福建厦门市同安实验中学2024-2025学年下学期高二第一次月考数学试题

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，通过函数极值求解、数列求和、椭圆方程应用等问题设计，考查数学思维的逻辑性与数学语言的模型表达能力，适配月考阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|函数化简、平均变化率、空间距离|结合图像辨析（第3题）考查几何直观| |多选题|3/18|导数应用、排列组合|通过甲乙方位排列（第10题）考查逻辑推理| |填空题|3/15|信件投箱、异面直线成角|以正四面体中点关系（第13题）体现空间观念| |解答题|5/77|函数极值、数列通项、椭圆方程、导数证明|18题导数单调性讨论考查运算能力，19题切线存在性探究发展创新意识|

同实2024-2025学年下学期高二年第一次月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.化简：(    ) A. B. C. D. 2.下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的是(    ) A. B. C. D. 3.函数的部分图象大致为(    ) A. B. C. D. 4.将本不同的课外书分别装到个相同的手提袋中，其中一袋放本，另两袋各放本，则不同的装法有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5.已知空间中三点，，，那么点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 6.由数字，，，组成的无重复数字的位数中，比大的数的个数为(    ) A. B. C. D. 7.用红、黄、蓝等种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种类为(    ) A. B. C. D. 8.已知对任意的正实数，，满足当时， 恒成立，则实数的取值范围为  (    ) A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的有(    ) A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 10.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(    ) A. 如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种 C. 甲、乙不相邻的排法种数为种 D. 甲在乙左边的排列的排法有种 11.已知函数的导函数为，，是的两个极值点，则(    ) A. B. C. 只有一个零点 D. 直线与曲线相切 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.有封不同的信投入个不同的信箱，可有_________种不同的投入方法.用数字作答 13. 已知在正四面体，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为          ． 14.某个体户计划同时销售，两种商品，当投资额为千元时，在销售，商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，若该个体户准备共投入千元销售，两种商品，为使总收益最大，则商品需投入____千元 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程。 15.本小题分 已知函数，且当时，有极值． 求，的值； 求在上的最大值和最小值． 16.本小题分 已知数列的前项和为，且． 求数列的通项公式； 若等比数列满足，，求数列的前项和． 17.本小题分 已知椭圆：短轴长为，离心率为，直线：与椭圆交于不同的两点，，为椭圆的左顶点． 求椭圆的标准方程； 当的面积为时，求的方程． 18.本小题分 已知函数． 讨论函数的单调性； 当时，证明：当时，． 19.本小题分 已知函数在点处的切线为． 求函数的解析式； 是否存在，对任意，使得成立，若存在， 求的最大值；若不存在，说明理由参考数据：， 同实2024-2025学年下学期高二年数学 第一次月考参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B C A A B B D BD BC ACD 7. 解：采用分类原理： 第一类：涂两个红色圆，共有种； 第二类：涂三个红色圆，共有种；故共有种． 8. 由，可得，  即，  所以对任意的正实数，，满足当时，  设，则在上单调递减，  所以在上恒成立，  所以在上恒成立，  所以，即实数的取值范围为． 12．81 13．  14．  15．解：由，得， 又当时，有极值， 所以，解得 经检验得：符合题意．所以，．.…………………………………6分 （2）由知，． 令，得，， ，的值随的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知在上最大值为，最小值为．…13分 16．解：在数列中，， 当时，， 两式相减得，即， 当时，，符合上式，所以；………6分 （2）由知，，，因为数列是等比数列，设公比， 所以，所以， 所以， 所以 ．……………………………15分 17．解：（1）依题意，，而 ， 解之可得，，， 椭圆的标准方程为 ………………………………………5分 （2）设，， 由，消去得， 因为直线过定点，且在椭圆内部， 所以与椭圆一定有两个交点， 所以，， 所以， ………………………………………10分 点到直线的距离为， ． ， 直线的方程为或．……………………………15分 18．解：因为的定义域为，所以， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增．…………8分 证明： 当时，， 令，则， 令，则， 因为，所以， 所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减， 所以，即．……………………17分 19．解：函数的导数为， 可得在点处的切线的斜率为，切点为，  由在点处的切线为， 可得，，解得，， 即有； ………………………………………6分 ，且任意，使得成立， 即成立， 即为的最小值大于， 设， 则， 设，，  即有在上单调递增， 又，，， 因为，所以，  所以，根据零点存在定理可知： 函数在内有零点，且在上有唯一零点，  设该零点为，则，， ， 则，即， 因为，，故的最大值为．…………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 同实2024-2025学年下学期高二年第一次月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.化简：(    ) A. B. C. D. 2.下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的是(    ) A. B. C. D. 3.函数的部分图象大致为(    ) A. B. C. D. 4.将本不同的课外书分别装到个相同的手提袋中，其中一袋放本，另两袋各放本，则不同的装法有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5.已知空间中三点，，，那么点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 6.由数字，，，组成的无重复数字的位数中，比大的数的个数为(    ) A. B. C. D. 7.用红、黄、蓝等种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种类为(    ) A. B. C. D. 8.已知对任意的正实数，，满足当时， 恒成立，则实数的取值范围为  (    ) A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的有(    ) A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 10.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(    ) A. 如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种 C. 甲、乙不相邻的排法种数为种 D. 甲在乙左边的排列的排法有种 11.已知函数的导函数为，，是的两个极值点，则(    ) A. B. C. 只有一个零点 D. 直线与曲线相切 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.有封不同的信投入个不同的信箱，可有_________种不同的投入方法.用数字作答 13. 已知在正四面体，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为          ． 14.某个体户计划同时销售，两种商品，当投资额为千元时，在销售，商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，若该个体户准备共投入千元销售，两种商品，为使总收益最大，则商品需投入____千元 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程。 15.本小题分 已知函数，且当时，有极值． 求，的值； 求在上的最大值和最小值． 16.本小题分 已知数列的前项和为，且． 求数列的通项公式； 若等比数列满足，，求数列的前项和． 17.本小题分 已知椭圆：短轴长为，离心率为，直线：与椭圆交于不同的两点，，为椭圆的左顶点． 求椭圆的标准方程； 当的面积为时，求的方程． 18.本小题分 已知函数． 讨论函数的单调性； 当时，证明：当时，． 19.本小题分 已知函数在点处的切线为． 求函数的解析式； 是否存在，对任意，使得成立，若存在， 求的最大值；若不存在，说明理由参考数据：， 学科网（北京）股份有限公司 $