精品解析：上海市杨浦区2024-2025学年七年级下学期期中数学试题

2024学年第二学期七年级期中质量调研 数学学科 （满分：100分 完成时间：90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1. 下列各组条件中，不能组成三角形的是（ ） A. 2，， B. 3厘米，8厘米，10厘米 C. 三条线段之比为 D. 6厘米，6厘米，6厘米 2. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 可能垂直，也有可能平行 4. 如图，下列条件可以推出的有（ ） ①； ②； ③； ④． A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 5. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 平行于同一直线的两直线平行 D. 过两点有且只有一条直线 6. 如图，如果，且点D在上，那么下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每小题3分，满分36分） 7. 在中，，，则长度的取值范围是________． 8. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝40°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转_______________°. 9. 若不等式组 无解，则的取值范围是___________ 10. 如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=_____． 11. 如图，将一副三角板的一边叠合，图中的大小为________． 12. 如图，直线a、b被直线c所截，如果、、，则___． 13. 如图，已知，如果，，那么________． 14 如图，，平分，平分，如果，那么________． 15. 如图，在中，是的角平分线，是边上的高，如果，，那么________． 16. 在同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的2倍少，那么______°． 17. 如图，，点A、E在直线上，点B，C，D在直线上，如果，是边上的中线，的面积为30，那么的面积是________． 18. 如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么________． 三、解答题（本大题共7题，第19、20、21、22每小题5分，第23、24每题8分，第25题10分，满分46分） 19. 求不等式的解集并在数轴上表示出来． 20. 求不等式组的解集并写出最小负整数解． 21. 按照下列要求画图并填空： 如图，点是的边上的一点， （1）过点作的垂线，交于点； （2）在（1）的基础上作的边上的高，垂足为； （3）线段___________的长度是点到直线的距离； （4）线段这三条线段大小关系是___________（用“<”号连接）． 22. 如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 23. 如图，在中，，点D在上，点E在上，且， （1）如果平分，求的大小； （2）如果与互余，求的大小． 24. 如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． （1）当动点P落在第①部分时，求证：． （2）探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 25. 叠积木是童年时常见的一种益智游戏，能够锻炼我们的手眼协调能力和耐力，如图1，若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们叠起来，我们称这是一个长方体积木组合．显然，一个长方体积木组合可以看作几个长方体积木组合叠在一起，比如图2中的组合可以看作是上面三块长方体积木组合叠在一起的组合叠在下面两块积木的组合之上．对于这样的长方体积木组合，我们进一步给出以下预备知识： 1．一个长方体积木组合重心的水平位置偏移其最下长方体积木重心的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移最下方长方体积木重心的水平距离的平均数． 2．一个长方体积木组合重心的高度等于组合中各个长方体积木重心高度的平均数． 3．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘，就会倒下． 探究问题： （1）取5块长度为10厘米的相同积木，四边对齐叠放． ①如图1，沿平行于积木长边的方向推动最上面的积木（即积木①）而不触碰其它积木，在不倾倒的前提下，如图2，积木①可延伸的最远长度是________厘米． ②如图2，保持积木②和积木①的相对位置不变，按图2中手指方向推动积木①②的组合，那么积木①②组合的最远延伸长度是________厘米． ③在第（2）小题的基础上，保持积木①、②、③的相对位置不变，按图3中手指方向推动积木①②③的组合，求积木①②③的组合的最远延伸长度． （2）如果取n块长度为10厘米的相同积木，按照上述的堆叠方式，设上方的块积木的组合可以延伸的最大长度为y厘米，用含n的代数式表示y． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期七年级期中质量调研 数学学科 （满分：100分 完成时间：90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1. 下列各组条件中，不能组成三角形的是（ ） A. 2，， B. 3厘米，8厘米，10厘米 C. 三条线段之比为 D. 6厘米，6厘米，6厘米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意； B．，能构成三角形，故此选项不合题意； C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了真假命题和逆命题，不等式的性质等知识．写出逆命题，根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； B. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； C. 原命题的逆命题是：若，则，是假命题； D. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； 故选：C 3. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 可能垂直，也有可能平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直的性质和平行线的判定定理进行解答即可得出答案． 【详解】解：根据同一平面内两条直线的位置关系可知， 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 故选A． 【点睛】此题考查了垂直的性质，解题的关键是熟练掌握垂直的性质和平行线的判定定理，是一道基础题． 4. 如图，下列条件可以推出的有（ ） ①； ②； ③； ④． A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理逐项判断即可． 详解】解：由根据内错角相等，两直线平行可得出，①符合题意； 由，根据内错角相等，两直线平行可得，②不符合题意； 由，根据同旁内角互补，两直线平行可得，③不符合题意； 由，根据同旁内角互补，两直线平行可得，④符合题意； 故选：A． 5. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 平行于同一直线的两直线平行 D. 过两点有且只有一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理．利用平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； B、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，符合题意； C、平行于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意； D、过两点有且只有一条直线，正确，是真命题，不符合题意． 故选：B． 6. 如图，如果，且点D在上，那么下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．根据全等三角形的对应角相等，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， 故选项A、B、C正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每小题3分，满分36分） 7. 在中，，，则长度的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，熟知三角形的三边关系是解答的关键．根据三角形的三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 故答案为：． 8. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝40°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转_______________°. 【答案】20 【解析】 【分析】根据同位角相等，两直线平行推出即可． 【详解】如图,旋转到直线b′， ∵∠1=120， ∴∠DAE=180−120=60， ∵∠EAC=20， ∴∠DAC=60−20=40， ∵∠2=40， ∴∠2=∠DAC， ∴直线c∥直线b′， 即当直线b绕点A逆时针旋转20时，直线b与直线c平行， 故答案为20. 【点睛】本题考查的知识点是平行线的判定及旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的判定及旋转的性质. 9. 若不等式组 无解，则的取值范围是___________ 【答案】m≤3 【解析】 【分析】根据不等式的无解的情况即可求解. 【详解】∵不等式组无解， ∴m≤3 【点睛】此题主要考查不等式无解的情况，解题的关键是熟知不等式的解集的定义.. 10. 如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=_____． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义得到∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，则∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，所以∠BOC=90°+∠A，然后把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数． 【详解】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， 而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A， ∴∠BOC=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A， 而∠BOC=110°， ∴90°+∠A=110° ∴∠A=40°． 故答案为40°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 11. 如图，将一副三角板的一边叠合，图中的大小为________． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，由，，再结合三角形的内角和定理解答即可. 【详解】解：如图， 由题意可得：，， ∴， 故答案为： 12. 如图，直线a、b被直线c所截，如果、、，则___． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及邻补角，在图中标注，利用邻补角互补，可求出的度数，结合的度数，可求出的度数，由,利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出的度数． 【详解】解：在图中标注，如图所示． ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：70． 13. 如图，已知，如果，，那么________． 【答案】75 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形的性质得到，再证明，据此利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，，平分，平分，如果，那么________． 【答案】155 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及邻补角，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 利用邻补角互补，可求出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用邻补角互补，即可求出的度数． 【详解】解：∵和互补，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵和互补， ∴． 故答案为：155． 15. 如图，在中，是的角平分线，是边上的高，如果，，那么________． 【答案】15 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，结合垂直的定义根据三角形内角和定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：，，， ， 是的角平分线， ， 是边上的高， ， ， ． 故答案为：15． 16. 在同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的2倍少，那么______°． 【答案】110或30 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线性质，根据平行线的性质可知或，再结合题意得出两个角之间的关系，进而得出答案． 【详解】∵的两边与的两边分别平行， ∴或. ∵比的2倍少， ∴. 当时，， 解得； 当时， ∴， 解得， ∴. 所以或. 故答案为：110或30． 17. 如图，，点A、E在直线上，点B，C，D在直线上，如果，是边上的中线，的面积为30，那么的面积是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积、平行线之间的距离，连接，根据平行线之间的距离处处相等得到，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”分别求出和，再由计算的面积即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：5． 18. 如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，分类讨论是解答本题的关键．分和两种情况求解即可． 【详解】解：当时， ∵，， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴ ∴． 当时， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵ ∴ 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题，第19、20、21、22每小题5分，第23、24每题8分，第25题10分，满分46分） 19. 求不等式的解集并在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 解集在数轴上表示： 20. 求不等式组的解集并写出最小负整数解． 【答案】；最小负整数解为 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴ 由②得：， ∴， ∴， 最小负整数解为； 21. 按照下列要求画图并填空： 如图，点是的边上的一点， （1）过点作的垂线，交于点； （2）在（1）基础上作的边上的高，垂足为； （3）线段___________的长度是点到直线的距离； （4）线段这三条线段大小关系是___________（用“<”号连接）． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）过点P作∠OPC=90°，交OA于C即可； （2）过点P作∠PHO=90°交OA于H即可； （3）根据点到直线的距离定义，可得线段PH的长度是点到直线的距离． （4）垂线段最短的性质可得，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH<PC<OC． 【详解】（1）过点P作∠OPC=90°，交OA于C点，如图所示； （2）过点P作∠PHO=90°交OA于H点，如图所示； （3）根据点到直线的距离定义， 可得线段PH的长度是点到直线的距离． 故答案为：PH （4）根据垂线段最短性质可得 在Rt△PHC中，PC>PH 在Rt△OHP中，OC>PC ∴线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH<PC<OC． 故答案为：PH<PC<OC 【点睛】本题考查了基本作图：过一点作已知直线的垂线，本题还查考了点到直线的距离的定义及垂线段最短的性质． 22. 如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定，垂直的定义，根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解：，（已知）， ，（垂直的定义）， 即、， 又（已知）， （等角的余角相等） ∴（同位角相等，两直线平行）． 23. 如图，在中，，点D在上，点E在上，且， （1）如果平分，求的大小； （2）如果与互余，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了余角与补角． （1）利用平分得到，接着在中，利用三角形内角和定理计算出，根据三角形内角和定理计算出，然后利用三角形外角性质可计算出的度数； （2）先求出，，从而，可得，结合求出，进而可求出的大小． 【小问1详解】 平分（已知） （角平分线的定义） （已知） （等量代换） （三角形的内角和等于） 又（已知） （等最代换） （等式性质） （三角形的内角和笭于） 又（已知） （等是代换） （等式性质） （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） （等式性质） 【小问2详解】 （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），（已知） ∴， ∵（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），， ∴（等量代换）， （等量代换） （等式性质） （已知） （等量代换） （等式性质） ∴ （已知） （等量代换） 24. 如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． （1）当动点P落在第①部分时，求证：． （2）探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）当动点P落在第②部分时，， 当动点P落在第③部分时，， 当动点P落在第⑤部分时，． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． （1）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （2）当动点P落在第②部分时，首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可；当动点P落在第③部分时，过点向右作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补用表示出，用表示出，然后结合图形整理即可得解．当动点P落在第⑤部分时，如图， 过点向右作，则，，进一步解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； 【小问2详解】 解：当动点P落在第②部分时，，理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； 如图，当动点P落在第③部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 如图，当动点P落在第⑤部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 25. 叠积木是童年时常见的一种益智游戏，能够锻炼我们的手眼协调能力和耐力，如图1，若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们叠起来，我们称这是一个长方体积木组合．显然，一个长方体积木组合可以看作几个长方体积木组合叠在一起，比如图2中的组合可以看作是上面三块长方体积木组合叠在一起的组合叠在下面两块积木的组合之上．对于这样的长方体积木组合，我们进一步给出以下预备知识： 1．一个长方体积木组合的重心的水平位置偏移其最下长方体积木重心的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移最下方长方体积木重心的水平距离的平均数． 2．一个长方体积木组合的重心的高度等于组合中各个长方体积木重心高度的平均数． 3．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘，就会倒下． 探究问题： （1）取5块长度为10厘米的相同积木，四边对齐叠放． ①如图1，沿平行于积木长边的方向推动最上面的积木（即积木①）而不触碰其它积木，在不倾倒的前提下，如图2，积木①可延伸的最远长度是________厘米． ②如图2，保持积木②和积木①的相对位置不变，按图2中手指方向推动积木①②的组合，那么积木①②组合的最远延伸长度是________厘米． ③在第（2）小题的基础上，保持积木①、②、③的相对位置不变，按图3中手指方向推动积木①②③的组合，求积木①②③的组合的最远延伸长度． （2）如果取n块长度为10厘米的相同积木，按照上述的堆叠方式，设上方的块积木的组合可以延伸的最大长度为y厘米，用含n的代数式表示y． 【答案】（1）①5；②7.5；③ （2） 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究，列代数式，理解预备知识的说明是解答本题的关键． （1）根据预备知识1列式计算即可； （2）由（1）中的计算发现规律求解即可． 【小问1详解】 设积木的长厘米， ①设积木①重心偏离积木②的重心的距离为，则厘米， 故答案为：5； ②设积木②的重心偏离积木③的重心的距离为， 则， ∴厘米， ∴积木①②组合的最远延伸长度是厘米， 故答案：7.5； ③设积木③的重心偏离积木④的重心的距离为， 则， ∴厘米， ∴积木①②③组合的最远延伸长度是厘米 【小问2详解】 解：由（1）可知： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$