第3讲 等式与不等式的性质课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考一轮复习课件聚焦“等式与不等式的性质”专题，依据课标要求梳理了不等式定义、基本性质及常用性质，明确比较大小、性质判断、取值范围三大核心考点，通过基础检测和例题归纳作差法、特殊值法等常考题型解法，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“考点突破+方法指导+素养培养”，如例3通过整体代换法求3a+2b取值范围，培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。设置教材改编题和模拟题训练，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统开展复习教学，提升备考效率。

第1章 集合、常用逻辑用语与不等式 第3讲 等式与不等式的性质 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.理解等式和不等式的共性与差异. 2.理解不等式的概念. 3.掌握不等式的性质. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.不等式的定义 用不等号“ ， ， ， ， ”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式. 2.实数大小顺序与运算性质之间的关系 ______；； ______. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 3.不等式的基本性质 (1)反对称性:a>b⇔　 　;  (2)传递性:a>b，b>c⇒　 　;  (3)可加性:a>b⇔　 　;a>b，c>d⇒　 　;  (4)可乘性:a>b，c>0⇒　 　;a>b，c<0⇒　 　;a>b>0，c>d>0⇒　 　;  (5)乘方性质:a>b>0⇒　 　(n≥2，n∈N*);  (6)开方性质:a>b>0⇒ 　 (n≥2，n∈N*).  b<a a>c a+c>b+c a+c>b+d ac>bc ac<bc ac>bd an>bn > 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 4.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒　  ;  ②a<0<b⇒ 　;  ③a>b>0，0<c<d⇒　 ;  ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒　 　 .  < < > < < 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 （2）有关分数的性质 若， ，则 ①； ； ②； . 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 【基础检测】 概念辨析 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a=b⇔ac=bc.(　　) (2)若a>b，则a2c>b2c.(　　) (3) 若x>y，则x2>y2.(　　) (4) 若>，则b<a.(　　) (5) 若a>b>c，则(a-b)c>(b-a)c.(　　) × × × × × 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 教材改编 2.[必修1p42T3]设M=(x-1)(x-5)，N=(x-3)2，则M与N的大小关系是(　　) A.M<N B.M>N C.M=N D.不能确定 A [解析] 因为M-N=(x-1)(x-5)-(x-3)2=(x2-6x+5)-(x2-6x+9)=-4<0， 所以M<N.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 3.[必修1p42T2]设a，b，c，d∈R，a>b，c<d，则下列不等式中一定成立的是(　　) A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac>bd D.> B [解析] 令a=1，b=-1，d=1，c=-1， 满足a>b，c<d，但a+c=b+d，ac=bd，=，故A，C，D错误; 对于B，因为a>b，c<d，所以由不等式的可加性， 可得a+d>b+c，所以a-c>b-d，故B正确. 故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 4.[必修1p42习题2.1T3(4)]设M=x2+y2+1，N=2(x+y-1)，则M与N的大小关系为　　　　.  M>N [解析] M-N=x2+y2+1-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2+1>0. 故M>N. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 5.[必修1p42T5]已知-1<a<2，-3<b<5，则a+2b的取值范围是　　　　　　.  (-7，12) [解析] ∵-3<b<5，∴-6<2b<10， 又-1<a<2，∴-7<a+2b<12. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 考点1 比较两个数（式）的大小 例1　(1)已知a，b，c，d为实数，则(ac+bd)2与(a2+b2)(c2+d2)的大小关系是　　　 　　　　 .  (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) [解析] 因为a，b，c，d为实数， (ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2) =(a2c2+2acbd+b2d2)-(a2c2+a2d2+b2c2+b2d2) =2acbd-a2d2-b2c2=-(ad-bc)2≤0显然成立， 所以(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 [小结](1)作差法:一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法:一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论. (3)函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数的单调性得出大小关系. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 1.已知a>b>c>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A.> B.a-b>b-c C.> D.> C [解析] A选项，因为a>b>0，所以b-a<0， 故-=<0，<，故A错误; B选项，设a=3，b=2，c=1，则a-b=b-c，故B错误; 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 C选项，-==， 因为a>b>c>0，所以a-b>0，a-c>0，b-c>0，故>0， 所以>，故C正确; D选项，-==， 因为a>b>c>0，所以b-a<0，a+c>0， 故-=<0，<，故D错误.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 2.已知a=ln(e)，b=，c=+1，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a B [解析] 设f(x)=，则f'(x)=， 当0<x<e时，f'(x)>0，f(x)在(0，e)上递增; 当x>e时，f'(x)<0，f(x)在(e，+∞)上递减， 故f(x)max=f(e)=. 则>>，故b>a>c. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 考点2 不等式的性质 例2　(1)(多选)设a，b，c，d∈R，则(　　) A.若a>b，则a3>b3 B.若-a>-b>0，则a2>b2 C.若a>b，c>d，则ac>bd D.若a>b>0，m>0，则> AB 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 [解析] 对于A，a>b，则a3>b3，故A正确; 对于B，由-a>-b>0，则a2>b2，故B正确; 对于C，取a=1，b=0，c=-2，d=-3， 满足a>b，c>d，而ac=-2<0=bd，故C错误; 对于D，由a>b>0，m>0，得-=， 因为a-m与0的大小关系不确定，故D错误. 故选AB. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 (2)(多选)已知a>b>0>c，则(　　) A.< B.> C.> D.a+>b+ AC [解析] 对于A，由a>b>0>c，得-==<0，则<，故A正确; 对于B，取a=2，b=1，c=-3，满足a>b>0>c，而=-1<-=，故B错误; 对于C，由a>b>0>c，得a-c>b-c>0， 则>>0，因此>，故C正确; 对于D，取a=2，b=1，c=-3，满足a>b>0>c，而a+=-1<-=b+，故D错误. 故选AC. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 [小结]不等式性质应用问题的三大常见类型及解题策略 (1)利用不等式性质比较大小.熟记不等式性质的条件和结论是基础,灵活运用是关键,要注意不等式性质成立的前提条件. (2)与充要条件相结合问题.用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确,要注意特殊值法的应用. (3)与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 3.若a<b<0，则下列不等式错误的是(　　) A.|a|>|b| B.a2>ab C.> D.> D [解析] 由a<b<0，得|a|>|b|，A成立; 因为a<b<0，所以a2>ab，B成立; 因为a<b<0，所以>，C成立; 当a=-2，b=-1时，=-1，=-<，D错误. 故选D. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 4.(多选)若a>b>0，那么下列不等式一定成立的是( 　　) A.> B.< C.a>>b D.a+>b+ ACD [解析] 对于A，因为a>b>0，所以-==>0，故A正确; 对于B，>1>>0，故B错误; 对于C，a>b>0，=>1，所以a>， 因为=>1，所以>b，所以a>>b，故C正确; 对于D，a+-b-=(a-b)>0，故D正确.故选ACD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 5.(多选)下列命题中，正确的有(　　) A.若a>b>0，则ac2>bc2 B.若a<b<0，则a2>ab>b2 C.若a>b>0且c>0，则> D.若a<b<0且c<0，则> BC [解析] 若a>b>0，当c=0时，则ac2>bc2不成立，故A错误; 若a<b<0，则a2>ab，ab>b2，∴a2>ab>b2，故B正确; 若a>b>0且c>0，则a-b>0，则-==>0，故C正确; 若a<b<0且c<0，则0>>，故<，故D错误，故选BC. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 考点3 不等式性质的综合应用 例3　(1)已知实数a，b满足-6<a+2b<-3，5<a-b<7，则3a+2b的取值范围为　　 　　.  [解析] 设3a+2b=m(a+2b)+n(a-b)，解得m=，n=， 因为-6<a+2b<-3，所以-10<(a+2b)<-5， 因为5<a-b<7，所以<(a-b)<， 所以-<3a+2b<. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 (2)(2024·浙江·模拟预测)已知正数a，b，c满足a2+c2=16，b2+c2=25，则k=a2+b2的取值范围为　　　　　　　.  9<k<41 [解析] ∵正数a，b，c满足a2+c2=16，b2+c2=25， ∴c2=16-a2，a2>0.所以0<c2<16. 同理:有c2=25-b2，得到0<c2<25，∴0<c2<16. 两式相加:a2+b2+2c2=41即a2+b2=41-2c2. 又∵-16<-c2<0，即-32<-2c2<0. ∴9<41-2c2<41，即9<k<41. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 [小结]1.判断不等式是否成立的方法 (1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明. (2)在判断一个关于不等式的命题的真假时,可结合不等式的性质,对数函数、指数函数的性质进行判断. 2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围,解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 6.(多选)(2025·江苏·模拟预测)已知b g糖水中含有a g糖(b>a>0)，若再添加m g糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有(　　) A.< B.< C.(a+2m)(b+m)<(a+m)(b+2m) D.< 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 [解析] 对于A，由题意可知<，故A正确; 对于B，因为m<2m，所以<=，故B正确; 对于C，<=， 即(a+m)(b+2m)<(a+2m)(b+m)，故C错误; 对于D，<==<，故D正确.故选ABD. [答案] ABD 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 7.记max{x1，x2，x3}表示x1，x2，x3这3个数中最大的数.已知a，b，c都是正实数，M=max，则M的最小值为(　　) A. B. C.3 D.3 A [解析] 因为M=max，所以a≤M，≤M， 所以++≤M，所以≤M，即M≥， 当且仅当a==时取等号， 所以M的最小值为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 $