2025-2026学年苏科版八年级下册期末考试押题卷 数学

**基本信息** 苏科版八年级下册数学期末押题卷，聚焦几何变换（如菱形折叠6题、矩形折叠26题）、代数运算（分式方程17题、不等式组9题）与统计应用（20题衬衣合格率、21题垃圾分类调查），融入机器人科技情境（24题销售利润），通过动态最值探究（25题）考查抽象能力、几何直观与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|图形性质（1题轴对称与中心对称）、分式意义（5题）|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|8/24|不等式组整数解（9题）、统计频率（13题）|知识综合运用，设置多解性问题| |解答题|10/76|几何证明（22题平行四边形判定）、应用题（24题机器人销售）、动态最值（25题）|分层设计，从基础运算到复杂情境建模，体现逻辑推理与应用意识|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 思危光乡笔 2025-2026学年苏科版八年级下册期末考试押题卷 数学 (考试时间：100分钟试卷满分：120分) 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上.考试时间为100分钟， 试卷满分120分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校以及考试 证号填写在答题卡的相应位置上，并将考试证号下方对应的数字方框涂黑 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑.如需改动，请用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答， 写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效 3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚， 4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果. 第I卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑) 1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A 等边三角形 平行四边形 矩形 正五边形 试卷第1页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 供危光乡笔 2.下列计算中，正确的是() A.5+2=V5 B. 5x2=V6 c.(（5-=3-1 D.V52-32=5-3 3.下列选项中，最适合采用普查方式的是()， A.调查嘉陵江水质污染情况 B.调查一批灯泡的使用寿命 C.调查全国中学生对“十五五规划”的了解情况 D.为保证“神舟二十二号”载人航天飞船的成功发射，对其零部件进行检查 4.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，O为EF的中点，过 点O的直线分别交边AD、BC于点G、H,连接EH、HF、FG、GE.下列结论正确的 是() A D E B A.∠GEH的大小是∠D的一半： B.边EG的长度是边CD的一半： C.四边形EHFG的面积是四边形ABCD面积的一半； D.四边形EHFG的周长是四边形ABCD周长的一半. 1x-3 5.若分式x+1x-2有意义，则x的取值范围是(） A.x≠-l且x≠2 B.x≠-1且x≠3 C.x≠2且x≠3 D.x≠-l且x≠2且x≠3 6.如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6,点E在边BC上，连接AE,将△ABE沿 AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为() 试卷第2页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 巴危光乡笔 A.2 B.6-3V2 c.2V5 D.6V2-6 7.已知a=m+2024,b=m+2025,c=m+2026,则代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值 为() A.5 B.6 C.3 D.8 8.如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落 在点F处，延长EF交CD于点G,连接AG,则AG的长为() D G E A.3V5 B.2 c.2v10 D.4V2 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 4x-1<x+1 3 9.若关于x的不等式组2(x+)≥-x+a至少有2个整数解，且关于y的分式方程 a-1=2 3 y-11-y的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 10.已知实数a,b,满足a+b=6,ab=7,则ab+ab的值为一. 11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC边上中点，EC-3AE,AE=2,AB=6,则 SMAED 试卷第3页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 巴危光乡笔 D 12.盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到 球的可 能性最小.如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加一个这种颜色的球 13.小强在学校调查“你最喜欢的球类运动”，有240人参加调查，其中选篮球、足球、 排球的情况如图所示.则选篮球的频率为 一，选排球的频率为 篮球 90 足球 150 排球 70 0 50 100 人数 2x+2>x+1 5 14.如果关于的不等式组 2(x-1)s4x-a有解且至多有4个整数解，且关于v的分式方 3= 程1-y y-1的解为整数，则所有满足条件的整数（的值之和为 15.如图，在口ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B'恰好落 在边DC上；将△ADB沿AB折叠，点D的对应点D'恰好落在AE上.若∠C=a,则 ∠CB'E= (用含的式子表示) D B B 16.如图，四边形ABCD和四边形EFGH均为菱形，且菱形ABCD的面积为 18,∠A=∠E,CD落在EF边上，若△BCF的面积为8，则△BDH的面积是 试卷第4页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 供危光乡笔 三、解答题（本大题共10小题，满分76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 13 17.(4分)解方程：2x-5x 18.(4分)已知=5-26，y=5+2V6 求下列代数式的值： )+0+2 (2y+2 19.(4分)用简便方法计算： 4)0.1-2x10.1x0.1+0.01 2022+202×196+982 (2) 20.(8分)对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下： 抽取件数 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 合格频率 0.84 a 0.94 0.88 0.89 0.91 6 (1)计算表中a,b的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率. (2)估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件。 21.(8分)某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动.为了解学 生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷 调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完 整的统计表和统计图. 试卷第5页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 供危光乡笔 频 等级 频率 数 优秀 42 0.42 良好 1 0.40 合格 12 待合 6 0.06 格 人数 50 42 40 30 20 12 10 ■ 0 优秀 良好 合格待合格 等级 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查随机抽取了名学生： (2)在表中，m=-,n=_; (3)补全条形统计图 22.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，E为线段DB延长线上的一点，连接AE.请 完成以下作图和填空： (I)在平行四边形ABCD的外部，用尺规作∠DCF=∠BAE,且CF交直线BD于点F,连接 CE,AF. (2)在(1)问的条件下，求证：四边形AECF是平行四边形， 证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB‖CD,.①一 试卷第6页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 思危光乡笔 :LABD+∠ABE=180°，∠CDB+∠CDF=180°，②-， ∠ABE=∠CDF AB=CD 在 和 中， ABE△CDF ∠BAE=∠DCF'·△ABE≌ACDF(ASM)' ∴③一，∠AEB=∠CFD,④，“四边形AECF是平行四边形. 23.(8分)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD‖BC, ∠ABC=90°，有下列条件： ①ABIICD,②AD=BC. D B (I)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形： (2)在(1)的条件下，若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积. 24.(8分)2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随 着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线.这场表演不仅让观众惊叹于机 器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热 议的焦点.某公司计划购买小B两种机器人进行销售.已知每个B种机器人比A种机器人 贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍. (1)求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个， 且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍.据市场销售分析，当A种机器人提价 6 15%,B种机器售价为购买价的5倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人 全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案， 25.(10分)问题提出 (1)如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5,BC=12,若P是边AC上一点，则 BP的最小值为 问题探究 试卷第7页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 思危光乡笔 (②)如图2，在Rt△ABC中，B=BC, AC ,斜边AC的长 4W5,B是BC的中点，P是边 BC AC上一点，试求PB+PE的最小值. 问题解决 (3)某城区有一个五边形MBCDP空地（∠M=∠P=∠PDC=90°，∠C=150°），城建 部门计划利用该空地建造一个居民户外活动广场，其中△MAB的部分规划为观赏区，用 于种植各类鲜花，△APD部分规划为音乐区，供老年合唱团排练合唱或广场舞使用，四边 形ABCD部分为市民健身广场，如图③所示.已知AD=100米，CD=50米，∠BAD=60°」 ∠ABC=90°.为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要在AB, AD上分别取点E,F,铺设一条由CE,EF,FC连接而成的步行景观道，已知铺设景观 道的成本为100元/米，求铺设完这条步行景观道所需的最低成本. D 图① 图② 图③ 26.(12分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=8,点E,F分别在边AD, BC上，且AE=CF.将该纸片沿EF折叠，点A,B分别落在点G,H处，H与边AD 相交于点M,连接EH. (1)△EFM面积的最小值为()； (2)求证：DM=HM: (3)若△EFH是以EH为腰的等腰三角形，求AE的长. G M 试卷第8页，共26页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年苏科版八年级下册期末考试押题卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为100分钟．试卷满分120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校以及考试证号填写在答题卡的相应位置上，并将考试证号下方对应的数字方框涂黑． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则和整式乘法公式，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：∵与不是同类二次根式，无法直接合并相加，∴，A错误． 选项B：∵根据二次根式乘法法则，，∴，B正确． 选项C：∵根据完全平方公式，，∴，C错误． 选项D：∵，，，∴，D错误． 3．下列选项中，最适合采用普查方式的是（    ）． A．调查嘉陵江水质污染情况 B．调查一批灯泡的使用寿命 C．调查全国中学生对“十五五规划”的了解情况 D．为保证“神舟二十二号”载人航天飞船的成功发射，对其零部件进行检查 【答案】D 【分析】当调查事关重大、要求精度高，且无破坏性时适合普查，若调查范围大，或调查具有破坏性，适合抽样调查，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．∵嘉陵江流域范围大，普查工作量大不符合实际， ∴适合抽样调查，此选项不符合题意； B．∵调查灯泡使用寿命具有破坏性， ∴适合抽样调查，此选项不符合题意； C．∵全国中学生数量多，调查范围过大， ∴适合抽样调查，此选项不符合题意； D．∵载人航天飞船发射事关安全，每个零部件的检测要求准确，不能出错， ∴适合采用普查，此选项符合题意． 4．如图，在平行四边形中，E、F分别为边、的中点，O为的中点，过点O的直线分别交边、于点G、H，连接、、、．下列结论正确的是（     ） A．的大小是的一半； B．边的长度是边的一半； C．四边形的面积是四边形面积的一半； D．四边形的周长是四边形周长的一半． 【答案】C 【分析】由题意易得四边形都为平行四边形，四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可进行排除选项． 【详解】解：由题意可得如图所示： ∵四边形是平行四边形，O为的中点， ∴， ∵E、F分别为边、的中点， ∴， ∴四边形都为平行四边形， ∵O为的中点， ∴， ∵过点O的直线分别交边、于点G、H， ∴根据平行四边形是中心对称图形可知：， ∵， ∴四边形是平行四边形， 对于A、B选项，随着直线的位置变化，平行四边形的形状也会随之改变，进而可知：的大小不一定是的一半，边的长度不一定是边的一半，故错误； 对于C选项：∵， ∴， ∵， ∴，故该选项正确； 根据三角形三边关系可知：， ∴， 即， ∴四边形的周长不一定是四边形周长的一半，故该选项错误． 5．若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 6．如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 7．已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【详解】解：，，， ，，， ， 故选：C． 8．如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】16 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于的一元一次不等式组至少有两个整数解， ， 解得， 解方程，得， 关于的分式方程的解为非负整数， 且，是偶数， 解得且，是偶数， 且，是偶数， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：16． 10．已知实数a，b，满足，，则的值为______． 【答案】42 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】 ． 故答案为：42． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝________ 【答案】3 【分析】作DF⊥AC，垂足为F，然后证明DF是中位线，得到，再利用面积公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：作DF⊥AC，垂足为F，如图 ∵∠BAC＝90°，DF⊥AC， ∴∠BAC＝∠DFC， ∴AB∥DF， ∵D为BC边上中点， ∴AD=BD=CD， ∴点F是AC的中点， ∴， ∵AE＝2， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题 12．盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到_______球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加_______个这种颜色的球． 【答案】 红 6 【分析】本题主要考查了可能性大小的实际应用，掌握可能性大小的比较方法是解题的关键． 比较盒子里白球、黄球、红球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之，数量最少的，摸到的可能性就最小．要使拿到这种颜色的球可能性最大，则其个数至少要比7多1，据此即可确定需要增加的个数． 【详解】解：∵， ∴红球的数量最少，所以从中任意摸一个球，摸到红球的可能性最小． ∵（个）， ∴要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加6个这种颜色的球． 故答案为：红，6． 13．小强在学校调查“你最喜欢的球类运动”，有人参加调查，其中选篮球、足球、排球的情况如图所示．则选篮球的频率为______，选排球的频率为______． 【答案】 【分析】本题考查了频率的计算公式，熟练掌握频率的计算公式是解答本题的关键． 根据频率的计算公式解答即可． 【详解】解：由题意得：，， 选篮球的频率为，选排球的频率为， 故答案为：，． 14．如果关于的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组．先解两个不等式，再根据不等式组有解且至多有4个整数解得到，再解分式方程确定的值即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式，得：， ∴， ∵关于的不等式组至多有4个整数解， ∴， ∴， 由，得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴或或或且， ∴所有满足条件的整数有或， ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 15．如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形面积，掌握菱形的性质是解题关键．连接，根据菱形的性质，推出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形和四边形都是菱形， ，，，， ，， ， ， ， ， 和同底等高， ， 菱形的面积为，的面积为， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 该分式方程的解为． 18．（4分）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)99 (2)10 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可； （2）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． ∴． （2）解：， ， ． ∴． 19．（4分）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 20．（8分）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下： 抽取件数 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 合格频率 a b (1)计算表中a，b的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率． (2)估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件． 【答案】(1)，， (2)200件 【分析】（1）根据频数÷总数＝频率，分别求出a、b即可，再根据频率可靠性可知总数越大时频率越稳定，故总数为1000时所得频率即为每一件衬衣的合格率； （2）利用一件衬衣的合格率×总数=频数，即可合格的衬衣数量，再用总量-合格的衬衣数量=次品数量． 【详解】（1）解：， ， 根据表格数据，估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.90； （2）解：次品的件数约为（件）． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率的应用，解答此题关键是估计出任取1件衬衣是次品的概率． 21．（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 频数 频率 优秀 42 良好 m 合格 12 n 待合格 6 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查随机抽取了 名学生； (2)在表中， ， ； (3)补全条形统计图． 【答案】(1)100 (2)40， (3)见解析 【分析】本题考查了统计表与频数分布直方图综合，理解统计表并会应用数据是解题关键． （1）用“优秀”的频数除以频率即可； （2）用调查总数乘以“良好”的频率得到的值，用“合格”的频数除以调查总数得到； （3）根据（2）的结果补全频数分布直方图即可． 【详解】（1）解：（名） 故答案为：； （2）解：， ， 故答案为：， （3）解：补全频数分布直方图，如图所示， 22．（8分）如图，在平行四边形中，E为线段延长线上的一点，连接．请完成以下作图和填空： (1)在平行四边形的外部，用尺规作，且交直线于点F，连接，． (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴___①___， ∵，，∴___②___， 在和中，，∴， ∴___③___，，∴___④___，∴四边形是平行四边形． 【答案】(1)如图即为所求． (2)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴①， ∵，， ∴②， 在和中，， ∴， ∴③，， ∴④， ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据题意作图即可． （2）根据题中思路求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 23．（8分）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②．    (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 选择①， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 选择②， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】本题考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明是平行四边形，然后根据矩形的定义得到结论即可； （2）利用勾股定理得到长，然后利用矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴矩形的面积为． 24．（8分）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】(1)种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． (2)购进了种机器人个，种机器人个；最大利润万元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数最值问题等知识点，理解题意合理列出方程是解题的关键． （1）设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，利用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍的关系列出分式方程求解即可； （2）先运算出和的售价，设购买的数量为个，则的数量为个，列出不等式方程组求出的取值范围，再通过利润的表达式分析出方案即可． 【详解】（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 由题意可得： 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴种机器人的价格为（万）， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． （2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， ∴由题意可得：， 解得：， ∴， ∵利润， ∵ ∴当越小时，利润最大， 把代入可得：， ∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 25．（10分）问题提出 （1）如图①，在中，，，，若P是边上一点，则的最小值为______． 问题探究 （2）如图②，在中，，斜边的长为，E是的中点，P是边上一点，试求的最小值． 问题解决 （3）某城区有一个五边形空地（，），城建部门计划利用该空地建造一个居民户外活动广场，其中的部分规划为观赏区，用于种植各类鲜花，部分规划为音乐区，供老年合唱团排练合唱或广场舞使用，四边形部分为市民健身广场，如图③所示．已知米，米，，．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要在，上分别取点E，F，铺设一条由，，连接而成的步行景观道，已知铺设景观道的成本为100元/米，求铺设完这条步行景观道所需的最低成本． 【答案】（1）；（2）最小值为；（3）铺设完这条步行景观道所需的最低成本为15000元 【分析】（1）当时，的值最小，利用求的面积求解即可； （2）以，为边作正方形，连接，，从而证明，可得当D，P，E三点共线时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理求值即可； （3）所需成本最低即求的最小值，分别作点C关于，的对称点，，在，上任取点E，F，连接，，，，，，由轴对称的性质，得，，从而可知有最小值， 分别延长，，相交于点N，连接，从而证明是等边三角形，可求，进而求出，再证明四边形为菱形可得，即可利用勾股定理求得结果． 【详解】解:（1）在中，，，， ， ∵当，的值最小， ， 又， ， ． （2）在中，，，， ，即， ， ∵E是的中点， ． 如图2，以，为边作正方形，连接，， 由正方形的轴对称性，得， ， ∴当D，P，E三点共线时，最小，最小值为的长． 由勾股定理，得， 的最小值为． （3）如图3，分别延长，，相交于点N，连接， 在四边形中，， ， 是等边三角形， （米），C是的中点， ，由勾股定理，得（米）． 分别作点C关于，的对称点，，在，上任取点E，F，连接，，，，，， 设O是与的交点，由轴对称的性质，得，， ，即E，F，，在一条直线上时，有最小值， 在中，，， （米），（米）． 连接，，是的中垂线，， 为等边三角形， ， ∴四边形为菱形， ∴O是的中点，． 在中，， ，（米）， 由勾股定理，得（米）， （米）， （元）， 答：铺设完这条步行景观道所需的最低成本为15000元． 【点睛】本题考查了垂线最短和三角形面积公式、等边三角形的判定和性质、菱形的性质和判定及勾股定理，正确作出辅助线得出有最小值是解题的关键． 26．（12分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF．将该纸片沿EF折叠，点A，B分别落在点G，H处，FH与边AD相交于点M，连接EH． （1）△EFM面积的最小值为（） ； （2）求证：DM＝HM； （3）若△EFH是以EH为腰的等腰三角形，求AE的长． 【分析】（1）利用折叠的性质和矩形的性质得到ME＝MF，利用三角形的面积公式和垂线段最短的性质得到当ME最小时，△EFM面积取得最小值； （2）连接FD，利用折叠的性质和矩形的性质得到CF＝GE，利用全等三角形的判定与性质得到EH＝DF，∠EHG＝∠FDC，通过证明△HME≌△DMF即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当EH＝EF时，连接EB，过点E作EN⊥BC于点N，利用折叠的性质，矩形的性质和等腰三角形的性质BN＝NF＝CF，则结论可求；②当EH＝HF时，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得到点H落在AD上，连接BE，由折叠的性质可得：BE＝HE，设AE＝x，则EH＝BE＝8﹣x，利用勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：∠BFE＝∠MFE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠MEF＝∠BFE， ∴∠MEF＝∠MFE， ∴ME＝MF， ∵，CD＝AB＝4， ∴当ME最小时，△EFM面积取得最小值， ∴当MF⊥AD时，MF取得最小值4， ∴△EFM面积的最小值为8． 故答案为：8； （2）证明：连接FD，如图， 由折叠的性质可得：∠G＝∠A＝∠GHF＝∠B＝90°，AE＝GE，AB＝GH， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴CD＝GH，∠G＝∠C＝90°， ∵AE＝CF， ∴CF＝GE． 在△HGE和△DCF中， ， ∴△HGE≌△DCF（SAS）， ∴EH＝DF，∠EHG＝∠FDC， ∴∠EHM＝∠FDM． 在△HME和△DMF中， ， ∴△HME≌△DMF（AAS）， ∴DM＝HM； （3）解：若△EFH是以EH为腰的等腰三角形， ①当EH＝EF时，连接EB，过点E作EN⊥BC于点N，如图， 由折叠的性质可得：BE＝HE， ∵EH＝EF， ∴BE＝EF， ∵EN⊥BC， ∴BN＝NF， ∵∠A＝∠ABC＝90°，EN⊥BC， ∴四边形ABNE为矩形， ∴AE＝BN， ∵AE＝CF， ∴BN＝NF＝CF， ∵BC＝8， ∴BN＝NF＝CF， ∴AE＝CF； ②当EH＝HF时， ∵EH＝HF， ∴∠HEF＝∠HFE， 由折叠的性质可得：∠BFE＝∠HFE， ∴∠BFE＝∠HEF， ∴HE∥BF， ∴此时点H落在AD上，连接BE，如图， 由折叠的性质可得：BE＝HE， 设AE＝x，则EH＝BE＝8﹣x， ∵∠A＝90°， ∴AB2+AE2＝BE2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， ∴x＝3． ∴AE＝3． 综上，若△EFH是以EH为腰的等腰三角形，AE的长为或3． 试卷第20页，共26页 试卷第19页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $