1.2 反比例函数的图形与性质【能力提升】-同步检测，2026-2027学年苏科版教学九年级上册

**基本信息** 以“基础巩固-综合应用-创新拓展”三阶分层，覆盖反比例函数图像性质、几何综合及动态问题，通过梯度题型培养运算能力、推理意识与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|图像上点的坐标关系、对称性等单一知识点|选择1-5直接应用概念，填空11-13强化基础运算| |综合应用|与矩形/菱形等几何图形结合求面积、k值|填空14-15结合图形面积公式，解答20-22融合一次函数综合| |创新拓展|动态问题、旋转及分段函数等跨知识应用|选择9-10涉及动态几何，解答24-25含开放作图与分段函数探究|

2026-2027学年苏科版数学新教材九年级上册同步自测卷 1.2 反比例函数的图形与性质「同步学习自测卷•能力提升」 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知点在反比例函数的图像上，则 与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【思路引导】根据反比例函数的增减性求解即可． 【规范解答】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴点在反比例函数第二象限的双曲线上，且y随x的增大而增大， ∵， ∴． 2．已知点，都在反比例函数的图象上．若，则，0，之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据k的符号确定函数图象所在象限，再结合点的横坐标范围得到纵坐标的大小关系. 【规范解答】解：∵反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵，点在反比例函数图象上， ∴点在第三象限，； ∵，点在反比例函数图象上， ∴点在第一象限，； ∴. 3．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点在轴的正半轴上，则（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【思路引导】连接，根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【规范解答】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴． 4．若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和正比例函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【规范解答】解：， 分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 故选D 5．如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点C在x轴上，轴，若点B的坐标为，，则k的值（   ） A．7 B．3 C．6 D．4 【答案】A 【思路引导】过点A作轴，交轴于点，连接，设，根据解出的值，再将点坐标代入，即可求出的值． 【规范解答】解：过点A作轴，交轴于点，连接，如图 ∵轴， ∴点纵坐标为3， 设，则， ∵ ∴， 解得 ∴ 将代入， 解得． 6．如图，和均为正三角形，且点，均在反比例函数上，连结交于点，连结，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】过点作于点，先根据和均为正三角形可知，故可得出，可得，由反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【规范解答】解：过点作于点，如下图所示： ∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴． 7．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【思路引导】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质．先表示，得到，，根据矩形的面积为8，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴点E的横坐标为6，点D的纵坐标为3， ∴点E的纵坐标为，点D的横坐标为， ∴， ∴，． ∵矩形的面积为8， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 8．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，则四边形的面积（   ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，求得与的面积相等且都等于1，即可得出正确答案． 【规范解答】解：由于点C和点D均在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∵点在的图象上， ∴矩形的面积是k， ∴四边形的面积，故为定值，不变， 故选：C． 9．如图，四边形是菱形，轴，垂足为D，函数的图象经过点C，若，则菱形的面积为（　　） A．8 B．15 C．20 D．24 【答案】C 【思路引导】本题考查了反比例函数系数k的几何意义的应用，掌握反比例函数的比例系数的几何意义及菱形的性质是解题的关键．根据反比例函数系数k的几何意义得到，得到，根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到，则可求解菱形的面积． 【规范解答】解：∵函数的图象经过点C，轴， ∴． ∵， ∴． ∴由勾股定理得． ∵四边形是菱形， ∴． ∴． 故选：C． 10．如图，长方形的顶点坐标分别为，，，，动点在边上（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题： ①在题目条件下，的取值范围是； ②在题目条件下，直线随着的变化而作平行移动． ③若时，的面积为； ④若时， 其中正确命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】①根据点、分别在矩形边、上，利用坐标范围确定的取值范围；②计算直线的斜率，判断其是否为定值；③当时，求出、坐标，利用割补法计算的面积；④当时，求出直线解析式及、坐标，利用勾股定理计算线段、的长度及乘积. 【规范解答】①根据题意，点D与点不重合， 所以， ，故①正确； ②∵，，，， ∴设点， ∵过点的反比例函数的图象与边交于点， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴， ∴直线随着的变化而作平行移动； ③， ∴ ，， ，． ，故③正确； ， ∴ ，， 设直线的解析式为， 则有， 解得， ． 令，得， ； 令，得， ． ∴；， ∴故④正确； ∴正确的有4个． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知反比例函数经过点，，且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【思路引导】先根据反比例函数解析式判断比例系数的符号，再结合反比例函数的性质得到函数值随自变量的变化规律，最后根据自变量的大小关系比较函数值大小. 【规范解答】解：∵，， ∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， 点，都在第一象限，且， . 12．已知正比例函数与反比例函数的图象的一个交点的坐标为，则另一交点坐标为___． 【答案】 【思路引导】根据反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称，即可求解． 【规范解答】解：∵正比例函数和反比例函数图象均是中心对称图形， ∴正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点对称， ∵一个交点坐标是， ∴另一个交点为． 13．如图，矩形的面积为16，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，设，则可得到，根据矩形面积公式可得，根据矩形对角线互相平分可得点P的坐标为，据此利用待定系数法求解即可． 【规范解答】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矩形的面积为16， ∴，即， ∵反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P， ∴点P为的中点， ∴点P的坐标为， ∴， ∴该反比例函数的解析式是， 故答案为：． 14．如图，反比例函数与正比例函数的图像交于点，点，轴于点，轴于点，，则______． 【答案】 【思路引导】本题考查了反比例函数系数值的几何意义，由题意可得，又，则，从而求出的值，熟练掌握反比例函数系数值的几何意义是解题的关键． 【规范解答】解：∵点是反比例函数与正比例函数的交点，轴于点，轴于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知菱形，顶点C在x轴上，反比例函数的图像经过顶点，OB与反比例函数的图像交于点D．点D的坐标是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图像与反比例函数图像的交点问题，菱形的性质，勾股定理，求函数解析式等知识点． 先利用待定系数法求出反比例函数解析式，由得，又因为四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解． 【规范解答】解：把代入，得， ∴反比例函数解析式为， ， ， 四边形是菱形， ，， ， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的解析式为， 点是反比例函数与正比例函数的交点， 联立解析式， 解得或， ， ， 故答案为：． 16．如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，点是轴上的任意一点，连接、，则的面积为___________ 【答案】4 【思路引导】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论是解题的关键． 根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，的面积与的面积相等，再根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【规范解答】解：连接， 轴，和同底边AB， ， ， 反比例函数和的图象交于点和点， ， ， 故答案为：4． 三、解答题（本题共9小题，共62分） 17．（本题6分）已知直线和双曲线，把直线向左平行移动5个单位． (1)求平移后所得的直线的函数解析式． (2)平移后所得的直线与已知双曲线是否相交？如果相交，求出交点的坐标，如果不相交，请说明理由． 【答案】(1) (2)相交，交点坐标为和 【思路引导】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律，结合直线向左平行移动5个单位，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）所求解析式和反比例函数解析式联立方程组进而计算可得交点坐标． 【规范解答】（1）解：由题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律， 直线为， 又直线向左平行移动5个单位， 平移后所得的直线的函数解析式为，即 （2）解：由题意，结合（1）联立方程组， 整理得 解得：， 当，代入得 ， 当，代入得 ∴平移后所得的直线与已知双曲线相交,交点坐标为和 18．（本题6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点为常数． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或． 【思路引导】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及函数解析式的求解，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解决本题的关键． （1）先由点求出反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求解点，再将点A与点B代入一次函数解析式求解即可； （2）观察两个函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可． 【规范解答】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ，即， 反比例函数解析式为， 将点代入反比例函数中， ，即， 点， 由条件可得，解得， 一次函数解析式为． （2）解：由图象可知： 不等式表示一次函数图象位于反比例函数图象上方包括交点部分， ∴解集为或． 19．（本题6分）如何通过代数推理证明反比例函数图像的性质？ 代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试． (1)性质：反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点． 证明：在函数上任取一点， 则点关于原点对称的点为(______，______)， ______， 点也在反比例函数的图像上， 点是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图像上， 反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点； (2)证明：对于反比例函数，当时，随的增大而减小． 【答案】(1)， (2)见解析 【思路引导】本题考查了反比例函数的性质，证明反比例函数的增减性，解题关键是熟悉上述知识并能熟练运用求解． （1）依据证明过程补全条件即可； （2）根据反比例函数性质进行证明即可； 【规范解答】（1）证明：在函数上任取一点， 则点A关于原点对称的点B为， ∵， ∴点B也在反比例函数的图像上， ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图像上， ∴反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点， 故答案为：，； （2）解：在上任取两点， ， ， 当时，随的增大而减小． 20．（本题6分）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与轴的交点的坐标及的面积； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的的取值范围； (4)点是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)或 (4)存在， 【思路引导】（1）把代入求出，可得反比例函数解析式，把代入可求出，可得，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据一次函数解析式可得，根据即可求出的面积； （3）根据图象及、两点坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象下方的图象对应的的取值范围即可； （4）把代入反比例函数解析式得出，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，根据轴对称的性质得出点、、三点在同一条直线上时取最小值，利用待定系数法求出直线的解析式为，令，求出的值即可求出点坐标． 【规范解答】（1）解：∵，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点， ∴，， 解得：，， ∴反比例函数解析式是；， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵直线的解析式为， ∴当时，， 解得：， ∴，， ∵，， ∴． （3）解：∵，， ∴一次函数的值小于反比例函数值的的取值范围为或． （4）解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， 解得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则 ∵点关于轴的对称点为， ∴， ∴， ∴点、、三点在同一条直线上时取最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴． ∴存在点，使得最小，点坐标为． 21．（本题6分）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着方向运动，速度为每秒2个单位长度，同时点从点出发，沿着方向运动，速度为每秒个单位长度，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点所运动的路程为，，点与点的距离为． (1)请直接写出分别关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象直接写出时，的值（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或或 【思路引导】（1）先根据勾股定理求得，得到停止运动时的时间，由题意可得，即可得；分点E在边上和在边上时，表示出； （2）利用描点法画出图象，根据图象写出一条性质即可； （3）根据（2）中的图象，找到和图象的交点对应的t值即可． 【规范解答】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵点D的速度为每秒2个单位长度，点E的速度为每秒个单位长度，两者相遇时停止运动， ∴停止运动时的时间（秒）， 由题意得，， ∴； ∵， ∴当时，，此时点E在边上，则， 当时，此时点E在边上，则， ∴； （2）解：取点列表如下： 1 2 4 5 6 4 2 1 0.8 4.5 3 0 3 如图所示图象为所求： 当时，随t的增大而减小； 当时，随t的增大而减小；当时，随t的增大而增大； （写出一条即可） （3）解：由图象可知，当或或时，． 22．（本题6分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)已知点，请用无刻度的直尺和圆规过点作出线段的垂线（保留作图痕迹，不写作法）； (3)若（2）中所作的垂线交轴于点，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)5 【思路引导】（1）利用待定系数法求解； （2）如图，连接，，首先证明出，然后分别以点A和点B为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点E，作直线即可； （3）如图，连接，由垂直平分线的性质得到，设，然后利用勾股定理列方程求出，然后求解即可． 【规范解答】（1）解：将代入得，， 解得， ∴一次函数的表达式为； 将代入得，， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图，连接，， ∵， ∴当时，， 解得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴轴，且， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线，即为所求； （3）解：如图，连接 ∵垂直平分 ∴ ∴ 设 ∴ 解得 ∴ ∴． 23．（本题6分）小明将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在边上，且，将三角板绕点顺时针旋转，则点的对应点是否会落在反比例函数图象上，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为： (2)点的对应点落在反比例函数图象上，理由见解析 【思路引导】（1）把C的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）将三角板绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，得点，可得点在反比例函数上． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数的图象经过点C． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：由条件可知， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴， 如图，连接，则，旋转到的位置；点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点， ∴，， ∴， 当时，， ∴在反比例函数图象上， ∴D的对应点G在图象上． 24．（本题10分）如图，反比例函数（）的图象过点，． (1)求k和m的值； (2)在图中用直尺和铅笔任意画出两个平行四边形（不写画法），要求每个平行四边形均需同时满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点（网格线的交点）上，且其中两个顶点分别是点A，点B； ②线段为平行四边形的边且平行四边形的面积等于． (3)设过点O，点A的直线为直线，将直线向下平移，当恰好经过点B时，直接写出平移的距离． 【答案】(1)， (2) 如图所示即为所求； (3) 【思路引导】（1）直接利用待定系数法代入计算即可； （2）根据图象利用网格找出平行四边形即可，再利用网格及平行四边形的面积计算公式验证即可； （3）利用待定系数法先确定直线的函数解析式为，设平移后的直线解析式为，将点B代入计算即可． 【规范解答】（1）解：反比例函数（）的图象过点，， ∴， ∴，； （2）解：四边形和的面积为：；符合题意； （3）解：由（1）得， 设直线的函数解析式为， ∴， ∴， ∴， 设平移后的直线解析式为， 将点B代入得：， 解得：， ∴平移的距离为个单位长度． 25．（本题10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质． 【操作发现】 (1)当时，下表是该函数部分，的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． … … 结合函数图象，下列说法错误的是________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③当时，图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 (2)在（1）的条件下，当函数值时，自变量的值为________； 【拓展提高】 (3)①当关于的方程有三个不同的解时，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，则当直线与新函数有三个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，② (2)或或 (3)①；② 【思路引导】（1）用描点法画出函数图像，结合函数性质判断各个说法，找出错误选项； （2）分和两种情况分别解方程，得到所有符合条件的自变量的值； （3）①将方程解的个数问题转化为直线与分段函数图像交点个数问题，画出对应直线临界位置，结合图像确定参数取值范围；②先判断直线过定点，再确定分段函数平移规则，找出分段函数图像上的临界交点，代入直线解析式求出临界值，结合图像得到的取值范围． 【规范解答】（1）解：根据表格描点连线画出函数图像略， 由图可得函数最小值为0，没有最大值，故①正确； 当时，，随的增大而增大即当时，随的增大而增大，故②错误； 当时，图像为轴对称图形，故③正确； 直线与图像有两个交点，故④正确． （2）解：分两种情况解方程： 当时，令，解得，满足条件； 当时，令，解得或，均满足； 因此自变量的值为或或． （3）解：①∵关于的方程有三个不同的解， ∴直线与分段函数的图象有三个交点， 当直线过点时，有，此时， 当直线过点时，有，此时， 如图， 由图可得． ②直线恒过定点， ∵将函数图像进行平移后得到新函数， ∴平移规律为函数向右平移3个单位长度， ∴点向右平移3个单位得，点向右平移3个单位得， 当直线过点时，有，此时， 当直线过点时，有，此时， 如图， 由图可得，直线与新函数有三个交点时，． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学新教材九年级上册同步自测卷 1.2 反比例函数的图形与性质「同步学习自测卷•能力提升」 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知点在反比例函数的图像上，则 与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．已知点，都在反比例函数的图象上．若，则，0，之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点在轴的正半轴上，则（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 4．若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 5．如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点C在x轴上，轴，若点B的坐标为，，则k的值（   ） A．7 B．3 C．6 D．4 6．如图，和均为正三角形，且点，均在反比例函数上，连结交于点，连结，则为（    ） A． B． C． D． 7．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，则四边形的面积（   ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．不变 D．无法确定 9．如图，四边形是菱形，轴，垂足为D，函数的图象经过点C，若，则菱形的面积为（　　） A．8 B．15 C．20 D．24 10．如图，长方形的顶点坐标分别为，，，，动点在边上（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题： ①在题目条件下，的取值范围是； ②在题目条件下，直线随着的变化而作平行移动． ③若时，的面积为； ④若时， 其中正确命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知反比例函数经过点，，且，则________．（填“”、“”或“”） 12．已知正比例函数与反比例函数的图象的一个交点的坐标为，则另一交点坐标为___． 13．如图，矩形的面积为16，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是______． 14．如图，反比例函数与正比例函数的图像交于点，点，轴于点，轴于点，，则______． 15．如图，已知菱形，顶点C在x轴上，反比例函数的图像经过顶点，OB与反比例函数的图像交于点D．点D的坐标是______． 16．如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，点是轴上的任意一点，连接、，则的面积为___________ 三、解答题（本题共9小题，共62分） 17．（本题6分）已知直线和双曲线，把直线向左平行移动5个单位． (1)求平移后所得的直线的函数解析式． (2)平移后所得的直线与已知双曲线是否相交？如果相交，求出交点的坐标，如果不相交，请说明理由． 18．（本题6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点为常数． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 19．（本题6分）如何通过代数推理证明反比例函数图像的性质？ 代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试． (1)性质：反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点． 证明：在函数上任取一点， 则点关于原点对称的点为(______，______)， ______， 点也在反比例函数的图像上， 点是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图像上， 反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点； (2)证明：对于反比例函数，当时，随的增大而减小． 20．（本题6分）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与轴的交点的坐标及的面积； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的的取值范围； (4)点是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本题6分）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着方向运动，速度为每秒2个单位长度，同时点从点出发，沿着方向运动，速度为每秒个单位长度，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点所运动的路程为，，点与点的距离为． (1)请直接写出分别关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象直接写出时，的值（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 22．（本题6分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)已知点，请用无刻度的直尺和圆规过点作出线段的垂线（保留作图痕迹，不写作法）； (3)若（2）中所作的垂线交轴于点，请直接写出的长． 23．（本题6分）小明将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在边上，且，将三角板绕点顺时针旋转，则点的对应点是否会落在反比例函数图象上，请说明理由． 24．（本题10分）如图，反比例函数（）的图象过点，． (1)求k和m的值； (2)在图中用直尺和铅笔任意画出两个平行四边形（不写画法），要求每个平行四边形均需同时满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点（网格线的交点）上，且其中两个顶点分别是点A，点B； ②线段为平行四边形的边且平行四边形的面积等于． (3)设过点O，点A的直线为直线，将直线向下平移，当恰好经过点B时，直接写出平移的距离． 25．（本题10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质． 【操作发现】 (1)当时，下表是该函数部分，的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． … … 结合函数图象，下列说法错误的是________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③当时，图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 (2)在（1）的条件下，当函数值时，自变量的值为________； 【拓展提高】 (3)①当关于的方程有三个不同的解时，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，则当直线与新函数有三个交点时，直接写出的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $