第04讲 基本不等式及其应用（复习课件）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式及其应用”专题，依据高考评价体系梳理了核心公式、最值模型、“1”的代换等考查要点，通过真题分析明确“配凑定值求最值”“含参恒成立”等高频题型，构建系统知识框架与解题思路。 课件亮点在于“真题溯源+题型破译+素养提升”，如2021上海高考“a+4b=1求1/a+1/b最值”真题，运用“1的代换”技巧培养数学思维，结合易错点分析（等号取不到处理），助力学生掌握得分关键，教师可据此精准指导复习。

基本不等式及其应用 第 04 讲 考情分析   基本不等式是高中不等式板块重难点，新高考弱化繁杂配凑技巧，强化 “一正二定三相等” 条件考查，常与函数、数列、解析几何、应用题融合。 题型：单选 / 多选第 3～6 题（5 分），解答题穿插于导数、解三角形、圆锥曲线求最值（3～6 分），总分 5～11 分；整体中等难度，高频必考。 四大考查方向： ① 基本不等式成立条件判断（正、定、等易错点）； ② 配凑和定积最大、积定和最小求代数式最值； ③ 含参恒成立、取值范围求解； ④ 实际问题（成本、面积、利润）建模用不等式。 综合融合：常结合指数对数、三角函数、数列通项、几何边长，考查数学建模与运算素养。   复习目标   熟记基本不等式原始公式、变形公式，精准牢记一正二定三相等使用前提； 熟练掌握配凑法（拆项、添系数、凑定值）两类核心最值模型； 掌握 “1 的代换” 经典题型解题套路； 会处理多变量、含负号、分式型不等式最值； 能建立实际应用题数学模型，利用基本不等式求解最优值。 01 命题透视・考情前瞻 02 思维建模・脉络梳理 知识解构 知识点1 基本不等式核心公式 知识点2 两个最值模型 知识点3 “1”的代换 知识点4 含负数、不等取等的处理 题型破译 题型1 基本不等式成立条件辨析 题型2 配凑定值求最值（拆项、配系数） 题型3 "1 的代换" 求最值 题型4 特殊情况处理（含负数、等号取不到） 题型5 基本不等式实际应用 题型6 含参恒成立问题 1.1 核心原型(算术 - 几何均值不等式) 若a>0,b>0,则_________________,当且仅当a=b时取等号. 一正：a,b全为正数(负数不能直接套原式)； 二定：求和最值则乘积为定值；求积最值则和为定值； 三相等：等号可取(a=b在定义域内有解,取不到则改用函数单调性). 1.2 拓展重要不等式(无条件 / 放宽条件) 1. a=b取等(全体实数可用,无正数限制)； 2.(积≤和平方四分之一,常用放缩)； 3.同号： ； ab<0时 .当且仅当a=b时,所有等号同时成立 知识点1 基本不等式核心公式 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 1.3 四项均值不等式链 对于正数a,b,有： ______________________________________________________ 其中： ：调和平均数(HM) ：几何平均数(GM) ：算术平均数(AM) ：平方平均数(QM) 当且仅当a=b时,所有等号同时成立. 知识点1 基本不等式核心公式 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点1 基本不等式核心公式 解 析 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 积定求和最小：ab=k(定值,a,b>0) ,a=b取最小； 和定求积最大：a+b=k(定值,a,b>0) ,a=b取最大. 核心操作：无定值时,需要通过拆项、配系数等方法凑出定值,这是基本不等式应用的关键. 知识点2 两大最值模型 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2 两大最值模型 解 析 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 已知求 类最值：整体乘 ,展开后配凑均值. 例：,,求 . 知识点3 经典题型：“1 的代换” 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点3 经典题型：“1 的代换” 解 析 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 1.：令,变形后用不等式；例 22.定义域限制无法：放弃基本不等式,用对勾函数单调性. 知识点4 易错拓展：含负数、不能取等的处理 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点4 易错拓展：含负数、不能取等的处理 解 析 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 题型1 基本不等式条件正误判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1 基本不等式条件正误判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1 基本不等式条件正误判断 方法技巧 不等式性质的快速判断 特殊值秒杀法：优先代入负数、0、边界值（如a=b、x=0）快速排除错误选项； 三条件逐项核验法：按 "一正→二定→三相等" 顺序逐一验证，缺一不可； 性质区分法：明确 （全体实数）与 （仅正数）的适用范围. 易错分析 忽略前提条件 忽略 "一正" 条件，直接对负数使用基本不等式； 忽略 "二定" 条件，无定值时强行求最值； 忽略 "三相等" 条件，等号取不到时仍用不等式结果； 混淆两个基本不等式的适用范围，导致判断错误. 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1 基本不等式条件正误判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1 基本不等式条件正误判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1 基本不等式条件正误判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1 基本不等式条件正误判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2 配凑定值求最值（拆项、配系数） 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2 配凑定值求最值（拆项、配系数） 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2 配凑定值求最值（拆项、配系数） 方法技巧 拆项法（凑和为定值）： 适用：型； 操作：，此时为定值. 配系数法（凑积为定值）： 适用：型； 操作：，此时为定值. 分离常数法： 适用：型； 操作：将分子配成分母的倍数+常数，转化为整式+分式形式 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2 配凑定值求最值（拆项、配系数） 易错分析 拆项时漏加常数项，导致结果偏小； 配系数时漏乘倒数，导致结果扩大或缩小； 等号条件不在定义域内，未改用函数单调性； 混淆和定与积定的应用场景，凑错定值类型. 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2 配凑定值求最值（拆项、配系数） 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2 配凑定值求最值（拆项、配系数） 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2 配凑定值求最值（拆项、配系数） 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2 配凑定值求最值（拆项、配系数） 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3 "1 的代换" 求最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3 "1 的代换" 求最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3 "1 的代换" 求最值 方法技巧求代数式范围的规范步骤 标准解题模板： 变形定值：将化为； 整体乘1：所求代数式乘以； 展开配凑：展开得到"整式+可均值分式"； 用基本不等式求最值，验证等号条件. 变形技巧：若已知，直接将乘以即可. 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3 "1 的代换" 求最值 易错分析范围扩大问题 乘错"1"的形式，未使用已知的定值条件； 展开时乘法分配律应用错误，导致系数错误； 联立方程求解等号条件时计算错误； 多次使用基本不等式，未保证所有等号同时成立. 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3 "1 的代换" 求最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3 "1 的代换" 求最值 解 析 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4 特殊情况处理（含负数、等号取不到） 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4 特殊情况处理（含负数、等号取不到） 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4 特殊情况处理（含负数、等号取不到） 方法技巧 含负数的处理：换元转化为正数，注意不等号方向改变； 等号取不到的处理：改用对勾函数单调性或导数求最值. 易错分析 负数直接使用基本不等式，未改变不等号方向； 等号取不到时仍用基本不等式的结果； 对勾函数的单调性记反，导致最值求错； 换元后未重新确定新变量的定义域. 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4 特殊情况处理（含负数、等号取不到） 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4 特殊情况处理（含负数、等号取不到） 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4 特殊情况处理（含负数、等号取不到） 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5 基本不等式实际应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5 基本不等式实际应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5 基本不等式实际应用 方法技巧 建模解题四步走： 设变量：根据题意设出合适的变量（通常设长、宽、产量为x）； 列关系式：建立目标函数和变量的取值范围； 求最值：利用基本不等式求最值，验证等号条件； 作答：将数学结果转化为实际问题的答案. 易错分析 忽略实际意义对变量的限制（如长度为正、墙长限制）； 目标函数建立错误，导致成本、利润计算错误； 等号条件不符合实际，未改用函数单调性；单位不统一，导致计算结果错误. 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5 基本不等式实际应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5 基本不等式实际应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5 基本不等式实际应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5 基本不等式实际应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 含参恒成立问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 含参恒成立问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 含参恒成立问题 方法技巧优先使用分离参数法 分离参数：将参数移到一边，变量移到另一边； 求最值：求函数f(x)的最大值或最小值； 得范围：若恒成立，则；若恒成立，则. 易错分析 分离参数时，除以负数未改变不等号方向； 求函数最值时忽略等号条件； 恒成立问题遗漏端点值； 混淆恒成立与能成立的最值要求. 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 含参恒成立问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 含参恒成立问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 含参恒成立问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 含参恒成立问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 04 真题溯源・考向感知 解 析 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 由,得, 对于A,,A正确； 对于B,取,则,B错误； 对于C,,C正确； 对于D,显然,则,D正确. 【自主检测】已知,且,则下列不等式不一定成立的是(   ) A． B． C． D． 令,则展开式中各项系数和为,因为,所以, 当,即时等号成立,所以展开式的各项系数之和的最小值为16. 【自主检测】(2026.江苏苏锡常镇.二模)已知,则关于的展开式中各项系数之和的最小值为(    ) A．2 B．4 C．8 D．16 【自主检测】已知正实数a,b满足,则的最小值为______． , , , , , 当且仅当,即,结合得时等号成立, 的最小值为4． 选项A,因为,所以,所以成立. 选项B,若,则不成立. 选项C,因为,并且,等号取不到),所以, 因此成立. 选项D,,等号在时成立,但是,所以等号无法取到,因此. 【自主检测】已知,且,则下列不等式不一定成立的是(    ) A． B． C． D． (2)上式当且仅当即时,等号成立； (3)所以当时,取得最小值 根据条件,由基本不等式可知,(1)(2)均正确, 对于(3),由基本不等式知,求最小值,则需满足“一正二定三相等”的原则, 求和的最小值,需要乘积为定值,而不为定值,所以(3)错, 故选：D. A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 【例1-1】已知,那么以下关于式子的分析判断正确的选项是(    ) (1)； 由a,b为正实数且. 根据基本不等式,当且仅当时等号成立,故A正确； ,当且仅当时等号成立,故B错误； ,当且仅当时等号成立,故C错误； 根据算术平均值小于等于平方平均值不等式,得, 当且仅当时等号成立,即,故D错误. 【例1-2】已知正实数a,b满足,则(    ) A． B． C． D． 选项A. 由基本不等式,则,平方得,当且仅当时等号成立,A正确. 选项B.对平方得,由A知, 因此, 因为,开方得, 当且仅当时等号成立,B正确. 选项C.,由,所以,即,C错误. 选项D.,因此,所以,D错误. 【变式训练1-1】(多选题)已知正实数满足,则(    ) A． B． C． D． 对于选项A,因为,,所以,故A正确； 对于选项B,由可得(又,等号不成立),所以,故B正确； 对于选项C,由,由,可得,所以,故C错误； 对于选项D,因为,所以,故D错误. 【变式训练1-2】(多选题)若,,则下列判断正确的是(    ) A． B． C． D． 对于A项,因,,且,则有, 当且仅当时取“=”,A正确； 对于B项,因,,且,则, 得,则B错误； 对于C项,因,,且,则, 得,, 设,, 得,得函数在上单调递增, 得,得, 即,得,故C正确； 对于D项,, 令, 得,得函数在上单调递增, 得,得,即,故D项错误. 【变式训练1-3】(多选题)若,则(   ) A． B． C． D． 因为所以,即,故A正确； 因为,所以, 即,故B正确； 因为,不能确定指数函数是增函数,即不一定成立,故C错误； 因为,所以, 当且仅当时取等号,即,故D正确； 故选：ABD 【变式训练1-4】(多选题)已知,则下列不等式成立的是(   ) A． B． C． D． 因为,,且, 由基本不等式得, 当且仅当时等号成立, 即,得, 因为,所以. 由代入,解得, 因此当,的最小值为. 【例2-1】已知,,且,则的最小值为(     ) A． B． C． D． 【例2-2】【新考法】(2026.河北沧州二中.预测(一))已知实数满足,则的最大值 为__________. 由,可得, 设点,则点在以点为圆心,2为半径的圆上, 所以, 根据几何意义设,则, 过点作圆的切线,与圆交于点, 此时 , 故, 所以, 因为,所以, 即 所以,所以, 故最大值为. 【变式训练2-1.变载体】(多选题)已知离散型随机变量的分布列如表所示.其中,且,则下列说法正确的是(    ) 0 1 2 P 0.2 c a A． B． C． D． 由期望的计算公式可得,得. 对于A：因,则, 当且仅当时,等号成立,故A正确； 对于B：由,可得,又由A可知,, 故, 当且仅当时,等号成立,故B错误； 对于C：因,则, 当且仅当,即时,等号成立,故C正确； 对于D：令,则,则, 则又因为,故, 故, 当且仅当,即时,等号成立,故D正确. 由,得, 所以, 当且仅当时,即时等号成立,将其代入, 解得, 所以的最小值是. 【变式训练2-2.】已知,,且,则的最小值是(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 对于A选项, 因为,是正实数,所以,则, 又因为,所以, 故A选项正确. 对于B选项,根据基本不等式,, 已知,代入得, 两边平方得,即. 等号成立当且仅当,结合,解得,, 故B选项正确. 对于C选项,, 则因为均为正实数, 所以由基本不等式得, 所以, 故C选项错误. 对于选项D, 由选项B知,所以, 因此, 即, 故D选项错误. 【变式训练2-3】(多选题)已知正实数满足：,下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式训练2-4】已知正实数,满足,则的最大值是__________． 因为为正实数,由基本不等式可得,当且仅当时等号成立； 正实数满足,得,代入上述不等式可得：, 令,由得,不等式转化为：,整理得,即, 因为,所以,因此,即,故, 得,当且仅当时等号成立,因此的最大值为4. 因为函数的定义域为,,所以是奇函数； 又,所以, 又,所以在上单调递增,所以,即； 又均为正数,所以, 当且仅当时,即,时等号成立, 故的最小值为9,故D正确. 【例3-1】(陕西省镇安中学2026届高三模拟)已知函数,正数满足,则的最小值为(   ) A．2 B．5 C．8 D．9 因为, 所以 得,即 构造函数 , 恒成立,所以单调递增, 因为 , 因此原等式可写为 由单调递增可知 ,故 即, 即 因为,,所以 , 所以 当且仅当,即时等号成立, 此时 均满足 的条件,因此最小值为. 【例3-2】已知实数,,且满足,则的最小值为(    ) A．5 B． C． D．9 ∵, , 当且仅当, 即,时等号成立. 的取值范围是. 【变式训练3-1】(湖南株洲市第二中学2026届高三全真模拟)已知,,则的取值范围是(    ) A． B． C． D． A．5 B．6 C．7 D．9 , 当且仅当,即,结合解得当且仅当,时取等号, 因此的最小值为9. 【变式训练3-3】已知均为正数,且,则的最小值为___________ 因为,所以. ,当且仅当时等号成立. 【变式训练3-2】已知,且,则的最小值为(    ) 当时,, 当且仅当,即时,等号成立. 由对勾函数的性质可得,在上单调递增,在上单调递减. 当时,函数单调递减,. 函数在定义域内有最大值,则,即实数的取值范围是. 【例4-1】已知函数在定义域内有最大值,则实数的取值范围是(     ) A． B． C． D． C．若,则 D． 对于A：,, 因为,所以, 即,故A正确； 对于B：,在上单调递减, 所以当时,取得最小值为5,故B错误； 对于C：因为,所以,所以, 所以, 当且仅当,即时等号成立,所以,故C正确； 对于D：,即,,解得, 即, 当时,, 又因为为增函数,所以,故D错误.故选：. 【例4-2】(多选题)下列不等式正确的是(   ) A． B．的最小值是4 【变式训练4-1.变载体】(重庆市七校联盟2026届高三考前联合诊断)已知数列满足,,数列满足,,则数列的最小值为__________． 因为,,显然, 对递推式两边取倒数得： ,即,. 所以数列是首项为,公差为的等差数列, 因此 ,. 又因为,时,即 由累加法得：, ,, 验证时,符合上式,故,. 令,, 因为函数在上单调递减,在上单调递增,. 所以数列在上单调递减,在上单调递增, 因此当时数列取得最小值,当时,数列取得最小值,且, 因此,当时数列取得最小值. 【变式训练4-2.变考法】已知直线与圆相切于点,是圆上一动点,点满足 ,且以为圆心,为半径的圆恰与相切,则当取最小值时,点的坐标可以为______. 设,则,直线与圆相切于点,则, 由以为圆心,为半径的圆恰与相切, 可得, 化简可得,且. 再设,则, 则, 由于对勾函数在上单调递增,在上单调递减, 所以当时,有最大值-2,则取得最小值, 此时或. 【变式训练4-3.变考法】已知实数满足且,则的最大值是______． 由可知, ,不等式两边时乘以, 得,解得. 令,即. 所以, 当且仅当,即时,等号成立, 故的最大值是. 设 则,所以, 所以, 因为, 即且,解得, 所以. 故 当且仅当,即时,等号成立, 所以当时, 该休闲场所的总造价最小,最小值为 元. 故选：B 【例5-1】如图,某社区要建一座八边形的休闲场所,它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪,造价为；在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价为．设总造价为S(单位：元),则当总造价S最小时,AD的长度为(   ) A． B． C． D． 由题意得知是锐角,且,而, , 所以, 而, 当且仅当,即时,等号成立, 所以当时,,此时最大, 故选：D 【例5-2】1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位,一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面,悬杆视为直线l上两点A,B间的连线,则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示,直线l垂直于平面,直线l上有两点A,B位于平面的同侧,求平面上一点C,使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A,B两点的坐标分别为,,点C的坐标为,则当最大时,c的值为(   ) A．64 B．32 C． D． 【变式训练5-1】已知正三棱锥的各顶点都在体积为的球面上,正三棱锥体积最大时,该正三棱锥的高为______. 根据题意可得,正三棱锥的外接球的半径 , 设正三棱锥的底面边长为 ,高为 , 则正三角形的外接圆的半径为 ,所以 , 即 , 所以 , 又正三棱锥体积为 , 当且仅当 即 时,等号成立, 所以当正三棱锥体积最大时,该正三棱锥的高为4. (2)夏令营活动组织者要求在点集合,设小明从点出发准时到达点的概率为,小红从点出发准时到达点的概率为,两人是否准时到达点互不影响,已知两人中有且仅有一人准时到达点的概率为0.52,至少有一人准时到达点的概率为0.76,求的值． (1)设的内角的对边分别为 由,根据正弦定理,得,即, 由余弦定理,得, 因为,所以, 当,即时,上式等号成立, 此时,,于是,,因此,的最小值为． (2)设事件“小明准时到达A点”,事件“小红准时到达A点”,则,． 由题意,即, 化简,得①, ,即, 化简,得②,由①②,得, 所以．故的值为0.2． 【变式训练5-2】某夏令营在区域内活动,三个内角满足． (1)求的最小值； (2)若乙工程队要确保竞标成功,求实数的取值范围. 【详解】(1)若运动场地前面墙体的长为米(),则左右两面墙宽度为, 则甲工程队整体报价为, , 当且仅当时,“=”成立, 因此至少要付给甲工程队57600元； 【变式训练5-3】某学校计划改造一间高为米,底面积为平方米,且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙,无须建造费用,设运动场地前面墙体的长为米(). 现有甲、乙两支工程队参加竞标,甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元,左右两面新建墙体每平方米元,屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元(). 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成,则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙队要确保竞标成功则 , 所以, 则, 因为, 所以函数, 函数在上单调递增,故, 故,则,所以实数的取值范围是. ①若为常数列,则； ②当时,总有； ③当时,为递增数列,且存在常数,使得恒成立． 其中正确结论的个数为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 ①若为常数列,则假设,则,代入得：,解得：, 即：或均满足为常数列,所以①错误； ②当时,由题意得时,,所以恒成立,, 当且仅当, 即时等号成立,因为,所以当时,； 又因为, 因为,所以,,则, 即数列是递减数列,所以,综上所述：,所以②正确； ③当时,由题意得时,,所以恒成立,则,, , 当且仅当,即时等号成立,所以,,, 则,所以为递增数列,且存在常数,使得恒成立,所以③正确. 【例6-1】已知数列满足 ,给出下面3个结论, 因为正实数,满足,所以, 则：, 当且仅当时取等号,因为不等式恒成立,所以． 故选： B． 【例6-2】已知正实数,满足,且不等式恒成立,则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 因为,,且,则, 则, 所以 , 当且仅当时, 即当,时,所以的最小值为, 因为恒成立,所以,解得, 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式训练6-1】已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． A．若,则 B．的最小值为1 C．若,则的最小值为8 D．若恒成立,则的最小值为 对于A,,当且仅当时取等号, 即,得到,解得．故A正确； 对于B,, 当且仅当,即时取等号,显 然的值不存在,故B错误； 对于C,因为,所以, 由基本不等式得, 当且仅当时取等,此时解得,则的最小值为8,故C正确, 对于D,因为恒成立,且,, 所以恒成立,而 , 令,则可化为, 令,则, 化简得, 而该一元二次方程一定有实数根,得到, 解得,当时,, 故,故即, 得到,则的最小值为,故D错误. 【变式训练6-2】(多选题)已知,,则下列说法正确的是(   ) ,数形结合,得到内的大致图象为如图所示, 故,,A对. 由得, 即, 由题意,则, ,则,B正确. 又,D正确. 因为,从而C错误. 故选：ABD. 【变式训练6-3】(多选题)已知函数是其导函数.若存在且,满足,则(    ) A． B． C． D． (2)若,对任意,恒成立,求的取值范围． (1)对任意的,由①,得②, 两式相减, 可得,即, 所以,所以． 所以,数列的奇数项、偶数项分别成以为公差的等差数列, 在①式中,令,可得,令,可得, 所以当为奇数时,, 当为偶数时,, 综上所述,. (2)因为,所以, 当时,． 可得, 当且仅当,即时等号成立, 即的最小值为,所以,即的取值范围为． 【变式训练6-4】已知数列的前项和为,． (1)求数列的通项公式； C． D． 由题意不妨设,因为函数是增函数,所以,即, 对于选项AB： 可得,即, 根据函数是增函数, 所以,故B正确,A错误； 对于选项D：例如,则, 可得,即,故D错误； 对于选项C：例如,则, 可得 ,即,故C错误, 故选：B. 1．(2024.北京.高考)已知,是函数的图象上两个不同的点,则(    ) A． B． 2．(2023.上海.高考)已知正实数a、b满足,则的最大值为_______________． , 当且仅当“”,即时取等, 所以的最大值为. 3．(2023.天津.高考)在中,,,记,用表示_________；若,则的最大值为_________． 【详解】空1：因为为的中点,则,可得, 两式相加,可得到, 即,则； 空2：因为,则,可得, 得到, 即,即. 于是. 记, 则, 在中,根据余弦定理：, 于是, 由和基本不等式,, 故,当且仅当取得等号, 则时,有最大值. , 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 5．(2025.上海.高考)设,则的最小值为_________． 易知, 当且仅当,即时取得最小值. 故答案为：4 4．(2024.上海.春季高考)已知,的最小值为______． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上,证明：矩形的周长大于． (1)设,则,两边同平方化简得, 故. (2)设矩形的三个顶点在上,且,易知矩形四条边所在直线的斜率均存在,且不为0,    则,令, 同理令,且,则, 设矩形周长为,由对称性不妨设,, 则, 易知 则令, 令,解得, 当时,,此时单调递减, 当,,此时单调递增, 则, 故,即. 当时,,且,即时等号成立,矛盾,故, 得证. 6．(2023.新课标全国Ⅰ卷.高考)在直角坐标系中,点到轴的距离等于点到点的距离,记动点的轨迹为． 1．(19-20高一.全国.课后作业)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金,一位顾客到店里购买黄金,售货员先将的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于,等于,还是大于？为什么？ 由于天平两臂不等长,可设天平左臂长为,右臂长为,则, 再设先称得黄金为,后称得黄金为, 则,,,, , 当且仅当,即时等号成立,但,等号不成立, 即. 因此,顾客购得的黄金大于. ,由基本不等式可得, 当且仅当时,即当时,等号成立, 因此,的最大值是. 3．(19-20高一.全国.课后作业)已知、、都是正数,求证：. ,,,由基本不等式可得,,, 由不等式的性质可得, 当且仅当时等号成立. 2．(19-20高一.全国.课后作业)已知,求证：的最大值是. 当时,. 当时,,,, 当且仅当,即时取等号. 的最大值为,此时. 5．当取什么值时,取得最小值？最小值是多少？ ,当且仅当,即时等号成立. 所以,当或时,取得最小值, 最小值为. 4．已知,求的最大值. (2)如果和等于定值,那么当时,积有最大值. 因为、都是正数,所以. (1)当积等于定值时,,所以, 当且仅当时,上式等号成立.于是,当时,和有最小值； (2)当和等于定值时,,所以, 当且仅当时,上式等号成立.于是,当时, 积有最大值. 6．(19-20高一.全国.课后作业)已知、都是正数,求证： (1)如果积等于定值,那么当时,和有最小值； $