精品解析：北京市交道口中学 2025-2026学年 八年级数学下学期 期中检测题 试卷

第19、20章检测题 一、选择题（10×3=30分） 1. 下列数据中，不是勾股数的是（ ）． A. 3，4，5 B. 1，2，， C. 8，15，17 D. 5，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】勾股数是能作为直角三角形三边长的三个正整数，需同时满足：三个数均为正整数，且两较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可． 【详解】解： A 三个数都是正整数，且，是勾股数，不符合题意； B 不是正整数，不符合勾股数的定义，不是勾股数，符合题意； C 三个数都是正整数，且，是勾股数，不符合题意； D 三个数都是正整数，，是勾股数，不符合题意． 2. 若一直角三角形两边长分别为3和4，第三边的长为（ ） A. 5 B. 7 C. 5 或 D. 3或5 【答案】C 【解析】 【分析】题目未明确已知边是否为直角边，因此需要分两种情况讨论，再用勾股定理计算第三边长度． 【详解】解：∵题目未说明边长为3和4的边是否均为直角边，因此分两种情况计算： 情况1：若边长为4的边是斜边，边长为3的边是直角边，设第三边长为 ， 根据勾股定理可得： ∴， ∵边长为正数， ∴． 情况2：若边长为3和4的边都是直角边，设第三边长为 ，根据勾股定理可得： ∵边长为正数， ∴． ∴第三边的长为 或． 3. 在中， ，如果，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 以上都不是 【答案】A 【解析】 【分析】本题已知直角三角形的斜边长和两条直角边的比值，可利用勾股定理设参数求解 的长度． 【详解】解：∵ ， ∴可设，，其中 ， ∵ 在中， ，斜边 ， ∴ 由勾股定理得， ∴ ， 整理得， 即， ∵ ， ∴， ∴ ． 4. 已知，，则的值为（    ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，然后代入计算可得答案． 【详解】解：，，， ， 故选：C． 【点睛】此题考查的是完全平方公式及二次根式的化简求值，能够利用完全平方公式进行变形是解决此题关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式乘以单项式的运算法则可判断A；根据二次根式的乘法运算法则可判断B；根据积的乘方运算法则可判断C；根据二次根式的性质可判断D． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、根据题意可得，即，则，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、根据题意可得，即，则，原式计算错误，不符合题意； 6. 已知，，且，则的值为（　　） A. 或 B. 2或10 C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出a，b的所有可能取值，再根据条件筛选出符合要求的取值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或 ，都不满足，故舍去， ∵ 时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 7. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴与无理数的几何意义，解题的关键是利用勾股定理计算出线段长度，结合数轴确定点 表示的实数． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长分别为和； 由勾股定理得，斜边长为； 数轴上点 在原点右侧，且到原点的距离为， 则点 表示的实数为； 故选：A． 8. 如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出 的值最大值与最小值是解题关键． 当筷子的底端在 点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在 点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出 的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在 点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ， 如图2所示，当筷子的底端在 点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在 中，，， ， 此时， 的取值范围是． 故选：D． 9. 如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、 的关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、圆的面积等知识．由勾股定理表示出三边的关系，表示出三个半圆的面积即可得出答案． 【详解】解：设直角三角形的三边分别为a，b，c，则三个半圆的半径分别为，，， 由勾股定理得，则， 两边同时乘以得， 即之间的关系为， 故选：A． 10. 如果 的小数部分分别为a，b，那么的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再分别求出和的小数部分和，最后计算的值即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴的整数部分为 ，小数部分为， ∵， ∴的整数部分为，小数部分， ． 二、填空题（5×3=15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列一元一次不等式求解，即可得到实数 的取值范围． 【详解】解：由题意得，， 移项，得， 系数化为，得． 12. 已知直角三角形中角所对的直角边长是，则另一条直角边的长是 ________ ； 【答案】##厘米 【解析】 【分析】根据含角的直角三角形的性质求出斜边长，再利用勾股定理计算另一条直角边的长度． 【详解】解：设角所对的直角边长为，斜边长为 ，另一条直角边长为． 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半， ． 由勾股定理得． 13. 已知一直角三角形的斜边长为 ，一直角边长为 ，则这个直角三角形的面积为______ ； 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出另一条直角边的长度，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可求解． 【详解】解：设另一条直角边的长度为 ， 由勾股定理得：， 整理得， 解得 （负值舍去）； 所以这个直角三角形的面积为． 14. 在直角坐标平面内，已知点，且，那么m的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】已知A、B两点的坐标，根据两点间距离公式可得的长度表达式，结合即可求解 的值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 等式两边平方得 ， 整理得， 解得. 15. 如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行最短路程（π取3）是_____cm． 【答案】10 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短的知识将圆柱的侧面展开并连接AB即可得解. 【详解】解：如下图所示：将圆柱的侧面展开，连接AB即可得到爬行的最短路程． ∵π取3， ∴底面圆周长为，底面半圆弧长为， ∴根据题意，展开得， ∴根据勾股定理得， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，画曲面问题为平面问题． 三、解答题： 16. 计算 （1） （2）； （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解：∵ ， ∴ ． 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，再求出，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：要使和有意义，被开方数必须非负，因此： 解得， 将代入， 得； 将，代入式子： ． 18. 如图，在中，D是边上一点，，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用勾股定理逆定理得出，进而利用勾股定理得出的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴ 为直角三角形 ， ∴，即 ， ∴在 中，， ∵， ∴ ∴． 19. 已知图中每个小正方形的边长为，判断的形状． 【答案】是直角三角形． 【解析】 【分析】根据勾股定理分别求出、、 的长；根据勾股定理的逆定理，即可判断的形状． 【详解】解： ， ， ， ∵ ，即， 故是直角三角形． 20. 如图，育才中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，，若每平方米草皮需要资金 元，问学校需要投入多少资金种植草皮？ 【答案】元 【解析】 【分析】直接利用勾股定理求出的值，再用勾股定理的逆定理得出，结合三角形的面积公式，求出空地的面积，即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴， 在 中，，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积 ； （元）， 即学校需要投入元种植草皮． 21. 已知，如图折叠长方形的一边 ，使点D落在 边上的点F处，如， ．求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在翻折中的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答． 首先根据勾股定理求出的长，借助翻转变换的性质及勾股定理列式求出的长，即可解决问题； 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵折叠长方形的一边 ，使点D落在 边上的点F处， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 22. 如图1，中，于 ，且． （1）试说明是等腰三角形； （2）已知，如图2，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点 运动，同时动点 从点 出发以相同速度沿线段向点 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为 （秒）． ①若的边与 平行，求 的值； ②若点是边的中点，问在点运动的过䅅中，能否成为等腰三角形？若能，求出 的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①5或6；②9或10或 【解析】 【分析】（1）设 ，， ，则，由勾股定理求出，即可得出结论； （2）由的面积求出、 、、；①当 时，；当时，；得出方程，解方程即可； ②根据题意得出当点在 上，即时，为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：证明：设 ，， ， 则， 在 中，， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 ，而， ， 则，，，． ①当 时，， 即， ， 当时，， 得：， 若的边与 平行时， 值为5或6． ② 点是边的中点，， ， 当点在上，即时，为钝角三角形，但； 当时，点运动到点 ，不构成三角形 当点在 上，即时，为等腰三角形，有3种可能． 如果，则， ； 如果，则点运动到点 ， ； 如果， 过点作 于，如图3所示： ， ， 在中， ； ，， 则在 中，， ． 综上所述，符合要求的 值为9或10或． 故答案为：9或10或． 【点睛】此题是三角综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握方程的思想方法和分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19、20章检测题 一、选择题（10×3=30分） 1. 下列数据中，不是勾股数的是（ ）． A. 3，4，5 B. 1，2，， C. 8，15，17 D. 5，12，13 2. 若一直角三角形两边长分别为3和4，第三边的长为（ ） A. 5 B. 7 C. 5 或 D. 3或5 3. 在 中， ，如果，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 以上都不是 4. 已知，，则的值为（    ） A. B. 4 C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的值为（　　） A. 或 B. 2或10 C. 10 D. 7. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、 的关系是（　　） A. B. C. D. 10. 如果 的小数部分分别为a，b，那么的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 二、填空题（5×3=15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 已知直角三角形中角所对的直角边长是，则另一条直角边的长是 ________ ； 13. 已知一直角三角形的斜边长为 ，一直角边长为 ，则这个直角三角形的面积为______ ； 14. 在直角坐标平面内，已知点，且，那么m的值是 _____． 15. 如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行最短路程（π取3）是_____cm． 三、解答题： 16. 计算 （1） （2）； （3） （4）． 17. 已知，求的值． 18. 如图，在中，D是边上一点，，，，，求的长． 19. 已知图中每个小正方形的边长为，判断 的形状． 20. 如图，育才中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，，若每平方米草皮需要资金 元，问学校需要投入多少资金种植草皮？ 21. 已知，如图折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，如， ．求的长． 22. 如图1， 中，于 ，且． （1）试说明 是等腰三角形； （2）已知，如图2，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点 运动，同时动点 从点 出发以相同速度沿线段 向点 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为 （秒）． ①若的边与平行，求 的值； ②若点是边 的中点，问在点运动的过䅅中，能否成为等腰三角形？若能，求出 的值，若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $