精品解析：广东佛山市南海区桂城街道灯湖初级中学2025-2026学年度第二学期七年级第二次学情调查数学科调研卷

2025-2026学年度第二学期七年级第二次学情调查数学科调研卷 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过0.00003厘米，其中0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，那么需要补的角的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面四个图中，线段是的高线的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的口袋里，装有除颜色外都相同的红球、白球共15个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中红球个数是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 6. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，下列条件中，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 10. 为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点 是等边三角形内的任意一点，过点 向等边三角形作垂线，垂足分别为．其中，已知长度为2，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分．共15分． 11. 已知，，求的值为________． 12. 如图是某古城墙的一角，因无法直接测量墙角的度数，某人设计了如下测量方案：作的延长线，量出 的度数，即为的度数．这个测量方案的数学依据是________． 13. 如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样，假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次，则飞镖击中白色区域的概率是______． 14. 已知展开的结果中不含项，则m的值为_____． 15. 已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 先化简再求值：．其中 ， ． 18. 中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． （1）小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． （2）求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 四、解答题（二），本大题共3小题，每小题9分．共27分． 19. 如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． （1）在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． （2）小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 20. 如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离 ；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． （1）求证：； （2）求的长． 21. 如图，两个形状大小相同的长方形和长方形，点在边上，， ． （1）的面积大小为______，的面积大小为______． （2）用含，，的代数式表示图中阴影部分的面积． （3）当， ．求图中阴影部分的面积． 五、解答题（三）本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. “一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯 射线自 顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若A转动的速度是 /秒．B转动的速度是/秒，假定主道路是平行的，即，且 （1）填空______． （2）若灯B先转动30秒，灯A才开始转动，在灯B到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束第一次互相平行？ （3）如图2，两灯同时转动，在灯A到达之前，若射出的光束交于点，过作 交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 23. 如图，为等腰直角三角形，，，点D为平面内一点，连接． （1）如图1．当点D在边上运动时，过点C在右侧作 ，且，连接 ，求证： ； （2）如图2，当点D在 内部，且，以为直角边，在右侧作等腰直角三角形 ．且 ．延长交于F，证明：F为线段的中点； （3）如图3，若点D为中点，连接，过点B作的平行线，E为上一动点，以 为直角边，在线段 左侧作 ， ，交于G，连接，，当线段最短时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期七年级第二次学情调查数学科调研卷 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过0.00003厘米，其中0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：． 故：C． 2. 如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，那么需要补的角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：由题意知， 因为， 所以需要补的角的度数是． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方． 根据积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：≠，故A选项错误； ≠，故B选项错误； ≠，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选：D． 4. 下面四个图中，线段是的高线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】三角形高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，选项A中线段是的高线． 5. 在一个不透明的口袋里，装有除颜色外都相同的红球、白球共15个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中红球个数是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】多次试验后频率的稳定值可近似为事件发生的概率，再用总数量乘概率即可得到红球的估计个数. 【详解】解：∵多次摸球试验后，摸到红球的频率稳定在， ∴估计摸到红球的概率为 ， 又∵口袋中红球和白球总共有个， ∴估计袋中红球个数为. 6. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知：，， ， ． 故选：A． 7. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可求得的度数，再利用互余关系即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行，即，如图， ∴ ， ∵直角三角尺的直角为 ， ∴， ∴． 8. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特征，即两个因式相乘时，有一项相同，另一项互为相反数，依次判断各选项即可． 【详解】解：∵选项A中，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构，排除A； ∵选项B中，符合平方差公式结构； ∵选项C中，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构，排除C； ∵ 选项D中，两项都相同，不符合平方差公式结构，排除D． 9. 如图，下列条件中，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键． 根据平行线的判定知识逐项判断即可． 【详解】解：A、 ，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； B、，则（同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； C、，则 ，不能证明，故符合题意； D、，而，故 ，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； 故选：C． 10. 为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形作垂线，垂足分别为．其中，已知长度为2，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，当点P是的三边的垂直平分线的交点时，则，由三线合一定理和等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 当点P是的三边的垂直平分线的交点时，则， 又∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分．共15分． 11. 已知，，求的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 12. 如图是某古城墙的一角，因无法直接测量墙角的度数，某人设计了如下测量方案：作的延长线，量出 的度数，即为的度数．这个测量方案的数学依据是________． 【答案】对顶角相等 【解析】 【详解】解：∵ 与是对顶角， ∴量出的度数，即可得到 的度数． 因此，这个测量方案的依据是：对顶角相等． 13. 如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样，假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次，则飞镖击中白色区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据网格结构计算出大正方形的总面积，再计算出白色区域（四个直角三角形）的面积，最后计算白色区域面积与总面积的比值即可． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为， 则大正方形的总面积为  观察图形可知，白色区域分布在四个角，由个全等的直角三角形组成，每个直角三角形的两条直角边长分别为和，  白色区域的面积为   故飞镖击中白色区域的概率为． 14. 已知展开的结果中不含项，则m的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．观察题中乘式，可先将其展开；根据整式的乘法运算法则可将原式化简为；接下来根据展开后的多项式中不含项，则展开后的多项式中项的系数为0，由此即可解答本题． 【详解】解：， ∵展开的结果中不含项， ∴，解得：， 故答案为：2． 15. 已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 先化简再求值：．其中， ． 【答案】 ； 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和整式乘法法则展开原式，合并同类项化简后，再代入x和y的值计算结果． 【详解】解： ， 当， 时，原式． 18. 中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． （1）小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． （2）求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）②； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，可得只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA； （2）分别作，即可求解． 【小问1详解】 解：因为只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 所以小张只要从两块碎片中选择第②块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是 【小问2详解】 如图所示：为所求 四、解答题（二），本大题共3小题，每小题9分．共27分． 19. 如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． （1）在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． （2）小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】（1） （2）小颖的观点是对的，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字9的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7） （转出红色）， 小颖的观点是对的． 20. 如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离 ；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到 的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）利用余角的性质即可证明； （2）易得，则有，由即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：由题意知，秋千的绳长不变，即， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：的长为 ． 21. 如图，两个形状大小相同的长方形和长方形，点在边上，， ． （1）的面积大小为______，的面积大小为______． （2）用含，，的代数式表示图中阴影部分的面积． （3）当， ．求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）， （2） （3）20 【解析】 【分析】本题考查列代数式以及整式乘法的应用．正确的识图，得到图形的边长，是解题的关键． （1）利用三角形的面积公式进行计算，列出代数式即可； （2）延长，交于，利用割补法求出阴影部分的面积，利用整体思想代入代数式，求解即可； （3）对进行因式分解，将， 代入求值即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解： 如图，延长，交于， ， ∴； ∴阴影部分的面积用代数式表示为：； 【小问3详解】 解：当， 时，． 五、解答题（三）本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. “一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯 射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若A转动的速度是 /秒．B转动的速度是/秒，假定主道路是平行的，即，且 （1）填空______． （2）若灯B先转动30秒，灯A才开始转动，在灯B到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束第一次互相平行？ （3）如图2，两灯同时转动，在灯A到达之前，若射出的光束交于点 ，过 作 交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】（1） （2）秒时，两灯的光束互相平行 （3）和关系不会变化，理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ， ， 又， ， ∵ ， ， ， ∴和关系不会变化． 【解析】 【分析】（1）根据，，即可得到的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，得出，即可列出，可得； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【小问1详解】 解：， ， ∵， ； 【小问2详解】 解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ， ， ， ， ， ， 解得， 答：当秒时，两灯的光束互相平行； 【小问3详解】 略 23. 如图，为等腰直角三角形， ，，点D为平面内一点，连接． （1）如图1．当点D在边上运动时，过点C在右侧作 ，且，连接，求证： ； （2）如图2，当点D在内部，且，以为直角边，在右侧作等腰直角三角形 ．且 ．延长交于F，证明：F为线段的中点； （3）如图3，若点D为中点，连接，过点B作的平行线，E为上一动点，以为直角边，在线段左侧作 ， ，交于G，连接，，当线段最短时，求的值． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：如图2，连接，过点A作 ，交的延长线于点H， ∵是等腰直角三角形，且 ， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴， ∴， ∴为线段的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用即可证明 ； （2）连接，过点A作 ，交的延长线于点H，证明，得到， ，则可证明 ，证明 是等腰直角三角形，得到 ， ，则可证明，推出，则为线段的中点； （3）证明，得到 ，证明 ，当 时，最短，证明是等腰直角三角形；延长 交于点O，过点O作 交于点M，连接 ，证明是等腰直角三角形，得到，则，证明，得到 ；证明，得到 ；过点C作 交 的延长线于点N，证明 ，得到，则可证明 ；再证明，得到 ，则 ，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵在中， ，， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵， ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴点F在射线上运动， ∴当 时，最短， 如图所示，当 时，则是等腰直角三角形， ∴， ， ， ∴ ， 如图所示，延长 交于点O，过点O作 交于点M，连接 ， ∵点D为的中点，， ∴ ，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴，， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴， ∴ ， 如图所示，过点C作 交 的延长线于点N， 同理可证明 ， ∴， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $