第4讲 基本不等式 课件 - 2027届高三数学第一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课标要求覆盖了解证明过程、掌握公式、解决最值及实际问题四大考查维度，通过知识梳理系统整合基本不等式条件、等号成立条件及四个重要不等式，结合课前自测归纳易错点，对接高考评价体系明确求最值为核心考点。 课件亮点在于“题型剖析+高考真题+通解法指导”，如配凑法解决函数最值、常数代换法处理条件最值，融入2025北京、2026上海等真题训练，培养学生数学思维与运算能力。特设“通解法”模块提炼技巧，帮助学生掌握答题规律，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第 4 讲 基本不等式 第1章 集合、常用逻辑用语与不等式 · 2027 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 了解基本不等式的证明过程. 01 掌握基本不等式. 02 能用基本不等式解决简单的最值问题. 03 能用基本不等式解决简单的实际生活中的最值问题. 04 · 课 标 要 求 · 必 备 知 识 梳 理 新高考第一轮复习 · 高三数学 1.基本不等式: (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当_____时取等号. (3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何 平均数. 新高考第一轮复习 · 高三数学 · 知 识 梳 理 · 2.四个重要的不等式 (1) a2+b2≥_________(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2) ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (3) ___,同号 ； (4) . 3. 利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值_____. (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值______. 新高考第一轮复习 · 高三数学 · 知 识 梳 理 · 1.ab≤≤. 要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. 2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式. 若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致. · 重 要 结 论 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 1. 判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） (1)不等式ab≤与≥成立的条件是相同的.(　　) (2)函数y=x+的最小值是2.(　　) × × (3)函数y=sin x+,x∈的最小值是4.(　　) (4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.(　　) × × (1)不等式ab≤成立的条件是a,b∈R,≥成立的条件是a≥0,b≥0. (2)由于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),故函数y=x+无最小值. (3)由于sin x=时sin x=2无解,故sin x+的最小值不为4. (4)“+≥2”的充要条件是“xy>0”. · 课 前 自 测 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 2. (人教A·必修一·P48 T5·改编)（1）已知，则 的最小值是_________. （2）已知，则 的最大值是_________. 解 析 因为，所以， 由基本不等式得， 所以， 故（1）的最小值为6，（2）最大值为-2. · 课 前 自 测 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 3. (苏教·必修一·P58 例2·改编)已知x>1,则x+的最小值为____________.  x+=x-1++1≥2+1=3, 当且仅当x-1=,即x=2时等号成立. · 课 前 自 测 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 4.(人教A·必修一·P58 T5·改编) 若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为_________.  由ab=a+b+3≥2+3,得ab-2-3≥0,解得≥3(≤-1舍去), 即ab≥9.当且仅当a=b=3时取等号. · 课 前 自 测 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 考 点 题 型 剖 析 新高考第一轮复习 · 高三数学 1 利用基本不等式求最值 解 析 例1 (1)已知0<x<2,则的最大值为____________.  方法一：配凑法 因为0<x<2,所以x>0,1->0, 所以==×≤×=, 当且仅当=1-,即x=1时等号成立, 所以. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 （2）若实数，则 的最小值为( ) 解 析 D A. B. C. D. ， 当且仅当，即 时等号成立. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1. 配凑法求最值 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值 或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法. 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 2. 配凑法求解最值应注意的问题 （1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到 等价变形； （2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件. · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 跟练1 (1) 函数f(x)=4x+,x∈(-1,+∞)的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 1 利用基本不等式求最值 解 析 B 因为x∈(-1,+∞),则x+1>0, 则f(x)=4x+=4(x+1)+-4≥2-4=12-4=8, 当且仅当即x=时,等号成立, 故函数f(x)=4x+,x∈(-1,+∞)的最小值为8. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 例1（2） (2026·安徽师大附中模拟)已知x>0,y>0,2x+y=2,则+的最小值为(　　) A.4 B.2 C. D. 解 析 A 方法二：常数代换法 由题可知x+=1, 所以+==1+1++≥2+2=4, 当且仅当x=,y=1时取等号.故选A. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1. 常数代换法求最值的步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值. 2. 常数代换法求解最值应注意的问题 （1）条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础； （2）已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键； （3）利用基本不等式求最值时注意基本不等式取等号的前提条件. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 跟练1（2）（2026·山西·模拟） 已知，，且，则 的最小值是( ) 解 析 A A. B.25 C.4 D.8 因为，所以 ， 所以 . 因为，，所以 ， 当且仅当，即，时等号成立，则 . · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 例1（3） (2026·福州调研)已知5m2n2+n4=1,则m2+n2的最小值为(　　) A. B. C. D. 解 析 C 方法三：消元法 由5m2n2+n4=1,可得n≠0,则m2=. m2+n2=≥×2=, 当且仅当4n2=,即n2=时取等号,即n2=,m2=时,m2+n2取最小值. 故选C. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1、通过消元法求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为 函数的最值求解. 2、有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解. · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 跟练1（3）（2026·烟台模拟） 已知，，，则 的最小值为___，则 的最大值为___. 解 析 6 由已知得 ， 即 ， 令，则且 ， 得，当且仅当，即，时取等号.即 的最小值为6. ， ， 令， ，，即 ， 解得 ，， ， 当且仅当，即， 时取等号， 的最大值为3. 3 · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 例1（4） 已知x>0,y>0,x+2y=1,则的最小值为____________.  解 析 8+4 方法四：齐次化法 由x+2y=1可得, ====++8 ≥2+8=8+4, 当且仅当=,即x=y且x+2y=1时等号成立. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 例2 (1)（2026·山东期末） 关于的不等式的解集是，则实数 的取值范围为_ ________. 2 利用基本不等式求参数范围 解 析 不等式的解集是 ，即对于， 恒成立， 即 .当时， ；当时， ， 因为 ，当且仅当时取等号，所以 . 综上所述，, . · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1、利用基本不等式求参数的范围： （1）观察题目特点，把恒成立问题，通过参变量分离，转化为最值问题. （2）通过等价变形式子，可以利用基本不等式求最值，从而得解. · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 (2)已知x>0,y>0,且+=1,若2x+y+8m<m2有解,则实数m的取值范围为___________.  解 析 2 不等式的基本性质的应用 (-∞,-1)∪(9,+∞) 因为x>0,y>0,且+=1,所以2x+y=(2x+y)=5++≥5+2=9, 当且仅当=,且+=1,即x=y=3时取等号,此时2x+y取得最小值9, 若2x+y<m2-8m有解, 则9<m2-8m,解得m>9或m<-1, 即实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞). · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 3 利用基本不等式解决实际问题 例3 某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池,其平面图如图所示.每个育苗池的底面面积为200 m2,深度为2 m,育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路.设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20),甬路的面积为S m2. (1)求S与x之间的函数关系式; (2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2,池底的造价为600元/m2,甬路的造价为100元/m2,若不考虑其他费用,求x为何值时,总造价最低,并求最低总造价. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 （1）由题意可得每个育苗池底面的另一边长为m, 则S=(x+4)-600=8x++32,10≤x≤20. （2）设总造价为w元, 则w=200×2+600×3×200+100S=2 400x++ 360 000+800x++3 200=3 200x++363 200, 10≤x≤20, 其中3 200x+≥2=96 000, 当且仅当3 200x=,即x=15∈[10,20]时,等号成立, 故w=3 200x++363 200≥459 200, 所以当x=15 m时,总造价最低,最低总造价为459 200元. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1、利用基本不等式解决实际问题的注意点 (1)设变量时,一般把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)解题时,一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响. (3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解,如利用f(x)=x+(a>0)的单调性. (4)在实际问题中利用基本不等式求最值时,必须指明等号成立的条件. · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 3 利用不等式性质求代数式的取值范围 跟练3 某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3 m,底面为24 m2,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的背面靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左、右两面墙的长度为x m(3≤x≤6). (1)当左、右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价; (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左、右两面墙的长度为多少,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 （1）设甲工程队的总报价为y元,则y=3+14 400= 1 800+14 400≥1 800×2+14 400=28 800, 当且仅当x=, 即x=4时等号成立. 故当左、右两侧墙的长度为4 m时,甲工程队的报价最低为28 800元. （2）由题意可得1 800+14 400>,对任意的x∈[3,6]恒成立, 故>,从而>a恒成立, 令x+1=t,则==t++6,t∈[4,7].令g(t)=t++6, 则g(t)在t∈[4,7]上单调递增, 故g(t)min=12.25, 又a>0,故0<a<12.25. 所以a的取值范围为(0,12.25). · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 走 进 高 考 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 C · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 2 · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 C · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 4 · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 12 · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 本 讲 结 束 新高考第一轮复习 · 高三数学 $