精品解析：四川南充市南部县东辰学校2025-2026学年高二下学期第一次期末模拟考试数学试题

南部东辰高2024级第一次期末模拟考试 数学试题 命题人：张亮 审题人：刘军 一、单选题 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列项的性质计算即可. 【详解】因为是等差数列， 所以,所以. 故选：D. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【详解】根据正态分布性质可知，所以 ， 所以 . 3. 已知随机变量 的概率分布如下表，则（ ）  x 1 2 3 P 其中 A. 2 B. 0.6 C. 5 D. 2.4 【答案】D 【解析】 【详解】 ， ， ， ， ， 故选项D正确. 4. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲乙不相邻，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法. 先将丙、丁捆绑为一个整体，再与戊排列，形成空位，将甲、乙插入空位中. 【详解】把丙、丁看作一个整体，内部排列有种.将这个整体与戊一起排列，共有种顺序. 排好后形成3个空位，将甲、乙插入其中两个空位，且不相邻，有种， 因此总排列数为种. 5. 记为等比数列的前项和，若 ，则 （   ） A. 9 B. 15 C. 21 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列为等比数列，则成等比数列求解． 【详解】因为数列为等比数列， 所以成等比数列， 即成等比数列， 所以， 所以． 6. 在的展开式中，含项的系数是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】的通项公式为，可知的展开式中，含项的系数是， 的展开式中，含项的系数为， 利用组合数的性质化简得. 7. 已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且 ，则不等式 的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，求得且 ，把不等式转化为 ，得到，结合单调性，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得，所以在单调递减， 又因为，可得 ， 则不等式 ，即，可得 ， 即，所以，即不等式 的解集为. 8. 已知， ，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先构造函数 ，判断单调性后，代入即可比较大小；然后构造函数 ，判断单调性后，代入即可比较 大小. 【详解】设 ，求导，得 ，令 ，得， 当时，，在区间上单调递减； 则 ，所以 ，所以 ，当时，取等号， 当时，得，则 . 设 ，，则， 令 ，， ， 令 ，， ， 所以在区间上单调递增，则 ， 所以在区间上单调递减，所以 ， 所以 在区间上恒成立，则在区间上单调递减， 因为，所以 ，即，则. 综上， . 二、多选题 9. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第 层有个球，则（   ） A. B. C. 是等差数列 D. 为偶数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用累加法得即可判断A，B，C，D选项． 【详解】根据题意，当时，， 累加得， ，易知 也满足，所以， ，故A正确； ，，故B正确； ，因为 为常数，所以 是公差为1的等差数列，故C正确； 为奇数，故D错误. 10. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A，令 ，代入 ， 得，即 ，A正确； 选项B， ，是的系数，取 ， 则 ，B正确； 选项 C，令 ，则 ， 令 ，则 ， 两式相减， 得到 ， 解得 ，即 ，C错误； 选项D，对两边求导， 得到， 令 ，得到=，D正确. 11. 已知数列 满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（ ） A. B. 偶数项是等比数列 C. D. 【答案】ADC 【解析】 【分析】直接计算出判断A，计算出后可判断B，由递推关系得出数列 的奇数项的关系，从而利用等比数列的通项公式求解判断C，利用分组求和法求和判断D. 【详解】对A，由已知， ，A正确； 对B，由已知 ， ，，， 显然，因此偶数项不是等比数列，B错； 对C，，所以 ， 又 ，所以 是等比数列，且公比为， 所以，从而 ，C正确； 对D，由选项C得， ， 又 ， 所以 ，D正确. 三、填空题 12. 在正项等比数列中，， ，求________. 【答案】 【解析】 【分析】设正等比数列的公比为 ，根据等比数列的性质，求得 ，再由等比数列的通项公式，求得 ，进而求得的值. 【详解】设正项等比数列的公比为 ，且 ， 因为，根据等比数列的性质，可得 ，所以 ， 又因为，可得 ，解得 ， 因为，所以 ，则 . 13. 若函数在处有极小值，则常数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，计算并验证即可． 【详解】由， 则， 又函数在处有极小值， 则，解得或， 当时，令，解得，或， 则当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增， 此时在处有极小值，符合题意； 当时，令，解得，或， 则当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增， 此时在处有极大值，不符合题意， 综上所述：． 14. 如图是一块高尔顿板的示意图．黑点表示木钉.小球下落过程中，每次碰到木钉后可能向左或向右下落，其中向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入________号格子的概率最大． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得小球掉入 号格子的概率为，由此列出不等式组求解即可. 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左下落的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子需要向左10次，其概率为； 小球掉入1号格子需要向左9次，向右1次，其概率为； 小球掉入2号格子需要向左8次，向右2次，其概率为； 小球掉入3号格子需要向左7次，向右3次，其概率为； …… 依此类推，小球掉入 号格子需要向左 次，向右次，其概率为； 设小球掉入号格子的概率最大，显然 ， 则， 即， 所以， 解得， 又因为为整数， 所以. 即小球落入8号格子的概率最大. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求在点处的切线方程． 【答案】（1）极大值，无极小值； （2） 【解析】 【小问1详解】 ，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在时取到极大值，无极小值； 【小问2详解】 因，故，， 故切线方程为：，整理得：. 16. 记为数列的前项和，记 （1）求的通项公式； （2）设，证明： 【答案】（1） （2）由，代入通项得，变形得， 对和式裂项相消得. 因为是正整数，，所以，因此， 即，得证. 【解析】 【分析】（1）分别讨论和，利用​，并验证首项是否满足公式； （2）由得的裂项形式，将和式裂项相消后转化为关于的简单表达式，再利用分母为正进行放缩，完成不等式证明. 【小问1详解】 当时，； 当时，，代入得 ， 验证时，，符合上式. 因此的通项公式为. 【小问2详解】 略. 17. 已知等差数列的前项和为，且，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项和公差，从而列方程组求出首项和公差，进而得到数列的通项公式； （2）对求导后，可知是等差乘等比结构的求和问题，用错位相减法即可计算出结果． 【小问1详解】 由数列为等差数列，设首项为，公差为， 又对恒成立，所以有， 联立， 即， 解得 所以 ， 故数列的通项公式为． 【小问2详解】 由， 则， 所以， ， 两式相减得： ， 所以． 18. 某学校有、两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐．此后，如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天还去餐厅的概率为 ；如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天去餐厅的概率为 ． （1）记甲、乙、丙3位同学中第2天选择餐厅的人数为 ，求随机变量的分布列和期望； （2）甲同学第天去餐厅就餐的概率为，求的通项公式 （3）记甲同学前天去餐厅就餐的次数为，求 （提示： ） 【答案】（1）随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 的期望为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）不妨假设甲、乙、丙3位同学中第2天选择餐厅就餐相互独立，那么首先求出任意一位同学第天选择去餐厅就餐的概率，依题意可得，根据二项分布的概率公式求出分布列，从而求出数学期望； （2）甲同学第天去餐厅的概率为，那么， 当时，， 即可得到数列是以为首项，为公比的等比数列，求出的通项. （3）令，则，所以， 再计算出 . 【小问1详解】 不妨假设甲、乙、丙3位同学中第2天选择餐厅就餐相互独立，那么 设一位同学第天选择去餐厅就餐的概率为，则． 则，所以，， ，， 故的分布列如下表所示： 0 1 2 3 则的期望为. 【小问2详解】 甲同学第天去餐厅的概率为，那么， 当时，， 所以，， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，， 故. 【小问3详解】 令，则, 那么, 由于 , 所以， . 19. 已知函数f (x)＝a ln x－x＋1(a∈R)， （1）讨论函数f (x)的单调性； （2）若，存在，满足 ，证明： （3）当时， ，求 的取值范围. 【答案】（1） 时，的减区间是 ，时，的增区间是 ，减区间是 ． （2）由（1）知在 上递增，在 上递减， 存在，满足 ，不妨设，则， 要证 ，只要证，由于 ，在 上递减， 所以只要证 ，而 ，所以只要证 ， 设 ， 则 ， ， 因为 ，则，所以 ， 所以是增函数，所以 ， 所以 时， ，即 ， 所以 ， 所以 成立． （3） ． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，然后分类讨论，由得增区间，由得减区间； （2）不妨设，则，要证 ，只要证，由于 ，在 上递减，只要证 ，而 ，所以只要证 ，设 ，由导数确定单调性可证； （3）把不等式 化简为 ，由定义域得 ，然后按 分类讨论求解． 【小问1详解】 ，的定义域是 ， 时， 时，恒成立，的减区间是 ； 时， 时，， 时，，所以的增区间是 ，减区间是 ， 综上， 时，的减区间是 ，时，的增区间是 ，减区间是 ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式 即为 ，即 ， 当时， 恒成立，则由定义域得 在时恒成立，所以 ， ， 时，不等式 为 ，不成立， 时，不等式 化为 ，， ， ，由已知对恒成立，所以 ，所以 ， 时，不等式 化为 ，， ，由于 ，而，此不等式不成立， 综上， 的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南部东辰高2024级第一次期末模拟考试 数学试题 命题人：张亮 审题人：刘军 一、单选题 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 3. 已知随机变量 的概率分布如下表，则（ ）  x 1 2 3 P 其中 A. 2 B. 0.6 C. 5 D. 2.4 4. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲乙不相邻，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 5. 记为等比数列的前项和，若 ，则 （   ） A. 9 B. 15 C. 21 D. 27 6. 在的展开式中，含项的系数是（   ） A. B. C. D. 7. 已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且 ，则不等式 的解集为（    ） A. B. C. D. 8. 已知， ，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第 层有个球，则（   ） A. B. C. 是等差数列 D. 为偶数 10. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列 满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（ ） A. B. 偶数项是等比数列 C. D. 三、填空题 12. 在正项等比数列中，， ，求________. 13. 若函数在处有极小值，则常数的值为________． 14. 如图是一块高尔顿板的示意图．黑点表示木钉.小球下落过程中，每次碰到木钉后可能向左或向右下落，其中向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入________号格子的概率最大． 四、解答题 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求在点处的切线方程． 16. 记为数列的前项和，记 （1）求的通项公式； （2）设，证明： 17. 已知等差数列的前项和为，且，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的值． 18. 某学校有 、两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐．此后，如果某同学某天去 餐厅，那么该同学下一天还去 餐厅的概率为 ；如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天去 餐厅的概率为 ． （1）记甲、乙、丙3位同学中第2天选择 餐厅的人数为 ，求随机变量的分布列和期望； （2）甲同学第天去 餐厅就餐的概率为，求的通项公式 （3）记甲同学前天去 餐厅就餐的次数为，求 （提示： ） 19. 已知函数f (x)＝a ln x－x＋1(a∈R)， （1）讨论函数f (x)的单调性； （2）若，存在，满足 ，证明： （3）当时， ，求 的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $