1.2 反比例函数的图形与性质【基础通关】-同步检测，2026-2027学年苏科版教学九年级上册

**基本信息** 反比例函数同步自测卷以基础通关为核心，通过基础-中档-综合三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反比例函数象限、增减性等单一概念|选择1-5直接考查性质判断，填空11-14强化k值计算，夯实基础| |中档|图像与几何图形结合（面积、坐标）|选择7-10结合矩形中点，填空15-16关联直角三角形面积，提升空间观念| |综合|函数交点、新定义应用|解答24“闭函数”概念辨析，25正方形存在性探究，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年苏科版数学新教材九年级上册同步自测卷 1.2 反比例函数的图形与性质「同步学习自测卷•基础通关」 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知点和在反比例函数的图象上，那么下列结论正确的是（     ） A．； B．； C．； D．． 2．点在反比例函数 的图象上，则该函数图象所在象限为（     ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 3．已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 4．反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数的图象位于第二、四象限 B．点在该函数的图象上 C．当时，y随x的增大而增大 D．y随x的增大而减小 6．下表是绘制反比例函数（常数，且）图象时所列表的一部分，若，则的大小关系是（    ） x 1 2 3 y a b A． B． C． D． 7．如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点，向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则的值为（   ） A． B．5 C．7 D．4 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别位于轴、轴的正半轴上，分别是的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别位于轴、轴的正半轴上，、、、分别是、、、的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．12 B．6 C．3 D．2 二、填空题（共18分） 11．如果反比例函数 的图象位于第一、三象限内，那么 的取值范围为 ________． 12．已知点、在反比例函数的图像上，且，那么_______（填“”或“”或“”） 13．已知反比例函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为__________．（用“>”连接） 14．如图，点P是反比例函数图象上一点，过点分別作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是__________． 15．如图，已知双曲线经过的斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则_____，的面积为_____． 16．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，点的坐标是，连接，，，与轴平行，若的面积为3，则的值为_______． 三、解答题（共62分） 17．（本题6分）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求x的值． 18．（本题6分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 19．（本题6分）先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们是哪种函数． (1)当圆锥的体积是时，它的高与底面积的函数关系式； (2)积为非零常数m的两个因数y与x的函数关系； (3)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入元，以后每个月存入元，存入总数y元与月数x之间的关系． 20．（本题6分）（）画出函数的图象． ①列表： ②描点并连线． （）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 21．（本题6分）如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与轴的交点的坐标及的面积； (3)求不等式的解集（直接写出答案） 22．（本题8分）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上．且满足．求点的坐标． 23．（本题8分）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，求点坐标． 24．（本题8分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”． (1)反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式． 25．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（，）的图象相交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集________ (3)在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学新教材九年级上册同步自测卷 1.2 反比例函数的图形与性质「同步学习自测卷•基础通关」 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知点和在反比例函数的图象上，那么下列结论正确的是（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【思路引导】根据反比例函数的比例系数的意义，判断与的关系即可． 【规范解答】解：∵点和点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 2．点在反比例函数 的图象上，则该函数图象所在象限为（     ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 【答案】B 【规范解答】解：将点代入反比例函数，得， ∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限． 3．已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【答案】B 【思路引导】先根据图象所在象限确定比例系数的符号，求出m的取值范围，再结合反比例函数的增减性判断选项即可. 【规范解答】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，比例系数， ∴，在每个象限内，随增大而增大； 解得. 4．反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】将三个点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标的值，再根据有理数大小比较法则判断大小关系即可． 【规范解答】解：分别将三个点的横坐标代入反比例函数， 当时，，当时，，当时，， ， ． 5．已知反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数的图象位于第二、四象限 B．点在该函数的图象上 C．当时，y随x的增大而增大 D．y随x的增大而减小 【答案】B 【规范解答】解：反比例函数，可得， 选项A，，反比例函数的图象位于第一、三象限，选项A错误，不符合题意； 选项B，将代入，得，点在函数图象上，选项B正确，符合题意； 选项C，在每个象限内，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小，因此选项C错误，不符合题意； 选项D，没有说明在同一象限内，整个实数范围内，函数不满足y随x的增大而减小，因此选项D错误，不符合题意． 6．下表是绘制反比例函数（常数，且）图象时所列表的一部分，若，则的大小关系是（    ） x 1 2 3 y a b A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先根据已知条件判断反比例函数中的符号，再利用反比例函数的性质比较的大小． 【规范解答】解：∵当时，，当时，，且， ∴，整理得，解得， ∵反比例函数中， ∴当时，，且在范围内，随的增大而增大， 又∵， ∴． 7．如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点，向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则的值为（   ） A． B．5 C．7 D．4 【答案】C 【思路引导】阴影部分的面积刚好等于以为斜边的大三角形的面积减去以为斜边的小三角形的面积，即可得． 【规范解答】解：如图， ∵点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上， ∴，， 又阴影部分的面积为2， ∴, 解得：． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别位于轴、轴的正半轴上，分别是的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【思路引导】连接，易得四边形，均为矩形，矩形的面积等于四边形的面积，根据值的几何意义即可得出结果． 【规范解答】解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∵分别是的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形，均为矩形， ∴， ∴四边形的面积， ∵反比例函数经过点， ∴， ∵反比例函数过第一象限， ∴， ∴． 9．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】直接将各点横坐标代入函数解析式求出对应纵坐标，再比较大小即可 【规范解答】解：∵ 点都在反比例函数的图象上 ∴ 将各点横坐标代入解析式，得 ∵ ∴ 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别位于轴、轴的正半轴上，、、、分别是、、、的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．12 B．6 C．3 D．2 【答案】B 【思路引导】连接，易得四边形均为矩形，矩形的面积等于四边形的面积，根据值的几何意义即可得出结果. 【规范解答】解：连接， ∵矩形， ∴， ∵、、、分别是、、、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形均为矩形， ∴， ∴四边形的面积， ∵反比例函数经过点， ∴， ∵反比例函数过第一象限， ∴， ∴. 二、填空题（共18分） 11．如果反比例函数 的图象位于第一、三象限内，那么 的取值范围为 ________． 【答案】 【思路引导】反比例函数中，当比例系数时，函数图象位于第一、三象限，据此列出关于的不等式求解即可 【规范解答】解：已知反比例函数的图象位于第一、三象限， 根据反比例函数的性质可得比例系数大于，即 移项得 12．已知点、在反比例函数的图像上，且，那么_______（填“”或“”或“”） 【答案】 【思路引导】根据反比例函数解析式判断比例系数符号，得到函数在各象限内的增减性，结合已知判断点所在象限，即可比较与的大小． 【规范解答】解：∵反比例函数中，比例系数， ∴反比例函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点，都在第三象限， ∴． 13．已知反比例函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为__________．（用“>”连接） 【答案】 【思路引导】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，判断三个点所在的象限，结合每一象限内函数的增减性比较函数值的大小． 【规范解答】解：反比例函数中，， 又， ， ， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ，，三点在函数图象上， ，在第二象限，点在第四象限， ， 即． 14．如图，点P是反比例函数图象上一点，过点分別作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是__________． 【答案】 【思路引导】 利用点P在第二象限及矩形面积等于 的性质确定 值． 【规范解答】解：设点的坐标为 ， 点在第二象限， ，， ∴，即 ， 过点 分别作 轴、 轴的垂线段， 矩形的长为 ，宽为 ， 矩形面积 ， ，即， ， ． 15．如图，已知双曲线经过的斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则_____，的面积为_____． 【答案】 【思路引导】因为C是的中点，已知点A坐标，所以可根据中点坐标公式求出点C的坐标．因为双曲线经过点C，所以将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出k值．因为垂直于x轴，所以D点横坐标与A点横坐标相同，将横坐标代入反比例函数解析式可求出D点纵坐标，得到的长度，利用三角形面积公式即可求出的面积． 【规范解答】解：为原点，，是的中点， 的坐标为，即． 在双曲线上，代入得． 在 中，垂直轴于， 点坐标为，在上， 的横坐标为． 把代入，得，即． ， ． 16．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，点的坐标是，连接，，，与轴平行，若的面积为3，则的值为_______． 【答案】 【思路引导】设点的纵坐标为，则AB的长度为，三角形的底边为，高等于点横坐标的绝对值，结合面积为3的条件，可列方程求解，得到点的坐标，将点坐标代入解析式即可求出的值． 【规范解答】解：∵与轴平行，， ∴点横坐标为， 设，在上， 则， 由图可知在上方，， ∴， ∵平行轴，原点到的水平距离为， ∴ 解得， ． 【考点剖析】 三、解答题（共62分） 17．（本题6分）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）将代入利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【规范解答】（1）解：将代入得 ， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，代入得， ． 18．（本题6分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【思路引导】（1）先求出点，再由待定系数法求解，以及反比例函数的对称性求解点； （2）当的解集即为反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【规范解答】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴， 再将代入，则， ∵点，关于原点对称， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴根据函数图象可得，时，或． 19．（本题6分）先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们是哪种函数． (1)当圆锥的体积是时，它的高与底面积的函数关系式； (2)积为非零常数m的两个因数y与x的函数关系； (3)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入元，以后每个月存入元，存入总数y元与月数x之间的关系． 【答案】(1)，反比例函数． (2)，反比例函数． (3)（x为非负整数），一次函数． 【思路引导】本题考查了反比例函数（）和一次函数（）的表达式，理清变量关系是解题的关键． （1）圆锥的体积等于三分之一乘底面积乘高； （2）因数乘因数等于积； （3）每个月存入元，x个月存入元，则x个月总共存入元． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ，是反比例函数； （2）由题意得，， ，是反比例函数； （3）由题意得，（x为非负整数），是一次函数． 20．（本题6分）（）画出函数的图象． ①列表： ②描点并连线． （）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 【答案】（）①见解析，②见解析；（）上升，变大． 【规范解答】（）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象； （）根据反比例函数的图象即可求解； 本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质，正确画出反比例函数的图象是解题的关键． 解：（）①列表： ②描点并连线： （）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当由小变大时随之变大． 故答案为：上升，变大． 21．（本题6分）如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与轴的交点的坐标及的面积； (3)求不等式的解集（直接写出答案） 【答案】(1)， (2)， (3)或 【思路引导】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，确定反比例函数解析式为以及，再利用待定系数法即可求解一次函数解析式． （2）先确定点，得到，再根据，计算即可． （3）利用数形结合思想，根据交点的横坐标求解即可． 【规范解答】（1）解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 代入得，， ∴， ∵一次函数经过、两点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：对于直线， 令，则，解得， ∴点， ∴， ∴． （3）解：由图象得，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 故不等式的解集为或． 22．（本题8分）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上．且满足．求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【思路引导】（1）根据点得坐标，求出反比例函数的表达式，再将点的坐标代入到反比例函数的表达式中，求出点的坐标，再用待定系数法求一次函数的表达式； （2）设直线交轴于点，设，则，结合，列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：将点代入中，得 ， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入中，得 ， ∴． 将点，代入中，得 ，解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：设直线交轴于点， ， 当时，，时，， ，， ． 设， ． ， ， ， 或， 点的坐标为或． 23．（本题8分）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，求点坐标． 【答案】(1) (2) 【思路引导】第（1）小题根据点平移后坐标为，根据待定系数法代入即可求解； 第（2）小题先做，因为，，再把点纵坐标代入反比例函数解析式即可求得点坐标． 【规范解答】（1）解：由题意得，点平移后落在反比例函数图象上的坐标为， ，． ． （2）解：过点作于点E，如图所示， ∵四边形是矩形， ． ∴， 在中，， ． ，代入得． ． 24．（本题8分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”． (1)反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式． 【答案】(1)是，见解析 (2)或 【思路引导】（1）根据“闭函数”的定义以及反比例函数的性质解答即可； （2）根据“闭函数”的定义可得当时，，然后分两种情况，结合一次函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：反比例函数是闭区间上的“闭函数”，理由如下： ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时，；当时，， ∴此时， ∴反比例函数是闭区间上的“闭函数”； （2）解：∵一次函数是闭区间上的“闭函数”， ∴当时，， 当时，此时满足时，，时，， 即， 解得：， 此时函数的解析式为； 当时，此时满足时，，时，， 即， 解得：， 此时函数的解析式为； 综上所述，此函数的解析式为或． 25．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（，）的图象相交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集________ (3)在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) (3)存在， 【思路引导】（1）将代入中，求出，得到反比例函数的表达式，再求出点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）观察图象即可求解； （3）根据正方形的性质得到，，在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，分别过点，作于点，于点，设点，通过证明得到，，进而列出关于、的方程组，解方程组即可得出答案． 【规范解答】（1）解：将点代入，可得， 反比例函数的表达式为， 将代入，得， ， 将，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）一次函数与反比例函数（，）的图象相交于点，两点， 关于的不等式的解集为， 故答案为：； （3）存在，理由如下： 四边形为正方形， ，， 是等腰直角三角形， 如图，在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，分别过点，作于点，于点， 则， ， ， ， ， 设点， ， ，，，， 在和中， ， ， ，， ， 解得， ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $