2025-2026学年人教版八年级下册数学期末复习必刷题

**基本信息** 以几何直观、空间观念和数据意识为核心，整合勾股定理、四边形、一次函数及统计等模块，通过动态几何、最值问题及实际应用题型构建知识网络。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|单选4/8/9/10、填空13/16、解答23/24|动态几何、最值问题、图形变换|从基本图形性质（平行四边形、菱形等）到动态变化与最值求解，体现空间观念| |代数与函数|单选3/5、填空11/14、解答17/18/22|二次根式化简、一次函数应用|从概念（二次根式性质）到模型构建（函数表达式），培养模型意识| |统计与应用|单选2/6、填空15、解答20/21|图表分析、实际测量方案|从数据整理到统计量计算，结合实际情境发展数据意识|

2025-2026学年人教版八年级下册数学期末复习必刷题 一、单选题 1．在中，的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C． D． 2．一组数据，，，，若添加一个数，则不会发生变化的统计量为（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 3．如图，已知实数，在数轴上表示的点分别为，，化简的结果为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，为上一点，、分别平分、．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 5．学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下： 水温（） 22 40 56 70 82 …… 时间（时：分） 12:03 12:08 12:13 12:18 12:23 …… 请你帮小俊推算水烧开（）的时间预计为（ ） A．12:30 B．12:33 C．12:35 D．12:38 6．甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图． 根据图中信息，下列结论正确的是（     ） A．甲的跳绳成绩总是高于乙 B．甲的跳绳成绩的众数为184 C．甲的跳绳成绩的中位数小于乙 D．甲的跳绳成绩的方差小于乙 7．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是正方形，边长为3，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，点D在上，且点坐标为，P是上一动点，则的最小值为（     ） A． B．10 C．13 D． 9．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 10．如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在轴上，点在第二象限，将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图像如图所示，下列结论错误的是（     ） A．点的坐标为 B．的面积为8 C．边所在直线的表达式为 D．点坐标为 二、填空题 11．化简的结果为__________． 12．_____． 13．如图，在四边形中，，连接对角线，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为__________． 14．小琳选中某通讯公司的极速流量包．已知每月的流量费用（单位：元）与所用流量（单位：）的函数关系如图所示，则超过套餐内流量（）后，每流量的费用____________元． 15．某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了12位同学，得到如下数据．则这12位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是______小时． 时长/小时 6 7 8 9 10 人数 2 1 5 3 16．如图，在菱形中，，，点是菱形内或边上的一点，且，连接，，则面积的最小值为________． 三、解答题 17．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 18．如图，圆锥的底面半径是，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)如果圆锥的高为h（单位：），那么圆锥的体积V（单位：）如何表示？ (3)当圆锥的高由变化到时，它的体积是如何变化的？ 19．小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 20．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 21．某中学为了锻炼同学们的身体素质，加强班级的凝聚力和同学们的集体荣誉感，举行了“跑操比赛”．为了解本次比赛情况，将七年级和八年级各七个班的成绩进行调查分析，给出如下信息： 信息一：将成绩（满分100分，成绩均为整数）进行整理，并分别将七年级和八年级前六个班的成绩绘制成如下所示不完整的统计图表； 八年级前六个班“跑操比赛”成绩统计表 班级 一班 二班 三班 四班 五班 六班 成绩（分） 90 89 89 93 90 a 信息二： 七年级前六个班成绩的众数是唯一的，且六班的成绩与其他班中某班的成绩相同； 八年级前六个班成绩的平均数与七年级前六个班成绩的平均数相同． 根据以上信息解答问题： (1)求a的值，并补全条形统计图； (2)将“七年级七班”和“八年级七班”的成绩与前六个班的成绩汇总，发现七年级和八年级成绩的中位数一样，求“八年级七班”成绩的最小值． 22．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 23．在中，，点是线段上的一点，连接． (1)如图1，，是的角平分线，于点． ①当时，求的长； ②若的中线交于点，判断与的关系，并说明理由； (2)如图2，若，点是上的一点，且，连接交于点，求的度数． 24．如图，在矩形中，，．点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，过点作于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．设点运动的时间为秒，与矩形重叠部分的图形面积为． (1)当点与点重合时，________． (2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级下册数学期末复习必刷题 一、单选题 1．在中，的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，结合条件逐项判断即可得到结果． 【详解】解：对于A选项，∵， ，， ∴，是直角三角形，故A不符合题意； 对于B选项，∵， ∴， ∴是直角三角形，故B不符合题意； 对于C选项，∵，， ∴最大角， ∴是直角三角形，故C不符合题意； 对于D选项，∵，， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D符合题意． 2．一组数据，，，，若添加一个数，则不会发生变化的统计量为（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】分别计算添加数据前后各统计量的值，对比即可得到不发生变化的统计量． 【详解】解：∵原数据为，，，，共个数据 ∴原平均数为，众数为，中位数为，方差为， ∵添加数据后，新数据为，，，，，共个数据， ∴新平均数，，平均数发生变化， 新数据中出现次数最多，众数为，众数不发生变化， 新中位数为从小到大排列的第个数，故中位数是，，中位数发生变化， 方差为，，方差发生变化， 不发生变化的统计量是众数． 3．如图，已知实数，在数轴上表示的点分别为，，化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴原式． 4．如图，在中，为上一点，、分别平分、．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质推出，由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理求出，由平行线的性质和角平分线的定义得到，推出，同理，由平行四边形的性质推出，，得到，由题意得不到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ． 、分别平分、， ，， ， ． 故D不符合题意； 平分， ． ， ， ， ， 同理：． 故A不符合题意， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 故B不符合题意； 由题意得不到， 故C符合题意． 5．学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下： 水温（） 22 40 56 70 82 …… 时间（时：分） 12:03 12:08 12:13 12:18 12:23 …… 请你帮小俊推算水烧开（）的时间预计为（ ） A．12:30 B．12:33 C．12:35 D．12:38 【答案】B 【分析】先找出水温随时间的变化规律，再根据规律计算得到水烧开的时间． 【详解】由表格可得，时间每经过5分钟，水温升高量比前一个5分钟少， ∵ ，，，，符合上述规律， ∴ 到，水温升高，此时水温为， ∴ 到，水温升高，此时水温为，达到水烧开温度， ∴水烧开时间为． 6．甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图． 根据图中信息，下列结论正确的是（     ） A．甲的跳绳成绩总是高于乙 B．甲的跳绳成绩的众数为184 C．甲的跳绳成绩的中位数小于乙 D．甲的跳绳成绩的方差小于乙 【答案】D 【分析】根据折线统计图读取甲、乙两人的成绩数据，分别计算或观察众数、中位数及波动情况（方差）进行判断即可． 【详解】解：由图可知，甲的成绩为：；乙的成绩为：； 对于A，第3天甲的成绩小于乙的成绩，故A错误； 对于B，甲的成绩中出现了2次，出现次数最多，众数是，故B错误； 对于C，甲的成绩从小到大排列为，中位数为； 乙的成绩从小到大排列为，中位数为； ， 甲的中位数大于乙，故C错误； 对于D，甲成绩的波动范围比乙成绩的波动范围小，故甲的跳绳成绩的方差小于乙，故D正确． 7．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 8．如图，四边形是正方形，边长为3，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，点D在上，且点坐标为，P是上一动点，则的最小值为（     ） A． B．10 C．13 D． 【答案】D 【分析】连接，连接交于点，由正方形的性质可得点、点关于对称，，，则，从而可得当点、、在同一直线上时，的值最小，为，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，连接交于点， ∵四边形是正方形，边长为3，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上， ∴点、点关于对称，，， ∴， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小，为， ∵点坐标为， ∴， ∴， ∴的最小值为． 9．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 10．如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在轴上，点在第二象限，将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图像如图所示，下列结论错误的是（     ） A．点的坐标为 B．的面积为8 C．边所在直线的表达式为 D．点坐标为 【答案】D 【分析】根据直线平移规律和函数图像特征，确定时直线经过点，求得点坐标；根据图像对称性及时，确定三角形边长及点、坐标；分别计算三角形面积、直线解析式及时的线段长，从而判断各选项正误． 【详解】解：令直线中，得，即直线与轴交点为， 直线沿轴负方向以每秒1个单位长度平移， 平移秒后直线解析式为， 由图2可知，当时，，直线经过点， ， 解得， ∴点横坐标为1，即，故选项A正确，不符合题意； 由图2可知，当时，达到最大值，当时，， 直线从经过点到经过点用时秒， ， 为等腰直角三角形，在轴上， ，， ，故选项B正确，不符合题意； ，，点在点左侧， ， ，，点在第二象限， ， 设直线解析式为，将，代入得 ， 解得， 直线解析式为，故选项C正确，不符合题意； 当时，直线解析式为，此时直线经过点， 联立， 解得， 直线与交点为， 如图，过点作轴于，则， ， 点坐标为，故选项D错误，符合题意． 二、填空题 11．化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键． 将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可． 【详解】原式 ． 故答案为 12．_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及运用完全平方公式进行计算，将根号内的被开方数配成完全平方形式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 13．如图，在四边形中，，连接对角线，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为__________． 【答案】5 【分析】取的中点M，连接，根据三角形中位线的判定与性质求出，推导出是的垂直平分线，得到，求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：取的中点M，连接，如图 ∵点为的中点，点为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 14．小琳选中某通讯公司的极速流量包．已知每月的流量费用（单位：元）与所用流量（单位：）的函数关系如图所示，则超过套餐内流量（）后，每流量的费用____________元． 【答案】 【分析】观察函数图象，找出超过套餐流量后的起始点和终止点坐标，利用费用变化量除以流量变化量即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，当所用流量为时，费用为元，当所用流量为时，费用为元， 则超过套餐内流量后，每流量的费用为：（元）． 15．某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了12位同学，得到如下数据．则这12位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是______小时． 时长/小时 6 7 8 9 10 人数 2 1 5 3 【答案】8 【分析】先根据总人数求出时长为10小时对应的人数，再根据平均数的计算公式计算即可 【详解】解：由题意得，总人数为，时长为10小时的人数为 ， 这位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是：（小时） 16．如图，在菱形中，，，点是菱形内或边上的一点，且，连接，，则面积的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据菱形对边平行、平行线的性质，推出， ，求得．确定当是等腰直角三角形时，到的距离最大，再用等腰直角三角形的性质求出到的距离，从而求得的最小值． 【详解】解：四边形是菱形， ， 当面积最小时，到的距离最小，即到的距离最大 当是等腰直角三角形时，到的距离最大 点在边上，且 如图，过作于点，于点 到的距离 面积的最小值为：． 三、解答题 17．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 18．如图，圆锥的底面半径是，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)如果圆锥的高为h（单位：），那么圆锥的体积V（单位：）如何表示？ (3)当圆锥的高由变化到时，它的体积是如何变化的？ 【答案】(1)自变量是圆锥的高，因变量是圆锥的体积 (2) (3)圆锥的体积由逐渐增大到 【分析】（1）在变化过程中，主动变化的量是自变量，随着主动变量变化而变化的量是因变量； 这里圆锥的高主动变化，体积随高的变化而变化，因此： 自变量是圆锥的高，因变量是圆锥的体积． （2）根据圆锥体积公式为求解即可． （3）算出当，时，的值，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵底面半径， ∴ （3）解：由可知，系数，随 的增大而增大， 当时，； 当时，， 因此：圆锥的体积由逐渐增大到． 19．小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 或 【分析】（1）根据题意，得解答即可． （2）根据所学方法求解即可； （3）利用完全平方公式，等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 且，故，． （2）解：根据题意，得 ， 故； （3）解：， ， 或， 或， 故或． 20．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 21．某中学为了锻炼同学们的身体素质，加强班级的凝聚力和同学们的集体荣誉感，举行了“跑操比赛”．为了解本次比赛情况，将七年级和八年级各七个班的成绩进行调查分析，给出如下信息： 信息一：将成绩（满分100分，成绩均为整数）进行整理，并分别将七年级和八年级前六个班的成绩绘制成如下所示不完整的统计图表； 八年级前六个班“跑操比赛”成绩统计表 班级 一班 二班 三班 四班 五班 六班 成绩（分） 90 89 89 93 90 a 信息二： 七年级前六个班成绩的众数是唯一的，且六班的成绩与其他班中某班的成绩相同； 八年级前六个班成绩的平均数与七年级前六个班成绩的平均数相同． 根据以上信息解答问题： (1)求a的值，并补全条形统计图； (2)将“七年级七班”和“八年级七班”的成绩与前六个班的成绩汇总，发现七年级和八年级成绩的中位数一样，求“八年级七班”成绩的最小值． 【答案】(1)89，补全条形统计图如图 (2)90分 【分析】（1）根据七年级前六个班成绩的众数是唯一的可求出七年级六班的成绩为95分，进而可补全条形统计图；根据八年级前六个班成绩的平均数与七年级前六个班成绩的平均数相同可知八年级前六个班的总分是，进而可求出a的值； （2）先求出七年级的中位数一定不小于90，设八年级七班成绩为y，分和两种情况讨论可得答案． 【详解】（1）解：∵七年级前六个班成绩的众数是唯一的，且六班的成绩与其他班中某班的成绩相同， ∴七年级六班的成绩为95分， ∴七年级前六个班成绩的平均数为（分）， ∵八年级前六个班成绩的平均数与七年级前六个班成绩的平均数相同， ∴八年级前六个班成绩的平均数为90分， ∴． 补全条形统计图略； （2）解：对于七年级：前六个成绩排序为80，85，90，95，95，95，无论加入七年级七班的成绩是多少，最多只有3个成绩不大于89，因此七年级的中位数一定不小于90． 对于八年级：前六个成绩排序为89，89，89，90，90，93， 设八年级七班成绩为y： 若，排序后第4个数据为89，，不可能与七年级中位数相等，不符合要求； 若，排序后为89，89，89，90，90，90，93，第4个数据为90，此时七年级可以取中位数为90（例如七年级七班成绩时，中位数就是90），符合要求． 因此八年级七班成绩的最小值为90． 22．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）先利用求出A，B两点的坐标，然后根据点B的坐标求出的函数解析式，最后求出点C的坐标即可求解； （2）先利用函数图象平移的规律，求出平移后直线的解析式以及点M的坐标，根据求解即可； （3）由于是定值，只要满足最小即可．先作点A关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点Q，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得，所以点B的坐标为． 把代入，得，所以点A的坐标为． 把代入，得，即． 把代入，得，所以点C的坐标为． 所以线段； （2）解： 设平移后的直线与y轴交于点D，则由题意可知 直线的解析式为． 把，联立，得    解得 所以点M的坐标为． 如图1，连接，过点M作，垂足为H，则 ； （3）解：存在，，理由： 如图2，作点A关于直线的对称点，连接，与直线交于点Q， 由对称性知，周长，即此时周长最小． 故点Q满足使周长最小． 由题意可知点的坐标为． 设直线的解析式为， 把点，代入，得   解得 所以直线的解析式为． 把代入，得 ． 所以点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、用待定系数法求函数的解析式、平移、轴对称等．熟练掌握在坐标系中如何求线段的长度以及图形的面积的方法；熟悉常见的最值模型是解决问题的关键． 23．在中，，点是线段上的一点，连接． (1)如图1，，是的角平分线，于点． ①当时，求的长； ②若的中线交于点，判断与的关系，并说明理由； (2)如图2，若，点是上的一点，且，连接交于点，求的度数． 【答案】(1)① ②且，理由如下： 如图， 为等腰直角的中线， ， ， ，即， 则， 由①知，，， 则， ， ， ， 即且； (2) 【分析】（1）①利用角平分线的性质得出，结合等腰直角三角形 的边长关系求出，进而求出的长；②利用等腰直角三角形“三线合一”性质证明，从而得出；再通过证明为等腰三角形得出； （2）过点作，使，连接，，通过构造平行四边形，证，将分散的线段和角度集中，证明为等腰直角三角形，利用平行线的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：①设， 是的角平分线，， ，， 在等腰直角三角形中，， 即，则， 则； ②略 （2）如图，过点作，使，连接，， 则四边形为平行四边形， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即， 又， 为等腰直角三角形，， ， ． 24．如图，在矩形中，，．点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，过点作于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．设点运动的时间为秒，与矩形重叠部分的图形面积为． (1)当点与点重合时，________． (2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)4 (2)． 【分析】（1）求得，据此计算即可求解； （2）分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 点与点重合时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在上时，此时， ∴； 当点在上且点未到点时，此时， ∴； 当点在上且点超过点时，此时， ，设交于点， ； 综上，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $