精品解析：四川省达州市宣汉县双河中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

四川省达州市宣汉县双河中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题 满分：150分 时间：120分钟 测试内容：北师大版七下第1-3章 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B. 射击运动员射击一次，命中十环 C. 打开电视频道，正在播放足球赛 D. 若a是实数，则 3. 某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 4. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 5. 已知，则的值为（　　） A. B. C. -8 D. 9 6. 如图，直线相交于点O，，垂足为，，的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若a，b是正整数，且满足，则下列a与b关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 如图，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是，理由是_____． 10. 已知 ，则的值为______． 11. 把下列事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是_____ （填序号）． （1）一副去掉大小王的扑克牌中，随意抽取一张抽到的牌是红色； （2）随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育； （3）从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的一个球恰好是白球； （4）站在平地上抛一块小石头，石头会落下． 12. 一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了71平方米，则原正方形的边长是___米． 13. 如图，已知，过点作交于点，为上一点，过点作，点为上一点，连接，．若，，平分，则______． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 计算： （1）； （2） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 为了深化课堂教学改革，培育学生核心素养，某区县初中数学“课堂大比武”预选赛在月开展，此次活动共有个参赛队，每队由3名教师组成，比赛前1小时在3名教师中随机抽取一名教师进行课堂展示，抽取规则如下：一个不透明的盒子里装有3个球，其中2个白球，1个黄球（它们除颜色外其余都相同），抽中黄球的教师进行课堂展示． （1）若教师甲先从盒子中抽出一个球，求教师甲进行课堂展示的概率； （2）摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好是不同颜色的概率（要求画树状图或列表）． 17. 【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 （1）①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 18. 【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，E为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． （2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 如图2，已知，，点E在上，，请你说明；（把下面的解答补充完整） 解：因为 所以 （ ） 因为（ ） 又因为 所以 （ ） 即 所以 由（1）知 ∴ （3）【拓展延伸】如图3，平分，平分，．若，请直接写出的度数为 ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 不透明的布袋里有2个黄球，4个红球，5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中随机摸出一个球恰好为红球的概率是 ____． 20. 若，则_______（填>，<或=）． 21. 已知：直线，点P在的上方，且，，则的度数是______ 22. 发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 _____ ． 23. 如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则______________． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值； （3）若，，用含的代数式表示． 25. 如图，平分，平分，，点P在射线上，直线，垂足为点Q．设． （1）请用含x的式子表示的大小； （2）求证； （3）设直线与射线交于点D，若，求的度数． 26. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图，可得等式： （1）如图，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的方法表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来； （2）若，，利用（1）中所得结论，求的值； （3）如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积； （4）小明用3张边长为的正方形，2张边长为的正方形，5张边长分别为，的长方形纸片重新拼出一个长方形，直接写出该长方形的周长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市宣汉县双河中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题 满分：150分 时间：120分钟 测试内容：北师大版七下第1-3章 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方等知识点，能熟记合并同类项法则、同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方法则是解此题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方求出每个式子的值，再进行判断即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B. 射击运动员射击一次，命中十环 C. 打开电视频道，正在播放足球赛 D. 若a是实数，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 根据事件的分类解答即可． 【详解】解：A、抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意； B、射击运动员射击一次，命中十环是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意； C、打开电视频道，正在播放足球赛是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意； D、若a是实数，则是必然事件，符合题意； 故选：D． 3. 某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质，关键是掌握两点之间所有的连线中，线段最短． 【详解】解：用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分，则原来所剪掉的线段的两个端点之间由曲线变为了线段，周长缩小了，则应用的原理是两点之间线段最短， 故选：A． 4. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．用球的总个数乘以摸到红球的频率即可． 【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为（个）， 故选：C． 5. 已知，则的值为（　　） A. B. C. -8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 先根据多项式相等则对应项的系数相等求出m与n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，直线相交于点O，，垂足为，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直，得到，利用平角的定义进行求解即可．找准角度之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 7. 若a，b是正整数，且满足，则下列a与b关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，内错角相等．由，推出，从而求出，又因为，所以． 【详解】， ， ， ， 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 如图，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是，理由是_____． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握垂线段最短这一性质是解题的关键．观察图形，判断与河两岸的位置关系，结合所学的线段性质来确定最短的理由． 【详解】解：∵ 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，是点到直线的垂线段 ∴ 搭建方式最短的是，理由是垂线段最短 故答案为：垂线段最短 10. 已知 ，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，利用同底数幂除法和幂的乘方的逆运算可得，再代入计算即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：12． 11. 把下列事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是_____ （填序号）． （1）一副去掉大小王的扑克牌中，随意抽取一张抽到的牌是红色； （2）随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育； （3）从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的一个球恰好是白球； （4）站在平地上抛一块小石头，石头会落下． 【答案】（3）（1）（2）（4） 【解析】 【分析】先求出每个事件发生的可能性大小，再比较可能性大小进行排序即可． 【详解】解：（1）一副去掉大小王的扑克牌共张，其中红色牌张，抽到红色牌的可能性为； （2）我国九年义务教育普及率极高，因此随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育的可能性大于，接近于； （3）袋子中没有白球，摸出白球的可能性为； （4）站在平地上抛一块小石头，石头一定会下落，发生的可能性为； ∴故事件发生的可能性从小到大的顺序排列为（3）（1）（2）（4）． 12. 一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了71平方米，则原正方形的边长是___米． 【答案】7 【解析】 【分析】设原正方形的边长是米，根据扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米可得：，化简解之即可． 【详解】解：设原正方形的边长是米，根据题意得： ， 解得：， 则原正方形的边长是7米． 13. 如图，已知，过点作交于点，为上一点，过点作，点为上一点，连接，．若，，平分，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直定义及“垂直于同一直线的两条直线平行”证得，结合平行线性质及已知条件证得，利用平行线性质求出，结合角平分线定义求出及，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据单项式乘单项式法则计算即可． （2）根据多项式乘多项式的法则计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算以及代数求值，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算括号内平方差公式和完全平方公式，然后合并，然后计算括号外多项式除以单项式，然后化简零指数幂，最后代数求解即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 16. 为了深化课堂教学改革，培育学生核心素养，某区县初中数学“课堂大比武”预选赛在月开展，此次活动共有个参赛队，每队由3名教师组成，比赛前1小时在3名教师中随机抽取一名教师进行课堂展示，抽取规则如下：一个不透明的盒子里装有3个球，其中2个白球，1个黄球（它们除颜色外其余都相同），抽中黄球的教师进行课堂展示． （1）若教师甲先从盒子中抽出一个球，求教师甲进行课堂展示的概率； （2）摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好是不同颜色的概率（要求画树状图或列表）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的计算． （1）根据概率公式求解； （2）根据列表法求解． 【小问1详解】 解：若教师甲先从盒子中抽出一个球， ∵不透明的布袋里装有3个球，其中2个白球，1个黄球， ∴教师甲进行课堂展示的概率，即摸出1个球是黄球的概率为； 【小问2详解】 解：列表得： 白1 白2 黄 白1 白1白2 白1黄 白2 白2白1 白2黄 黄 黄白1 黄白2 ∴两次摸出的球恰好是不同颜色的的概率为 17. 【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 （1）①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】（1）①，，；②， （2）解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【解析】 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【小问1详解】 解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：略 18. 【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，E为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． （2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 如图2，已知，，点E在上，，请你说明；（把下面的解答补充完整） 解：因为 所以 （ ） 因为（ ） 又因为 所以 （ ） 即 所以 由（1）知 ∴ （3）【拓展延伸】如图3，平分，平分，．若，请直接写出的度数为 ． 【答案】（1） ，理由如下： 过点E作，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2） ；两直线平行，同旁内角互补；；；等角的补角相等； （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质和判定求解即可； （3）根据平行线的性质得出，再由角平分线及（1）中结论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵ ∴， ∵ 即， ∴ 由（1）可知， ， ∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，熟练掌握运用平行线的判定和性质是解题关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 不透明的布袋里有2个黄球，4个红球，5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中随机摸出一个球恰好为红球的概率是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式．根据题意和题目中的数据，可以计算出从布袋中随机摸出一个球恰好为红球的概率． 【详解】解：不透明的布袋里有2个黄球，4个红球，5个白球， 从布袋中随机摸出一个球恰好为红球的概率是， 故答案为：． 20. 若，则_______（填>，<或=）． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂的乘方法则变形，再结合积的乘方法则与同底数幂的乘法法则，推导得到与的关系． 【详解】解：∵， 对两边同时取次幂得： 由幂的乘方法则得 ； 对 两边同时取次幂，得, 由幂的乘方法则得 ②； 将①②左右两边分别相乘，得，即 ∴． 21. 已知：直线，点P在的上方，且，，则的度数是______ 【答案】##70度 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可 【详解】过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：. 22. 发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 _____ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【详解】解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ... ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故答案为：6． 23. 如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值； （3）若，，用含的代数式表示． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，完全平方公式等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）将代入，计算幂的乘方即可得； （2）利用同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得； （3）利用幂的乘方的逆用可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：， ， 解得：． 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ． 25. 如图，平分，平分，，点P在射线上，直线，垂足为点Q．设． （1）请用含x的式子表示的大小； （2）求证； （3）设直线与射线交于点D，若，求的度数． 【答案】（1） （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再结合计算即可得出结果； （2）由（1）可得，求出，由角平分线的定义可得，再证明出，即可得证； （3）利用平行线的性质和角平分线的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 26. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图，可得等式： （1）如图，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的方法表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来； （2）若，，利用（1）中所得结论，求的值； （3）如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积； （4）小明用3张边长为的正方形，2张边长为的正方形，5张边长分别为，的长方形纸片重新拼出一个长方形，直接写出该长方形的周长为______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）大正方形的面积通过两种不同的方法计算，即可解答； （2）利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据题意可得阴影部分的面积的面积正方形的面积的面积，进行计算即可解答． （4）根据题意得出长方形的面积，进而因式分解即可求解． 【小问1详解】 解：大正方形的面积， 又大正方形的面积=， ∴ 【小问2详解】 解：由（1）可得： ∵， ∴ ． 【小问3详解】 解：∵，， ∴阴影部分面积为 ． 【小问4详解】 解：依题意，, ∴长方形的边长分别为, ∴长方形的周长为． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，完全平方式，熟练掌握因式分解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $