第1章 第3讲 不等式的性质(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“不等式的性质”专题，依据课程标准覆盖比较大小（作差法、作商法）、不等式性质应用及取值范围求解等核心考点，通过梳理近5年模拟题明确“性质判断”“大小比较”“范围求解”三大高频题型，构建知识体系对接高考评价要求。 课件亮点在于“考点分层+真题演练+方法建模”，如典例2用待定系数法求x+y范围，培养学生数学思维与推理能力，总结比较大小“作差变形定号”等技巧，课时测评含16道模拟题覆盖易错点，助力学生掌握得分关键，教师可据此实施精准复习提升备考效率。

第3讲　不等式的性质 高三总复习讲义 北师大版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课程标准 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 2.理解用作差法比较两个实数的大小的理论依据． 3.能够利用不等式的性质解决有关问题． 03 课时分层测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.两个实数比较大小的方法 a＞b a＝b a＜b a＞b a＝b a＜b 2.不等式的性质 性质1　传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； 性质2　可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c； 性质3　可乘性：a＞b，c＞0⇒________；a＞b，c＜0⇒ac＜bc； 性质4　同向可加性：a＞b，c＞d⇒____________； 性质5　(1)同向同正可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒________； (2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒________； (3)同正可乘方性：a＞b＞0⇒________(n∈N＋，n≥2)； 性质6　同正可开方性：a＞b＞0⇒__________(n∈N＋，n≥2)． ac＞bc a＋c＞b＋d ac＞bd ac＜bd an＞bn ＞ 常用结论 有关分数的性质 (1)若ab＞0，则a＞b⇔． (2)若b＞a＞0，m＞0，则 ①(a－m＞0)(真分数越加越大，越减越小)； ②(a－m＞0)(假分数越加越小，越减越大)． √ √ 自测诊断 1.(多选)下列说法正确的是 A．两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种 B．若＞1，则a＞b C．同向不等式具有可加性和可乘性 D．两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母 2.(多选)(链接北师必修一P30A组T1)下列命题为真命题的是 A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ √ √ √ C中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2.故C错误． 3.(链接北师必修一P26T2)如图两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来 A．＞ab B．＜ab C．≥ab D．≤ab √ 图①是由两个等腰直角三角形构成的，面积S1＝b2.图②是一个矩形，面积S2＝ab．可得(a2＋b2)＞ab(a≠b)．故选A． 4.(链接北师必修一P25例1)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为_______． M＞N M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0.故M＞N． 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　数(式)的大小比较 自主练透 √ 1.设a，b∈［0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是 A．A≤B B．A≥B C．A＜B D．A＞B 根据题意得，B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B．故选B． √ 2.(2025·浙江金华模拟)设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P．若a＞b＞c，则 A．N＜P B．P＜M C．N＜M D．M＋N＜2P 根据题意得，M＝，N＝，P＝＝＝.对于A，N－P＝－＝.因为a＞b＞c，所以a－c＞0，b－c＞0，所以a＋b－2c＞0，所以N－P＝＞0，所以N＞P，故A错误； 对于B，M－P＝－＝.因为a＞b＞c，所以a－c＞0，b－c＞0，所以a＋b－2c＞0，所以M－P＝＞0，所以M＞P，故B正确；对于C，M－N＝－＝.因为a＞b＞c，所以c－a＜0，c－b＜0，所以2c－a－b＜0，所以M－N＝＜0，所以M＜N，故C错误；对于D，因为M＞P，N＞P，所以M＋N＞2P，故D错误.故选B. 3.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为____________. eπ·πe＜ee·ππ ＝＝.又0＜＜1，0＜π－e＜1，所以 ＜1，即＜1，即eπ·πe＜ee·ππ. 数(式)比较大小的常用方法 1.作差法：作差→变形→定号→结论． 2.作商法：作商→变形→比商与1→结论． 3.构造函数法：构造函数，用单调性比较． 规律方法 考点二　不等式的性质 师生共研 典例1 √ (1)(多选)(2026·浙江温州模拟)已知实数a，b满足a＞|b|＞0，则 A．a＞b B．a＞－b C．a2＞b2 D．＞ √ √ 由a＞|b|＞0可知a＞b，a＞－b，故A、B正确；由于a＞|b|＞0，故a2＞b2，故C正确；a＝2，b＝1时，故D错误．故选ABC． √ (2)(多选)(2026·山东聊城模拟)已知实数a，b满足ab＞0，则 A．a＋b＜ab B．＋≥2 C．若a＞b，则＜ D．若a＜b，m＞0，则＜(b＋m≠0) √ 对于A，当a＝b＝2时，a＋b＝ab＝4，故A错误；对于B，因为ab＞0，则＞0，＞0，则＋≥2＝2，等号成立时a2＝b2，故B正确；对于C，因为a＞b且ab＞0，则－＝＜0，则＜，故C正确；对于D，若a＝－2，b＝－1，m＝2，则＝2＞＝0，故D错误.故选BC. 判断不等式的常用方法 1.利用不等式的性质逐个验证． 2.利用特殊值法排除错误选项． 3.作差法． 4.构造函数，利用函数的单调性验证． 规律方法 √ 对点练1.(2026·四川南充模拟)若a＞b＞0，c＞d，则下列结论正确的是 A．a－b＜0 B．ac＞bd C．ac2＞bc2 D．＞ 因为a＞b＞0，c＞d．对于A，a－b＞0，故A错误；对于B，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2＝bd，故B错误；对于C，取c＝0，则ac2＝0＝bc2，故C错误；对于D，根据题意可知，c2＋1＞0，由不等式的基本性质可得，故D正确．故选D． √ 对点练2.(多选)(2026·海南模拟)已知a＞b＞0＞c，则下列各选项正确的是 A．ac＜bc B．＞ C．＞ D．a＋＞b＋ √ 对于A，a＞b，c＜0，故f(x)＝xc单调递减，所以ac＜bc，故A正确；对于B，取a＝2，b＝1，c＝－3，满足a＞b＞0＞c，而＝－1＜－，故B错误；对于C，由a＞b＞0＞c，得a－c＞b－c＞0，则＞0，因此，故C正确；对于D，取a＝2，b＝1，c＝－3，满足a＞b＞0＞c，而a＋＝－1＜－＝b＋，故D错误．故选AC． 考点三　不等式性质的应用 师生共研 典例2 √ (1)(多选)已知a∈(1，3)，b∈(2，3)，则下面判断正确的是 A.3＜a＋b＜6 B．－4＜a－2b＜－1 C.2＜ab＜9 D．＜＜ √ √ 因为1＜a＜3，2＜b＜3，所以－3＜－b＜－2，－6＜－2b＜－4，＜＜.根据不等式的同向可加性得3＜a＋b＜6，－2＜a－b＜1，－5＜a－2b＜－1，根据同向正值不等式可乘性得2＜ab＜9，＜＜.综上，a＋b∈(3，6)，a－b∈(－2，1)，a－2b∈(－5，－1)，ab∈(2，9)，∈.故选ACD. √ (2)(2026·江苏无锡模拟)已知2＜x＋2y＜3，－2＜x－y＜－1，则x＋y的取值范围为 A．＜x＋y＜ B.0＜x＋y＜ C．＜x＋y＜ D.0＜x＋y＜ 设x＋y＝m(x＋2y)＋n(x－y)，则x＋y＝(m＋n)x＋(2m－n)y，所以⇒x＋y＝(x＋2y)＋(x－y).因为2＜x＋2y＜3，－2＜x－y＜－1，所以＜(x＋2y)＜2，－＜＜－，所以＜(x＋2y)＋(x－y)＜，即＜x＋y＜.故选C. 根据不等式的性质求代数式取值范围的策略 1.已知a，b的取值范围，求解由ma，nb(mn≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时，可直接利用不等式的性质求解，但要严格运用不等式的性质，并注意其成立的条件． 2.已知m1a＋n1b，m2a＋n2b的取值范围，求解形如或可化为m3a＋n3b(mini≠0，i＝1，2，3)的范围时，可利用待定系数法与整体代换法一次性运用不等式的性质求得取值范围．注意：此时不可直接利用不等式的性质求解，因为同向不等式在两边相加时，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围． 规律方法 √ 对点练3.(2026·广东汕尾期末)已知3＜a＋b＜4，1＜a－b＜2，则2ab的取值范围是 A． B． C． D． 因为 即 则5＜4ab＜15，所以．故选D． √ 对点练4.(多选)(2026·陕西渭南模拟)已知实数a，b满足－3＜a＋2b＜2， －1＜2a－b＜4，则 A．－1＜a＜2 B．－2＜b＜1 C．－2＜a＋b＜0 D．0＜a－b＜4 √ 对于A，－3＜a＋2b＜2，－2＜4a－2b＜8，相加得－5＜5a＜10，故－1＜a＜2，故A正确；对于B，－6＜2a＋4b＜4，－4＜－2a＋b＜1，相加得－10＜5b＜5，故－2＜b＜1，故B正确； 对于C，设a＋b＝m＋n＝a＋b，故解得所以a＋b＝＋，故－＜＜，－＜＜，相加得－2＜＋(2a－b)＜2，即－2＜a＋b＜2，故C错误； 对于D，设a－b＝x＋y＝a＋b，故解得故a－b＝－(a＋2b)＋，－＜－＜，－＜＜，相加得－1＜－＋(2a－b)＜3，－1＜a－b＜3，故D错误.故选AB. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.(2026·辽宁沈阳模拟)已知a，b均为正实数，若M＝a3＋b3，N＝a2b＋ab2，则 A．M＜N B．M≤N C．M＞N D．M≥N √ 由a，b均为正实数，M＝a3＋b3，N＝a2b＋ab2，得M－N＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0，当且仅当a＝b时取等号，所以M≥N．故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.(2026·山东泰安模拟)已知x，y∈R，则xy＜0是＝＋的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 √ 当x＝y＝0时，成立，但xy＜0不成立，所以xy＜0是的不必要条件；若xy＜0，则，所以xy＜0是的充分条件．综上，xy＜0是的充分不必要条件．故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 √ 3.(2026·北京昌平期末)已知a＞b＞0，d＜c＜0，则下列大小关系正确的是 A．＞ B．＜ C．＞ D．＜ 因为d＜c＜0，所以＜.因为a＞0，所以a×＜a×，即＜.因为a＞b＞0，所以＜，综上，＜，故A错误，B正确；因为d＜c＜0，所以＞.因为a＞b＞0，所以＜，综上，无法判断大小，故C错误，D错误.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 √ 4.(2026·山西临汾模拟)若3≤a≤5，－2≤b≤1，则2a－b的取值范围是 A． B． C． D． 由3≤a≤5，－2≤b≤1可得6≤2a≤10，－1≤－b≤2，故5≤2a－b≤12.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 √ 5.(2026·湖北武汉期末)已知正实数a，b满足＞1，则下列不等式一定成立的是 A．b＞a＞0 B．a＋b＞2 C．a＋b＞ab＋1 D．b2＋2a＞a2＋2b 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于A，当a＞1时，a－1＞0，此时b－1＞a－1即b＞a＞1；当a＜1时，a－1＜0，此时b－1＜a－1即b＜a＜1，故A错误；对于B，当a＞1时，b＞a＞1，a＋b＞2成立；当a＜1时，b＜a＜1，a＋b＜2，故B错误；对于C，当a＞1时，取a＝2，b＝3，此时a＋b＝5，ab＋1＝7，不满足a＋b＞ab＋1；当a＜1时，取a＝0.5，b＝0.4，此时a＋b＝0.9，ab＋1＝1.2，不满足a＋b＞ab＋1，故C错误；对于D，b2＋2a＞a2＋2b等价于＞0，当a＞1时，b＞a＞1，a＋b＞2，此时b－a＞0，a＋b－2＞0，(b－a)(a＋b－2)＞0；当a＜1时，b＜a＜1，a＋b＜2，此时b－a＜0，a＋b－2＜0，＞0，故D正确.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 √ 6.(2026·浙江杭州模拟)在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是 A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生 C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 根据已知条件设理科女生有x1人，理科男生有x2人；文科女生有y1人，文科男生有y2人．根据题意可知x1＋x2＞y1＋y2，x1＋y1＞x2＋y2，根据同向不等式可加的性质有x1＋x2＋x1＋y1＞y1＋y2＋x2＋y2，即x1＞y2，所以理科女生多于文科男生，故C正确，其他选项没有足够证据论证．故 选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 7.(多选)(2026·广东茂名模拟)下列命题正确的是 A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＜b＜0，则b2＜ab＜a2 C．若a＞b＞0，＞，则m＜0 D．若2＜a＋b＜3，－1＜a－b＜2，则3＜3a＋b＜8 √ √ √ 对于A，取a＝1，b＝－2，满足a＞b，但是a2＜b2，故A错误；对于B，因为a＜b＜0，不等式两边同时乘以负数a，不等号方向改变，所以a2＞ab，不等式两边同时乘以负数b，不等号方向改变，所以ab＞b2，所以b2＜ab＜a2，故B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于C，因为a＞b＞0，－＝＝＝.又因为＞，所以＞0，而a＞b＞0，即b－a＜0，m＜0，所以m＜0，故C正确；对于D，设3a＋b＝x＋y，即3a＋b＝a＋b，则解得x＝2，y＝1，所以3a＋b＝2＋，又2＜a＋b＜3，则4＜2＜6，且－1＜a－b＜2，所以3＜2＋＜8，所以3＜3a＋b＜8，故D正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 8.(多选)(2026·山东临沂模拟)已知a＞b＞c，则下列不等式正确的是 A．＜ B．ab2＞cb2 C．a＋b＞c D．a2＋c2＞b2 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于A，－＝＝.因为a＞b＞c，所以c－b＜0，a－c＞0，a－b＞0，即＜0，所以＜，故A正确；对于B，取a＞b＝0＞c，此时ab2＝cb2＝0，故B错误；对于C，取a＝－1＞b＝－2＞c＝－3，则a＋b＝c＝－3，故C错误；对于D，若a＞b＝0＞c，则a2＋c2＞b2＝0显然成立，若a＞b＞0＞c，则a2＋c2＞a2＞b2成立，若a＞0＞b＞c，则a2＋c2＞c2＞b2成立，若a＞b＞c≥0或c＜b＜a≤0时，则a2＋c2＞b2显然成立，综上所述，只要a＞b＞c，就一定有a2＋c2＞b2，故D正确.故选AD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 9.(开放题)(2026·北京海淀期中)能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为a＝___；b＝_____________________________________ _______________________． 1 －1(答案不唯一，只要a＞0，b＜0或a＞0， b＝0或a＝0，b＜0均可) 若，则由a＞b⇒ab＞0，因此假命题时，只要满足a＞0，b＜0或a＞0，b＝0或a＝0，b＜0即可，如a＝1，b＝－1(答案不唯一)． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 10.已知f(n)＝－n，g(n)＝n－，φ(n)＝，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小关系为_________________． f(n)＜φ(n)＜g(n) f(n)＝－n＝＝φ(n)，g(n)＝n－＝φ(n)，所以f(n)＜φ(n)＜g(n)． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 11.(2026·北京丰台模拟)已知a＜b，c＜d，则下列不等式恒成立的是 A．a－c＜b－d B．ac＜bd C．2a＋2c＜2b＋2d D．a2＋c2＜b2＋d2 √ 对于A，举反例：取a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，则a－c＝－2，b－d＝ －2，显然－2＜－2不成立，故A不恒成立；对于B，举反例：取a＝ －2，b＝－1，c＝－3，d＝－2，则ac＝6，bd＝2，显然6＜2不成立，故B不恒成立；对于C，由于指数函数y＝2x是严格递增函数，a＜b和c＜d分别推出2a＜2b和2c＜2d，因此2a＋2c＜2b＋2d恒成立，故C恒成立；对于D，举反例：取a＝－3，b＝2，c＝－4，d＝1，则a2＋c2＝25，b2＋d2＝5，显然25＜5不成立，故D不恒成立．故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 12.(多选)(2025·山东济南二模)已知实数a，b满足a＞，则下列不等关系一定成立的是 A．2a＞2b＋1 B．a2＞4b C．a2＞b2＋1 D．a2＞b √ √ √ 因为a＞≥b＋1，所以a＞b＋1，所以2a＞2b＋1，故A正确；因为－4b＝≥0，所以≥4b.由a＞≥0，所以a2＞≥4b，故B正确；若a＝2，b＝－2，满足a＞，显然a2＞b2＋1不成立，故C错误；当b＋1≤1，则b≤0，必有a2＞0≥b；当b＋1＞1，则b＞0，故a＞b＋1＞b＞0，必有a2＞b，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 13.(2026·吉林长春模拟)正整数a，b满足3＜a＜b＜9，则的最大值为 _____． ，要使其最大，则a，b都最小即可．因为3＜a＜b＜9，且a，b为正整数，故取a＝4，b＝5，此时． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 14.(新情境)(2025·江苏淮安模拟)希罗平均数(Heronian mean)是两个非负实数的一种平均数，若a，b是两个非负实数，则它们的希罗平均数H＝．记A＝，G＝，则A，G，H从小到大的关系为________． (用“≤”连接) G≤H≤A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由基本不等式可知，G≤A，当且仅当a＝b时等号成立.因为H－G＝－＝＝≥0，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，所以H≥G.因为H－A＝－＝＝ －≤0，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，所以H≤A；综上所述，G≤H≤A，当且仅当a＝b时等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(2026·福建莆田期末)a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖(假设全部溶解)，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为＞，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是 A．＜ B．＜ C．log8 5＜log16 10 D．＋＜ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于A，＞＞2，＝＞，故A错误；对于B，＞，2＞0，＜，则＞，故B错误；对于C，由lg 8＞lg 5， lg 2＞0，得log85＝＜＝＝log1610，故C正确；对于D，＋＞＋＝，故D错误.故 选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 16.(多选)(2026·东北三省八校联考模拟)建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是 A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 设窗户面积与地板面积分别为m，n，由题意可知0＜＜1，即0＜m＜n，按采光标准，窗户面积与地板面积的比值，且当越大时，住宅的采光条件越好.对于A、B，当a＞0时，－＝＝＞0，故0＜＜，所以若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好，故A正确，B错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于C，若增加的窗户面积为s，则增加的地板面积为9s，故－＝＝＝.若＝，则－＝0，此时住宅的采光条件不变，故C错误；对于D，若增加的窗户面积为s，则增加的地板面积为11s，故－＝＝＝＜0，所以若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差，故D正确.故选AD. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 谢 谢 观 看 第3讲　不等式的性质 $