上海市桃浦中学2025-2026学年高二第二学期期末数学试卷

**基本信息** 立足高二数学核心知识，融合解析几何、数列与统计，通过抛物线光学性质、“轮换均值数列”新定义及阿基米德椭圆面积等素材，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|直线与圆、抛物线、等比数列、统计抽样|第9题结合抛物线光学性质，体现数学应用| |选择题|4题18分|等差等比数列、抛物线方程、轨迹判断、新定义数列|第16题以“轮换均值数列”考查逻辑推理| |解答题|5题78分|茎叶图与百分位数、椭圆面积与弦长、频率分布直方图、抛物线综合、双曲线探究|18题融入阿基米德“逼近法”思想，21题设置存在性探究问题，培养创新意识|

上海市桃浦中学2025学年第二学期 高二年级数学学科 期末试卷 一．填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为________________. 2. 焦点为的抛物线的标准方程为____________. 3. 若直线与平行，则___. 4. 已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前5项的和等于______________. 5. 从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为 184cm，最小152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为 151.5，则组数为________. 6. 过点且与直线垂直的直线方程为_______. 7. 现从编号为01 , 02 ，... ，50的50支水笔中抽取10 支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第5支水笔的编号为______________. 39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263 1. 过点 的直线被圆 截得的最短弦长为 ______. 1. 抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点.设抛物线的方程为 ，一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线 于一点，这点的纵坐标为8.则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为 ______. 1. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双曲线上的点 在第一象限，且 与双曲线的一条渐近线平行，则 的面积为 ______. 1. 双曲线 的左、右焦点分别为 和 ，若以点 为焦点的抛物线 与 在第一象限交于点 ，且 ，则 的离心率为 ______. 1. 关于曲线 ，则以下结论正确的为 ______（填序号）. ①曲线 关于原点对称； ②曲线 中 ，； ③曲线 与曲线 有4个交点，这4点构成正方形； ④ 曲线 是不封闭图形，且它与圆 无公共点. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 1. 下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（ ） A.  B.  C.  D. 1. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆 的圆心的抛物线的方程是（ ） A. 或   B. 或   C. 或   D. 1. 在一个平面上，设 是两个定点， 是一个动点，且满足 到 的距离与 到 的距离差为 ，即 ，则动点 的轨迹是（ ） A. 一条线段 B. 双曲线的一支 C. 一条射线 D. 一个椭圆 1. 已知数列 的前 项和为 ，设 （ 为正整数）.若存在常数 ，使得任意两两不相等的正整数 ，都有 ，则称数列 为“轮换均值数列”.现有下列两个命题： ① 任意等差数列 都是“轮换均值数列”； ② 存在公比不为1的等比数列 是“轮换均值数列”. 则下列说法正确的是（ ） A. ①、②都是假命题  B. ①、②都是真命题  C. ①是假命题，②是真命题  D. ①是真命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17~19题每题14分，第20、21题每题18分） 17.（本题共14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题6分） 某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示. 花费时间 （分钟） 时间等级 一级 二级 三级 （1）试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； （2）已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； （3）求男生上学路上花费时间的第25百分位数与第50百分位数. 18.（本题共14分，第（1）题6分，第（2）题8分） 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式 （ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . （1）求 的面积； （2）若直线 交 于 两点，求 . 19.（本题共14分，第（1）题6分，第（2）题8分） 王老师将全班40名学生的高二数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将 记作第一组，、、、 分别记作第二、三、四、五组.已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. （1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （2）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差. 20.（本题共18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分） 已知抛物线 ，，直线 交抛物线 于点 ，交抛物线 于点 ，其中点 位于第一象限. （1）若点 到抛物线 焦点的距离为2，求点 的坐标； （2）若点 的坐标为 ，且线段 的中点在 轴上，求原点 到直线 的距离； （3）若 ，求 与 的面积之比. 21.（本题共18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分） 已知双曲线 的中心位于坐标原点 ，焦点 分别在 轴的正、负半轴上，，直线 是 的一条渐近线，直线 与 有且只有一个公共点 . （1）求 的方程； （2）若点 在 轴上，且 为直角，求点 的坐标； （3）设动直线 平行于 ，与 交于点 ，与 交于点 ，是否存在常数 ，使得 总成立？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由. 上海市桃浦中学2025学年第二学期 高二年级数学学科 期末试卷 一．填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 8. 直线的倾斜角为________________.（答案：） 9. 焦点为的抛物线的标准方程为____________.（答案：） 10. 若直线与平行，则___.（答案：） 11. 已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前5项的和等于______________.（答案：93） 12. 从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为 184cm，最小152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为 151.5，则组数为________.（答案：11） 13. 过点且与直线垂直的直线方程为_______.（答案：） 14. 现从编号为01 , 02 ，... ，50的50支水笔中抽取10 支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第5支水笔的编号为______________.（答案：31） 39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263 1. 过点 的直线被圆 截得的最短弦长为 ______.（答案：） 1. 抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点.设抛物线的方程为 ，一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线 于一点，这点的纵坐标为8.则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为 ______.（答案：与 平行的向量均可） 1. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双曲线上的点 在第一象限，且 与双曲线的一条渐近线平行，则 的面积为 ______. （答案：） 1. 双曲线 的左、右焦点分别为 和 ，若以点 为焦点的抛物线 与 在第一象限交于点 ，且 ，则 的离心率为 ______.（答案：） 1. 关于曲线 ，则以下结论正确的为 ______（填序号）. ①曲线 关于原点对称； ②曲线 中 ，； ③曲线 与曲线 有4个交点，这4点构成正方形； ④ 曲线 是不封闭图形，且它与圆 无公共点.（答案：①④） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 1. 下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（ ）（答案：D） A.  B.  C.  D. 1. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆 的圆心的抛物线的方程是（ ）（答案：B） A. 或   B. 或   C. 或   D. 1. 在一个平面上，设 是两个定点， 是一个动点，且满足 到 的距离与 到 的距离差为 ，即 ，则动点 的轨迹是（ ）（答案：C） A. 一条线段 B. 双曲线的一支 C. 一条射线 D. 一个椭圆 1. 已知数列 的前 项和为 ，设 （ 为正整数）.若存在常数 ，使得任意两两不相等的正整数 ，都有 ，则称数列 为“轮换均值数列”.现有下列两个命题： ① 任意等差数列 都是“轮换均值数列”； ② 存在公比不为1的等比数列 是“轮换均值数列”. 则下列说法正确的是（ ）（答案：D） B. ①、②都是假命题  B. ①、②都是真命题  C. ①是假命题，②是真命题  D. ①是真命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17~19题每题14分，第20、21题每题18分） 17.（本题共14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题6分） 某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示. 花费时间 （分钟） 时间等级 一级 二级 三级 （1）试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； （2）已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； （3）求男生上学路上花费时间的第25百分位数与第50百分位数. 解： （1）极差为 ，中位数为 . （2）高二年级中男生共有 人，估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为 人. （3）因为 ，所以第25百分位数即为从小到大排列数中第3位数，即17.因为 ，所以第50百分位数即为从小到大排列数中第5位与第6位的平均值，即 . 18.（本题共14分，第（1）题6分，第（2）题8分） 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式 （ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . （1）求 的面积； （2）若直线 交 于 两点，求 . 解： （1）椭圆 的方程为 ，所以 ，，则 ，.所以椭圆 的面积 . （2）联立 ，得 ，.设 ，则 ，.所以 . 19.（本题共14分，第（1）题6分，第（2）题8分） 王老师将全班40名学生的高二数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将 记作第一组，、、、 分别记作第二、三、四、五组.已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. （1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （2）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差. 解： （1）由题意得 ，解得 ，.所以平均数等于 . （2）设第二组、第四组的平均数与方差分别为 ，由题意，第二组、第四组分别有10人和8人.所以成绩在第二组、第四组的平均数 .成绩在第二组、第四组的方差 .故估计成绩在第二组、第四组的方差是 . 20.（本题共18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分） 已知抛物线 ，，直线 交抛物线 于点 ，交抛物线 于点 ，其中点 位于第一象限. （1）若点 到抛物线 焦点的距离为2，求点 的坐标； （2）若点 的坐标为 ，且线段 的中点在 轴上，求原点 到直线 的距离； （3）若 ，求 与 的面积之比. 解： （1）抛物线 的准线为 .因为点 到抛物线 焦点的距离为2，所以点 到抛物线 准线的距离为2，所以点 的横坐标为1，故点 的坐标为 . （2）设 ，则线段 的中点坐标为 .由题意，，故 ，所以 .所以直线 的方程为 .所以原点 到直线 的距离 . （3）由题意，直线 的斜率 显然存在且 ，设直线 的方程为 .设 .由 ，得 ①.由 得 ，所以 ，.同理，，.所以 ②， ③.由①②得 ，代入③得 ，代入②得 .所以 . 21.（本题共18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分） 已知双曲线 的中心位于坐标原点 ，焦点 分别在 轴的正、负半轴上，，直线 是 的一条渐近线，直线 与 有且只有一个公共点 . （1）求 的方程； （2）若点 在 轴上，且 为直角，求点 的坐标； （3）设动直线 平行于 ，与 交于点 ，与 交于点 ，是否存在常数 ，使得 总成立？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由. 解： （1）设 的方程为 ， 的焦距为 ，则 ，即 .由 是 的一条渐近线，可知 ，即 ，故 ，可得 ，.所以 的方程为 . （2）由 ，消去 得 .由 且 ，可得 ，此时点 的坐标为 .设 ，由 为直角 ，可得 ，即 ，解得 或 .故点 的坐标为 或 . （3） 的斜率为 ，故可设 的方程为 .由 在直线 上，故可设 ，代入 ，可得 .故 .将 的方程代入 的方程，可得 .设点 的横坐标分别为 ，则 ，故 . 故当 时，，所以存在常数 ，使得 总成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $