2025-2026学年八年级数学下册期末考试高频重难点易错题检测卷一（北师大版）

**基本信息** 聚焦八年级下册期末高频重难点，通过易错题整合图形性质、代数运算与几何变换，系统提炼解题方法，强化知识逻辑与核心素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-2题|图形对称判定、因式分解密码编译|从定义到图形识别，概念生成到应用| |代数运算|解答17-18题|提公因式/公式法、分式方程验根|运算技巧到综合应用，原理推导到易错点突破| |几何综合|解答23-24题|辅助线添加、动态几何推理|性质定理到折叠/平移问题，空间观念到逻辑推理| |实际应用|解答20题|分式方程模型应用|实际问题到数学建模，数据意识到决策分析|

2025-2026学年八年级数学下册期末考试高频重难点易错题检测卷一 一、选择题 1．以下是“三叶玫瑰线”“蝴蝶曲线”“星形线”“阿基米德螺线”．观察图形，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州、爱、我、郑、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱美 B．郑州游 C．我爱郑州 D．美我郑州 3．如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的分式方程 有增根，则k 的值为（     ） A．3 B． C．0 D．1 5．定义：关于同一个未知数的不等式A和B，若不等式A的解集包含了不等式B的解集，则称不等式B是A的子集，例如不等式A：，不等式B：，因为包含了所以我们称A是B的子集．已知，若A是B的子集，则符合要求的正整数的值有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 7．如图，在中，平分交于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，于点A，与边交于点D，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．如图，是面积为10的内任意一点，若的面积记为，的面积记为，则（     ） A．6 B．4 C．5 D．不确定 10．如图，在四边形中，，分别为，的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，如果点在第三象限，那么a的取值范围是______． 12．因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 13．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为________． 14．如图，在四边形中，，连接对角线，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为__________． 15．如图，在中，，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点，连接，则阴影部分的周长为________． 16．如图，直线与正五边形的边、分别交于点M、N，则的度数为____． 三、解答题 17．把下列各式因式分解 (1)； (2)． 18．解方程： (1)； (2)． 19．规定①：，用来表示n个数的平均数，例如：； 规定②：表示这n个数中最小的数．例如： (1)如果，求x的最大整数解； (2)如果，求整数x的值． 20．某贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务．已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资． (1)求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？ (2)公司制定如下方案，可以由甲、乙任意一个车主单独完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司从这三种方案中选择一种既省钱又省时的外包方案． 21．按要求完成下面各题． (1)【源于课本】将一次函数的图象沿着y轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：______． (2)【深入探究】将图中一次函数的图象沿着x轴向右平移3个单位长度，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点A，B，将它们沿着x轴向右平移3个单位长度，得到点，的坐标，请利用上述方法求出直线对应的函数表达式． 22．如图，在中，． (1)请用尺规作图法，作的平分线和边的垂直平分线，两线交于点P（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，设边的垂直平分线与边交于点D，与边交于点E，连接．若，求的度数． 23．按要求解答问题： (1)如图1，在 中，，垂足为，点为边的中点，连接，．求证： ． (2)如图2，在 中，点为边的中点，连接，将 沿折叠，点 落在 内处，连接并延长交 于点 ．求证： ． (3)如图3，将 沿过点的直线折叠，点的对应点为，使于点，折痕交边于点，交边于点，若 ，， ，求四边形 的面积． 24．直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图1，平分，平分，若，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则________度（直接写出结果，不需说理） ②点、在运动的过程中，若，试求的度数． (3)如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，在中，如果某一个角是的4倍，请直接写出的度数． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；     B、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意； C、既是中心对称图形又是轴对称图形，则此项符合题意； D、既不是中心对称图形又不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选C． 2．C 【分析】将式子通过提公因式和平方差公式进行因式分解，根据分解后每个因式对应的字可得密码信息。 【详解】解：， ∵，，，分别对应下列：州、爱、我、郑， ∴结果呈现的密码信息可能是：我爱郑州． 3．C 【分析】根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解： ， ∵阴影部分的面积为10， ∴． ∴的值不变． 4．B 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据分式方程增根的定义得到增根的值，再代入整式方程求出的值. 【详解】解：方程两边同乘去分母得：， 展开整理得：， ， 分式方程有增根， ， 解得， 将代入得：， 解得， 故选：B． 5．C 【分析】先分别求解两个不等式，再根据题目给出的“子集”定义，得到关于的不等式，最后找出符合要求的正整数的个数即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， ， 解不等式， 移项得， ， 根据定义，若是的子集，则的解集包含的解集， ， 不等式两边同乘得， 解得， 是正整数， 符合条件的为，共个． 6．B 【分析】由平移的性质可得，，，则，再结合，计算即可得出结果． 【详解】解：由平移的性质可得：，，， ∴，， ∴． 7．C 【分析】先根据三角形外角性质求出的度数，再结合角平分线定义得出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得解 【详解】解：是的外角， ， ， 平分， ， 在中，． 8．B 【分析】根据等边对等角，求出，角的和差关系推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，再根据，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵于点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 9．C 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到的值． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ， ，， ． ，， ． 10．A 【分析】由三角形中位线定理和两直线平行的性质，可以证得是等腰直角三角形,即可求解的值． 【详解】解：设为的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以，，且，， 所以，， 所以， 所以． 11． 【分析】根据第三象限内点的坐标特征列出关于的一元一次不等式组，然后解不等式组即可． 【详解】解： 在平面直角坐标系中，点在第三象限，第三象限内点的横纵坐标均小于， ∴， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为，即a的取值范围是． 12． 【分析】根据看错的分解结果，分别提取出正确的的值代入，再分解即可． 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 13． 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的速度，再根据两者速度的倍数关系列方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 根据题意可得，慢马所需时间为天、快马所需时间为天，则慢马的速度为里/天、快马的速度为里/天， 由快马的速度是慢马的倍，得． 14．5 【分析】取的中点M，连接，根据三角形中位线的判定与性质求出，推导出是的垂直平分线，得到，求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：取的中点M，连接，如图 ∵点为的中点，点为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 15．24 【分析】先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ， 阴影部分的周长为： ． 16． 【分析】根据正五边形的每个内角的大小和四边形的内角和解题． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵四边形的内角和为， 正五边形的每个内角为， ∴， ， 即． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 18．(1) (2) 【详解】（1）解： 去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解： 去分母得，， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 19．(1)5 (2)0，1 【分析】（1）由规定①和由规定②，把转化为解答，对所得解集估算，求出最大整数解即可； （2）若，若，若，分类讨论即可． 【详解】（1）解：由规定①知，， 由规定②知，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴x的最大整数解是5； （2）解：∵，且 ， 若，则，且则， ∴， ∴， ∴，解得，不合题意， 若，则，且，则， ∴， ∴， ∴， ∴x可以取内的任意实数， ∵x是整数， ∴x的值是0，1； 若，则；且，则， ∴， ∴， 则，解得，不合题意． 综上，整数x的值是0，1． 20．(1)甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物 (2)两车主合作完成既省钱又省时，计算过程见解析 【分析】（1）设甲车主每天能运输x吨货物，则乙车主每天能运输1.5x吨货物，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据工作时间=工作总量÷工作效率及总费用=每日所需费用×运输天数，分别求出甲车主单独完成、乙车主单独完成及甲、乙两车主合作完成所需时间及总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设甲车主每天能运输吨货物，则乙车主每天能运输吨货物，根据题意得： ，     解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物． （2）甲车主单独完成所需时间为（天）， 乙车主单独完成所需时间为（天）， 甲、乙两车主合作完成所需时间为（天）， 甲车主单独完成所需费用为（元）， 乙车主单独完成所需费用为（元）， 甲、乙两车主合作完成所需费用为（元）． ∵，， ∴该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时 答：该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）分别求出三种外包方案所需时间及总费用． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数平移规律以及用待定系数法求函数解析式． （1）根据函数平移规律“上加下减，左加右减”，可以求得平移后的解析式； （2）设一次函数与x轴、y轴交于点A、点B．先求出点A，点B的坐标，再按照坐标平移规律求出平移后的对应点坐标，最后运用待定系数法，求出平移后的函数解析式． 【详解】（1）解：； （2）解：设一次函数与x轴、y轴交于点A、点B． 令，解得：， 即点； 令，解得：， 即点； ∵一次函数的图象沿着x轴向右平移3个单位长度， ∴，． 设直线对应的函数表达式为：， 将点，点代入中， 得：， 解得，， ∴直线对应的函数表达式为． 22．(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）分别用尺规作图法作的平分线和边的垂直平分线，则两线的交点为点P； （2）设，根据线段垂直平分线的性质\等腰三角形的性质及角平分线的定义，可求得，再根据三角形的内角和定理列方程求解即可． 【详解】（1）解:如图所示，就是所求作的图形； （2）解：设， 平分， ， ， 垂直平分， ， ， ，，， ， 解得， ． 23．(1)证明：延长 交于点，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴ ， ∵点为边的中点， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴点F为的中点， ∵， ∴ ， ∴ ， 则 ； (2)证明：由题意得，，， ∵点为边的中点， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∴ ， 则 ； (3)四边形 的面积为 【分析】（1）延长 交于点，根据平行四边形的性质得 ，则 ，即可证明 ，有 ，结合直角三角形的性质即可证明； （2）由折叠得，，则有，，即可得到，进一步证明四边形 为平行四边形，则 ，即可证明 ； （3）过点M作 交于点Q，则 ，根据面积公式求得 ，利用勾股定理求得，由折叠得，，，可得，利用面积差即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点M作 交于点Q，如图，    ∵于点， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为20，， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 由折叠得，，，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，整理得， 解得， 那么， ． 24．(1) (2)①45；② (3)或 【分析】（1）先求出，，再根据求解即可； （2）①根据，只要求出即可； ②由已知条件和角平分线的定义可得，，再根据计算即可； （3）首先证明，，再分，，，四种情形分别进行计算即可． 【详解】（1）解：， ． ， ． 平分，平分， ，， ，即的度数为． （2）解：①， 平分，平分， ，， ， ； ②， ． ， ． 平分，平分， ，， ， 点、在运动的过程中，． （3）解：由题意得，， ， ， 又， 则， ①当时，， ； ②当时． ，即， ； ③当时，即，， （不合题意舍弃）； ④当时，， （不合题意舍弃）， 综上所述，当或时，在中，有一个角的度数是的4倍． 学科网（北京）股份有限公司 $