应的十进制结果，再将十进制结果转换为十六进制即可． 【详解】解：由表格可知，十六进制的对应十进制的， 根据转换规则得； 由表格可知，十六进制的对应十进制，对应十进制， 先计算十进制下的乘积得， 将十进制转换为十六进制得， 由表格可知，十进制对应十六进制的，因此结果为． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可. 【详解】， ①+②得： 3x=6， x=2， 把x=2代入①得： 2﹣y=1， y=1． 则原方程组的解为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，灵活选取二元一次方程组的解法是解题的关键. 18. 如图，在矩形 中，点为的中点，连接 和 ，求证：． 【答案】 证明：∵在矩形 中，点为的中点， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，根据点为的中点，得出，进而根据 ，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质与全等三角形的判定定理是解题的关键． 19. 已知：． （1）化简P； （2）当a满足不等式组且a为整数时，求P的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的混合运算进行计算即可求解． （2）先解不等式组，求得不等式组的整数解，代入（1）中结果，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∴整数解， ∴． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，求不等式组的解集，熟练掌握分式的化简求值，解一元一次不等式组是解题的关键． 20. 为积极备战市里将要举行的数学竞赛，某班积极组织学生进行模拟练习，在一次数学模拟考试中，随机抽取名学生的成绩 分（满分分），根据等级评定：等（），等（）， 等（），等（）列出频数分布表，请回答问题： 等级 频数 （1）填空：这位学生的成绩的中位数落在____等级． （2）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如等：的中间值为）来代替，试估算这位学生的平均成绩． （3）若分以上（不含分）评为优秀等级，试估计全校名学生中有多少名是优秀等级？ 【答案】（1） （2）分 （3）名 【解析】 【分析】（）根据中位数的定义解答即可； （ ）根据加权平均数的定义解答即可； （）用总人数乘以样本中优秀人数的占比即可． 【小问1详解】 解：∵一共抽取了名学生的成绩， ∴将成绩从小到大排列后，中位数为第名和第名成绩的平均数， 又∵由频数分布表可知，等级共 人，等级和 等级共人， ∴第名和第名成绩都落在 等级， ∴中位数落在 等级； 【小问2详解】 解：由题意得各组数据的中间值分别为：等，等， 等，等， ∴平均成绩为 （分）， 答：估算这位学生的平均成绩为分； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计全校名学生中有名是优秀等级． 21. 每年4月份，柳州的紫荆花陆续绽放，引来众多游客前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光，小王抓住这一商机，计划从市场购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售，据调查，购进1件A型号和1件B型号自拍杆共需45元，其中1件B型号自拍杆价格是1件A型号自拍杆价格的2倍． （1）求1件A型号和1件B型号自拍杆的进价各是多少元？ （2）若小王计划购进A、B两种型号自拍杆共100件，并将这两款手机自拍杆分别以20元，50元的价钱进行售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于1100元，求最多购进A型号自拍杆多少件？ 【答案】（1）1件A型号自拍杆的进价为15元，1件B型号自拍杆的进价为30元 （2）最多购进A型号自拍杆60件 【解析】 【分析】（1）设A型号自拍杆的进价是x元，B型号自拍杆的进价是2x元，根据购进1件A型号和1件B型号自拍杆共需45元，其中1件B型号自拍杆价格是1件A型号自拍杆价格的2倍列方程即可得到结论； （2）设购进A型号自拍杆m件，则购进B型号自拍杆件，根据全部售卖完后的总利润不低于1100元列方程，即可得到结论． 【小问1详解】 解：1件A型号自拍杆的进价为a元，1件B型号自拍杆的进价为b元， 根据题意得，， 解得：， 答：1件A型号自拍杆的进价为15元，1件B型号自拍杆的进价为30元． 【小问2详解】 设购进A型号自拍杆x件，则购进B型号自拍杆件，根据题意得， ， 解得：， x取最大整数解60， 答：最多购进A型号自拍杆60件． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，正确地理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．过点A作轴，垂足为D． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求点P的坐标． 条件①：；条件②： 面积是面积的2倍． 注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选择条件①或条件②，点P坐标均为 【解析】 【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）①根据可知，点P在的垂直平分线，由此可得P的纵坐标为2，从而求出点P坐标； ②由 面积是面积的2倍，可得P点纵坐标为2，从而求出点P坐标； 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象与上， ∴，解得：， 即点A坐标为， ∴， 即反比例函数解析式为：， 【小问2详解】 设点P坐标为， 选择条件①， ∴点P在AD的垂直平分线上， 又∵，， ∴，点P的纵坐标为， ∴， 故点P坐标为， 选择条件② 面积是面积的2倍． ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点P坐标为 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图形上点的坐标特征，图形与坐标，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 23. 甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动．请根据活动情境完成以下三个任务： 【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 【任务一】确定弦的长度． （1）如图2，求出弦 的长度． 【任务二】设计甲组扇面． （2）如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面，试求出需要剪掉的卡纸面积． 【任务三】确定卡纸大小． （3）如图4，乙组利用矩形卡纸 恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格（即求 和的长度）． 【答案】[任务一] ；[任务二] ；[任务三] ， 【解析】 【分析】任务一：由弧所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出，即可求解； 任务二：根据需要剪掉的卡纸面积为，结合扇形面积公式即可求解； 任务三：由题意得：设矩形的边 与相切于点M，延长交于点，连接交于点N，连接 ， 由题意知，，由上得，可得，则，，由勾股定理得，那么，即，同理：，则，即． 【详解】任务一：解：过点O作，交 于点， ，， ， ， ，， ； 任务二：解：需要剪掉的卡纸面积为 ； 任务三：解：如图 由题意得：设矩形的边 与相切于点M，延长交于点，连接 ，连接交于点N，交 于点， 由题意知，， 由上得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形 ， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴， 同理：， ∴， 同理：四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，圆的切线的性质，扇形面积的求解，矩形的性质，勾股定理， 角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 24. 已知关于x的二次函数． （1）若函数图象经过点，，，直接写出该二次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，直线与抛物线交于点，，当最小时，求点M和点N的坐标； （3）若，且抛物线与x轴交于点D，E（点D在点E左侧），与y轴交于点F，当实数b，c变化时，的外接圆一定经过一定点，求出该定点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立抛物线和直线，转化为关于x的一元二次方程，进而根据根与系数的关系得出，，再由最小时求出，进而求解即可； （3）如图所示，设的外接圆圆心为M，连接，，设的外接圆一定经过一定点，设，，表示出，利用根与系数的关系得到，，设圆心，利用得到，，当时，表示出圆心，然后利用得到，代入得到，然后根据题意得到，求出；当时，验证出此时不符合题意即可求解． 【小问1详解】 解：∵函数图象经过点，，， ∴ 解得 ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线与抛物线交于点，， ∴联立得，， ∴， ∴，， ∴， 要使最小，则最小， ∴最小，即时，取得最小值 ∴， 解得， ∴将代入；将代入； ∴，； 【小问3详解】 解：如图所示，设的外接圆圆心为M，连接，，设的外接圆一定经过一定点 ∵， ∴抛物线解析为 ∵抛物线与x轴交于点D，E（点D在点E左侧），与y轴交于点F，设，， ∴当 时，，即， ∴当 时， ∴， ∴圆心M的横坐标为， 设圆心 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 整理得， ①当时， ∴ ∴圆心 ∵ ∴ ∴ 整理得， ∴ ∵的外接圆一定经过一定点， ∴ ∴ 将代入成立， ∴的外接圆一定经过一定点； ②当时，，二次函数表达式为 ∴二次函数经过原点，即点F和点D重合，围不成三角形，不符合题意； 综上所述，的外接圆一定经过一定点坐标为． 25. 综合与探究 【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”． 【示例】如图1，在四边形 中，， 平分 ，则四边形 为“旋直四边形”， 为“旋直分割线”． 【概念辨析】 （1）用分别含有 或的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中是“旋直四边形”的有____________（填序号）； 【问题解决】 （2）如图1，在“旋直四边形 ”中，， 为“旋直分割线”．求证：； 【拓展应用】 （3）如图2，四边形 是矩形，，， 与 交于点．若，求的值； 【答案】（1）② （2）证明：过点 作，如图所示： ∵在“旋直四边形 ”中，， 为“旋直分割线”， ∴ 平分 ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“旋直四边形”的定义即可得解； （2）过点 作，由题意易得 平分 ，则根据角平分线的性质可知，然后可得，进而根据勾股定理可进行求证； （3）过点C作于点H，易证，可得，则，再证，可得，设参求解即可． 【小问1详解】 解：根据“旋直四边形”的定义，只要②符合题意； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点C作于点H， ∵矩形 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三级6月诊断性练习（问卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在﹣1，﹣5，3，0这四个数中，最小的数是（ ） A. ﹣1 B. ﹣5 C. 3 D. 0 2. 下面四个几何体中，从正面看是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 激昂奋进新时代，推进中国式现代化，年全国两会公布了年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别为，，，，（单位：万亿），这五个数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 对于一次函数，下列说法错误的是（ ） A. 随 的增大而减小 B. 图象与轴交点为 C. 图象经过第一、二、四象限 D. 图象经过点 7. 若关于 的方程有两个不相等的实数根，则 的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 函数与函数在同一平面直角坐标系下的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，点从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动了秒，直线上有一动点，轴上有一动点，当的和最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 如图，，则的度数为_________． 12. 计算：____． 13. 分式方程的解为___________． 14. 物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则下表中压强与的大小关系为：_________．（填“”，“”或“”） 15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，把它沿斜边AB所在直线旋转一周，所得几何体的侧面积是_____．（结果保留π） 16. 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程组： 18. 如图，在矩形 中，点为的中点，连接和，求证：． 19. 已知：． （1）化简P； （2）当a满足不等式组且a为整数时，求P的值． 20. 为积极备战市里将要举行的数学竞赛，某班积极组织学生进行模拟练习，在一次数学模拟考试中，随机抽取名学生的成绩 分（满分分），根据等级评定：等（），等（），等（），等（）列出频数分布表，请回答问题： 等级 频数 （1）填空：这位学生的成绩的中位数落在____等级． （2）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如等：的中间值为）来代替，试估算这位学生的平均成绩． （3）若 分以上（不含 分）评为优秀等级，试估计全校名学生中有多少名是优秀等级？ 21. 每年4月份，柳州的紫荆花陆续绽放，引来众多游客前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光，小王抓住这一商机，计划从市场购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售，据调查，购进1件A型号和1件B型号自拍杆共需45元，其中1件B型号自拍杆价格是1件A型号自拍杆价格的2倍． （1）求1件A型号和1件B型号自拍杆的进价各是多少元？ （2）若小王计划购进A、B两种型号自拍杆共100件，并将这两款手机自拍杆分别以20元，50元的价钱进行售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于1100元，求最多购进A型号自拍杆多少件？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．过点A作轴，垂足为D． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求点P的坐标． 条件①：；条件②：面积是面积的2倍． 注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分． 23. 甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动．请根据活动情境完成以下三个任务： 【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 【任务一】确定弦的长度． （1）如图2，求出弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． （2）如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面，试求出需要剪掉的卡纸面积． 【任务三】确定卡纸大小． （3）如图4，乙组利用矩形卡纸 恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格（即求和的长度）． 24. 已知关于x的二次函数． （1）若函数图象经过点，，，直接写出该二次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，直线与抛物线交于点，，当最小时，求点M和点N的坐标； （3）若，且抛物线与x轴交于点D，E（点D在点E左侧），与y轴交于点F，当实数b，c变化时，的外接圆一定经过一定点，求出该定点的坐标． 25. 综合与探究 【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”． 【示例】如图1，在四边形 中，，平分，则四边形 为“旋直四边形”，为“旋直分割线”． 【概念辨析】 （1）用分别含有 或的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中是“旋直四边形”的有____________（填序号）； 【问题解决】 （2）如图1，在“旋直四边形 ”中，，为“旋直分割线”．求证：； 【拓展应用】 （3）如图2，四边形 是矩形，，， 与交于点．若，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $