精品解析：上海市青浦区教育学院附属中学2025学年第二学期期中考试七年级数学试卷

青教院附中2025学年第二学期期中考试 七年级数学试卷 2026年4月 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 1. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，对每个选项逐一判断，即可得到正确结果． 【详解】解：对于选项A，∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，∴，不等式两边再同减 ，不等号方向不变，∴ ，选项A变形正确． 对于选项B，∵，不等式两边同乘负数 ，不等号方向改变，∴，选项B变形错误． 对于选项C，由，仅能推出 时，但无法推出，选项C变形错误． 对于选项D，举例：当时，满足，但，因此无法推出，选项D变形错误． 2. 已知一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则被墨迹覆盖的不等式符号是（ ） A. > B. C. < D. ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键，根据一元一次不等式的解法得到，再由题可得，从而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 由图可知，不等式的解集， ∴被墨迹覆盖的不等式符号为：， 故选：B． 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 三角形的三条高交于同一点 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、三角形的三条高是线段，只有三条高所在直线才交于同一点，钝角三角形的三条高本身不相交，∴该命题是假命题，不符合题意； B、根据平面内垂直的基本定理，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴该命题是真命题，符合题意； C、在同一平面内，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，过该点不存在与已知直线平行的直线，∴该命题是假命题，不符合题意； D、只有两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角才互补，题干未说明两条直线平行，∴该命题是假命题，不符合题意； 4. 如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线 与 相交于点 ， ，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由三角形外角的定义及性质得出，再由平行线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵ ， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分） 5. “a的3倍与12的差是一个非负数”用不等式表示为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出不等式即可． 【详解】根据题意，得． 故答案为． 【点睛】本题考查列不等式，读懂题意，抓住关键词语，是解题关键． 6. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行解不等式即可； 【详解】∵， ∴， ∴，即． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了不等式的求解，准确分析师解题的关键． 7. 不等式的最大整数解是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解题的关键．按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最大整数解是2． 故答案为：2． 8. 要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ________． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】只需找出满足题设，但不满足结论的 的值即可解题． 【详解】解： 当 时， ，但不满足，因此 可作为该假命题的反例． 故答案为 （答案不唯一）． 9. 小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少_______岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查列不等式的应用．设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的，根据题意列不等式，求解即可． 【详解】解：设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的， 根据题意，得 ， 解得， 答：小海至少17岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 故答案为：17． 10. “数学王子”高斯是世界最著名的数学家之一，“高斯函数”，便是以其名字命名，即表示不大于 的最大整数，例如，，根据“高斯函数”，若，则 的取值范围为 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据定义得出的范围，再解不等式组即可． 【详解】解：由的意义可得，， 解得：， 故答案为：． 11. 关于 的不等式组有两个整数解，那么 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于 的不等式组，进而可求得 的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， ∵关于 的不等式组有两个整数解， ∴这两个整数解为 ， ， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 长为 10，7，5，3 的四根木条，选其中三根组成三角形，有 种选法． 【答案】2 【解析】 【分析】首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】每三根组合，有10，7，5；10，7，3；10，5，3；7，5，3四种情况. 根据三角形的三边关系，得其中的10，7，3；10，5，3不能组成三角形. 能够组成三角形的有2种选法，它们分别是10，7，5；7，5，3. 故答案为2. 【点睛】考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键. 13. 中，，则________． 【答案】 ##60度 【解析】 【分析】本题利用三角形内角和定理，结合题干给出的与的数量关系，列方程求解的度数． 【详解】解：根据三角形内角和定理可得. ， 将代入上式得， 整理得， 解得 ． 14. 如图，的同位角是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图可知，的同位角是． 15. 如图，在条件：① ，② ，③，④中能判定 的条件有_____．（填序号） 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．利用平行线的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：①∵ ，∴ （内错角相等，两直线平行），无法判定 ，故①不符合题意； ②∵ ，∴ （内错角相等，两直线平行），故②符合题意； ③∵，∴ （同旁内角互补，两直线平行），无法判定 ，故③不符合题意； ④∵，∴ （同位角相等，两直线平行），故④符合题意； 综上，能判定 的条件有②④， 故答案为：②④． 16. 凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 的光线交于点 ，点 为焦点，若 ，，则的度数是______． 【答案】##155度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，根据三角形的外角性质求得，再根据平行线的性质求得的度数． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，直线 ， 是直角三角形， ，点C在直线n上．若，则 的度数是_______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质等．延长 交直线n于点D，根据平行线的性质求出，再根据三角形的外角性质解答即可． 【详解】解：延长 交直线n于点D，如图所示． ∵ ， ∴． 在 中，． 故答案为：． 18. 如图， 在线段 的延长线上，， ，，连 交 于 ，的余角比大， 为线段 上一点，连 ，使，在内部有射线，平分，则下列结论：① ；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确的结论是（填序号）______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．根据平行线的判定定理得到 ，故①正确；由平行线的性质得到 ，等量代换得到 ，求得平分 ；故②正确；根据题意列方程得到 ，故③正确；设 ， ，得到 根据角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解： ， ， ， ，故①正确； ， ， ， 平分 ；故②正确； 的余角比 大， ， ， ， ，故③正确； 设 ， ， ， 平分 ， ， 平分 ， ， ， ， ， ，故④错误， 故答案为：①②③ 三、简答题（本大题共8题，满分50分） 19. 解不等式组：， 并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，图形见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．先分别求解两个不等式，再求公共解，并在数轴上表示解集． 【详解】解：由①得，， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以 ，得， 由②去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以 ，得， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 20. 如图， 已知， 根据下列要求画图并回答问题： （1）画边 上的高 ； （2）边 上有一点E， 连接AE，如果那么线段 是 的 ； (填“高”、 “中线”或“角平分线”) （3）在（1）（2）的条件下， 如果，那么 【答案】（1）见解析； （2）中线； （3） ． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）由题意可得则线段 是 的中线； （3）由题意可得，则进而可得， ， 则 【小问1详解】 解：以点 为圆心， 长为半径作圆，交 于点 ，再以为圆心，大于长为半径作圆交于点 ，连接 交 于点 ， 即为所求边 上的高，如图： 【小问2详解】 解：如图： ∴线段 是 的中线， 故答案为：中线． 【小问3详解】 解：， ， 故答案为： ． 21. 已知关于 、 的二元一次方程组，若这个方程组的解x、y均为负数，求 的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先利用加减消元法解方程组，得到用含 的代数式表示的 和 ，再根据方程组的解是负数得到关于 的不等式组，解不等式组即可得到 的取值范围． 【详解】解：， ②得 ， ① ③得 ， 解得， ① 得 ， ④ ②得 ， 解得， ∵这个方程组的解x、y均为负数， ∴， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴ 的取值范围是． 22. 三条线段的长度分别为 、 、 ，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （1） 、 、 只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①； ②； ③ ． （2）若，， 为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】（1）② （2）构成三角形的周长为13或14 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴①和③ 不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵ 为整数， ∴或 ， 当时，三角形的周长为； 当 时，三角形的周长为． 23. 如图，直线 ， 相交于点O， 平分 ， ． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后根据垂直定义可得，从而利用平角的定义进行计算，即可解答； （2）根据已知可设，则，根据角平分线的定义可得，从而利用平角定义进行计算可得，然后根据垂直定义可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵ 平分 ，且， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则， ∵ 平分 ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 24. 如图，已知点E、F在直线 上，点N在线段 上， 与交于点M，． （1）求证： ； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键： （1）由，推出，进而推出，即可得证； （2）根据平行线性质，角的和差关系，以及对顶角相等，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 ∵， ， ∴，， ∴， ∴． 25. 某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆 分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆 分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆 分钟） 25 22 19 16 13 并发现时间和交通量的变化规律符合如下特征：和． 如图，小毛希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东．理由如下： ∵，， ∴． 当时，即，解得； 当时，即，解得． ∴在18时至20时，自西向东方向拥堵，需要将可变车道的方向设置为自西向东； 在8时到9时，自东向西方向拥堵，需要将可变车道的方向设置为自东向西． 【解析】 【分析】先求出，分，两种情况讨论，求出对应 的取值范围即可解答． 【详解】略 26. 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究 与之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺放置在 上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3， 平分， 平分 ，若，，求 的度数． 【答案】（1）解：，理由是： 过点A、D作射线 ， ∵， ∴， 即； （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）作射线 ，根据三角形的外角的性质可得结论：； （2）①先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论； ②先根据（1）的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， 由（1）知：， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵ 平分平分 ， ∴， ∴， ∴． 四、综合题 27. 如图，学校饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为 ，流速为 ；开水的温度为 ，流速为 ，整个接水的过程不计热量损失． 科学常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积 开水降低的温度 温水的体积 温水升高的温度． 【情境理解】 （1）若小毛同学用空杯接了 秒的温水，又接了 秒的开水，接完水后杯子中有________ ； （2）若小毛同学用空杯接了 秒的温水，又接了 秒的开水，得到一杯 的水，根据科学常识，则一定有等式：______________； 【情境运用】 （3）小天同学用空杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯 温度为 的水（不计热损失），求该同学分别接温水和开水的时间； （4）小天同学计划花秒在空杯中先接温水再接开水，得到一杯不少于 的水，他至少要接温水多少秒？此时他得到的水为多少 ？ 【答案】（1） ； （2）； （3） ，； （4） ， ． 【解析】 【分析】用温水的速度乘以 加上开水的速度乘以 ，即可求解； 由“开水的体积 开水降低的温度 温水的体积 温水升高的温度”，即可列出等式； 设小天同学接温水的时间为 ，接开水的时间为 ，根据题意列出方程组，即可求解； 设小天同学接开水的时间为 ，根据题意列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：接完水后杯子中有， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：由“开水的体积 开水降低的温度 温水的体积 温水升高的温度”， 则， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设小天同学接温水的时间为 ，接开水的时间为 ， 根据题意得， 解得， 答：小天同学接温水的时间为 ，接开水的时间为； 【小问4详解】 解：设小天同学接温水的时间为 ，则接开水的时间为 ， 根据题意得 ， 解得 ， ∴他至少要接温水 秒，接开水 ， 设此时他得到的水为 ， 根据题意得， 解得 ， 答：他至少要接温水 秒？此时他得到的水为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青教院附中2025学年第二学期期中考试 七年级数学试卷 2026年4月 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 1. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 2. 已知一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则被墨迹覆盖的不等式符号是（ ） A. > B. C. < D. ≤ 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 三角形的三条高交于同一点 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 4. 如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线 与 相交于点 ， ，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分） 5. “a的3倍与12的差是一个非负数”用不等式表示为______ 6. 不等式的解集为________． 7. 不等式的最大整数解是______． 8. 要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ________． 9. 小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少_______岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 10. “数学王子”高斯是世界最著名的数学家之一，“高斯函数”，便是以其名字命名，即表示不大于 的最大整数，例如，，根据“高斯函数”，若，则 的取值范围为 ____________． 11. 关于 的不等式组有两个整数解，那么 的取值范围是___________． 12. 长为 10，7，5，3 的四根木条，选其中三根组成三角形，有 种选法． 13. 中，，则________． 14. 如图，的同位角是________． 15. 如图，在条件：① ，② ，③，④中能判定 的条件有_____．（填序号） 16. 凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 的光线交于点 ，点 为焦点，若 ，，则的度数是______． 17. 如图，直线 ， 是直角三角形， ，点C在直线n上．若，则 的度数是_______． 18. 如图， 在线段 的延长线上，， ，，连 交 于 ，的余角比大， 为线段 上一点，连 ，使，在内部有射线，平分，则下列结论：① ；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确的结论是（填序号）______． 三、简答题（本大题共8题，满分50分） 19. 解不等式组：， 并把它们的解集在数轴上表示出来． 20. 如图， 已知， 根据下列要求画图并回答问题： （1）画边 上的高 ； （2）边 上有一点E， 连接AE，如果那么线段 是 的 ； (填“高”、 “中线”或“角平分线”) （3）在（1）（2）的条件下， 如果，那么 21. 已知关于 、 的二元一次方程组，若这个方程组的解x、y均为负数，求 的取值范围． 22. 三条线段的长度分别为 、 、 ，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （1） 、 、 只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①； ②； ③ ． （2）若，， 为整数，求构成的三角形的周长． 23. 如图，直线 ， 相交于点O， 平分 ， ． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 24. 如图，已知点E、F在直线 上，点N在线段 上， 与交于点M，． （1）求证： ； （2）若，求的度数． 25. 某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆 分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆 分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆 分钟） 25 22 19 16 13 并发现时间和交通量的变化规律符合如下特征：和． 如图，小毛希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 26. 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究 与之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺放置在 上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3， 平分， 平分 ，若，，求 的度数． 四、综合题 27. 如图，学校饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为 ，流速为 ；开水的温度为 ，流速为 ，整个接水的过程不计热量损失． 科学常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积 开水降低的温度 温水的体积 温水升高的温度． 【情境理解】 （1）若小毛同学用空杯接了 秒的温水，又接了 秒的开水，接完水后杯子中有________ ； （2）若小毛同学用空杯接了 秒的温水，又接了 秒的开水，得到一杯 的水，根据科学常识，则一定有等式：______________； 【情境运用】 （3）小天同学用空杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯 温度为 的水（不计热损失），求该同学分别接温水和开水的时间； （4）小天同学计划花秒在空杯中先接温水再接开水，得到一杯不少于 的水，他至少要接温水多少秒？此时他得到的水为多少 ？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $