精品解析：北京市西城区德胜中学2025-2026学年第二学期期中诊断八年级 数学学科

北京市西城区德胜中学2025-2026学年第二学期期中诊断 初二年级数学学科 考试时间：100分钟 请将答案填涂和填写在答题卡上 一、选择题（共16题，每题2分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：A、，故该选项计算正确，符合题意； B、，故该选项计算错误，不符合题意； C、，故该选项计算错误，不符合题意； D、没有算术平方根，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：A． 2. 如图，网格中小正方形的边长为，点都在格点（网格线的交点）上，以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点 ，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由勾股定理可得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，， ∵， ∴． 3. 下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（ ）． 1 2 3 8 3 2 A. 上图中，是的函数 B. 式子中，是的函数 C. 观察表中对应关系，是的函数 D. 平面直角坐标系中一点的纵坐标是该点到原点的距离的函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义：在一个变化过程中，有两个变量、，如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数来判断四个选项． 【详解】解：选项A、图像满足垂直轴的直线与图像最多只有一个交点，即对每一个确定的，仅有唯一与之对应，符合函数定义，因此是的函数，A正确； 选项B、式子，任取一个非负数，开算术平方根后只会得到唯一的，满足函数定义，是的函数，B正确； 选项C、观察表格：每一个的值，都只对应唯一一个值，满足函数定义，是的函数，C正确； 选项D、举反例：点和点，两点到原点的距离均为，即当距离时，纵坐标有4和两个不同的值与之对应，不满足“一个对应唯一” 的函数定义，因此纵坐标不是距离的函数，D 错误． 4. 如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线 相交于点 ，测得，过点作于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，，再根据勾股定理即可得出，然后再利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解： 四边形为菱形， ， ， ，， ， 在中， 故答案为A． 5. 一次函数 与 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）． A. B. 关于，的方程组的解 C. 当 时， D. 当 时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图像的增减性、与坐标轴交点、两函数交点和函数值大小关系，逐一判断四个选项的正误． 【详解】解：根据图像，直线从左下向右上倾斜，直线从左上向右下倾斜，两直线交点坐标为， 选项A：与轴交于正半轴，故截距 ；与轴交于正半轴，故截距 ；两正数相乘：，A结论正确； 选项B：方程组整理为， 两个一次函数图像交点的横、纵坐标就是对应二元一次方程组的解， 图像交点为，因此方程组的解为，B结论正确； 选项C：单调递增，交点在轴上方()； 当时，图像在交点右侧，函数值继续变大，恒满足，C结论正确； 选项D：两直线交点为，时，图像在上方，；时，； 时，图像在下方，； 属于 的范围，此时，并非，D结论错误． 6. 如图，点 为的对角线上一点， ，，连接 并延长至点 ，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：连接BD交AC于O，由平行四边形的性质推出 ， ，判定是的中位线，推出，求出，即可得到答案； 解法二：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法三：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形 是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 解法二：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴， ∴ ∵， ∴ ． 解法三：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形 是平行四边形， ∴． 故选：B． 7. 已知点，，均在直线（k，b为常数，， ）上，且，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数的增减性，结合 和的符号，确定直线与轴交点的位置，再根据的乘积关系判断的符号，得到结论． 【详解】解：∵，∴随增大而增大， ∵，∴， 令，得直线与轴交点横坐标， ∵， ，∴，即交点在轴正半轴， 若，可得，因此， ∵，，∴，，可得，故C正确． A中可为负，可为正，， A错误； B中为负，为正，，B错误； D中可正可负，不一定小于，D错误． 8. 如图，在中，，点 是的中点，与交于点，且 ，下列说法正确的是（ ）． ①的垂直平分线交于点 ； ② ； ③当时， ； ④当 为中点时， ． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用“中点”构造等长线段，结合几何面积法验证线段与面积比例，通过计算排除错误结论． 【详解】解：结论①证明：连接， ， 是中点， 由直角三角形斜边中线定理： ， 点 到线段两端点 、 距离相等， 根据垂直平分线判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上， 在的垂直平分线上，即的垂直平分线交于 ，故①正确； 连接， 由①知 ， ， 已知 ， 为等腰三角形， ， 则 ，故②正确； ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 设 ，则 ， ， 在 中：， ， ，因此比值： ，故③正确； 连接， 由 是 中点， 是中点， ， ，为的中位线， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 由② ，得 ， ， ， ， ， 在 中， ， ， 与 同高(顶点 ，底边 、共线), ，故④错误， 综上，①②③正确． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 要使式子有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，二次根式有意义要求被开方数大于等于， 因此， 解得 ． 10. 一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用任意多边形外角和为，正多边形各外角相等的性质，即可计算得到正多边形的边数． 【详解】解：任意多边形的外角和为，正多边形的所有外角都相等， 因此该正多边形的边数为：． 11. 直线向下平移4个单位长度后，经过点，则b的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，直线上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键； 先求得一次函数平移后的解析式是，将点代入即可求出答案． 【详解】解：直线向下平移4个单位长度后解析式为， 将代入 可得 ， 故答案为：． 12. 如图，已知在矩形中，于点 ，，则 的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据矩形对角线相等而且互相平分可得 ，推出，由求出，再根据即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 13. 如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高 ，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作 于点E，连接，由勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】解：如图，过点A作 于点E，连接， 由题意可知，米，，， 则， ∴ ∴在 中，由勾股定理得：． ∴无人机飞行的最短距离为． 故答案为：15． 14. 某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度（厘米）与砝码的个数（个）之间的函数关系式是_____________（，且为整数） 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 【答案】 【解析】 【分析】观察表格中两个变量的变化规律，砝码个数每增加1，弹簧长度增加1厘米，时，据此可推导得到函数关系式． 【详解】解：根据表格数据，当时，，当砝码个数每增加1，弹簧长度增加1厘米， 因此弹簧长度与砝码个数之间的函数关系式为： ． 15. 如图，正方形边长为1， 为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取 ，连接，周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过 作 交于，连结 、 ，证四边形为矩形，得，据此知，再求出，当 时， 取得最小值，此时，从而得出答案． 【详解】解：过 作 交于，连结 、 ，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， 当 时， 取得最小值此时， 周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查轴对称最短路线问题，涉及等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称最短路线问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质及轴对称的性质． 16. 某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲款机器人先从起点匀速出发，几分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲，追上后以原速度返回起点．甲款机器人被追上后以原速度的倍继续走向终点．在整个过程中，甲、乙两款机器人之间的距离与甲款机器人行走时间之间的函数关系如图所示． 下列结论中，正确的有____________．（填序号） ①甲款机器人出发后，乙款机器人追上甲；②乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为；③点的坐标为；④甲款机器人到达终点用了 【答案】①④ 【解析】 【分析】过作轴于点 ，由图可得，当时，甲、乙两款机器人之间的距离，可判断①；根据题意和图象可得，乙款机器人追及和返回的时间均为，进而得到甲款机器人出发分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲，设乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为，得到，结合题意和象列方程求出、，可判断②；进而乙款机器人追上甲款机器人前，甲、乙两款机器人之间的距离，可判断③； 求出乙款机器人追上甲款机器人后，甲款机器人所用的时间，即可判断④． 【详解】解：如图，过作轴于点 ， 由图可得，当时，甲、乙两款机器人之间的距离， 甲款机器人出发后，乙款机器人追上甲，故①正确； 乙款机器人出发匀速追赶甲，追上后以原速度返回起点， 乙款机器人追及和返回的时间均为， ，即甲款机器人出发分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲， 设乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为， ， ， ， ， 解得， ，故②错误； 乙款机器人追上甲款机器人前，甲、乙两款机器人之间的距离为，即， 点的坐标为，故③错误； 乙款机器人追上甲款机器人后，甲款机器人所用的时间为， 甲款机器人到达终点用了，故④正确； 故答案为：①④． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18题5分，第19-20题每题6分，第21-24题每题7分，第25题8分，第26题7分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程． 求作：菱形． 作法：①作线段； ②作线段的垂直平分线 ，交于点 ； ③在直线 上取点 ，以 为圆心，长为半径画弧，交直线 于点 （点 与点 不重合）； ④连接、、、． 所以四边形为所求作的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：，， 　　． 　　， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析；（2）四边形为平行四边形，，对角线互相垂直的平行四边形为菱形 【解析】 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，然后利用对角线垂直可判断四边形ABCD为菱形． 【详解】解：（1）如图，四边形为所作； （2）完成下面的证明． 证明：，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）． 故答案为四边形为平行四边形，，对角线互相垂直的平行四边形为菱形． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定． 19. 如图，在中， 为边的中点，的延长线交的延长线于点 ，连接 ，， ．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴，， ∵ 是的中点， ∴， 在和中： ， ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，得出，则，，证明，得出，结合，得出四边形是平行四边形，结合，证出四边形是矩形． 【详解】略 20. 在由边长为1的小正方形构成的网格中，有一个顶点均在格点上的菱形，在该菱形的四条边上分别取点， ，， （不一定为格点，且不与菱形顶点重合），顺次连接这四个点构成四边形．仅使用无刻度直尺，按下列要求完成作图（若有作图痕迹，请保留）： （1）在图1中画出符合条件的一个矩形； （2）在图2中画出符合条件的一个平行四边形（不与图1中所作图形全等） （3）在图3中画出符合条件的一个菱形． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形，易得符合题意的格点， ，， ，顺次连接即可得矩形； （2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，在网格纸的格线上根据勾股定理找到符合题目条件的点， ，， ，顺次连接即可得平行四边形； （3）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，在图3的菱形内找到四个格点，其中，且直线、经过原菱形对角线交点 ，则直线、与原菱形边的交点顺次连接即得到菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，在平面直角坐标系 中，直线与轴交于点，与轴交于点 ，直线与轴交于点，与相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； （3）点 为直线上一点，若，请直接写出所有符合题意的点 的坐标． 【答案】（1）直线​的解析式为： （2）16 （3）和 【解析】 【分析】（1）将点代入直线，求出，再根据待定系数法求出直线的解析式； （2）先求出，，再求出，，根据求解即可； （3）由题意得，与同高（顶点为，底边在​上），即可得，则或，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， 将代入得：， 解得： ，即， 设直线的解析式为， 代入和得：​， 解得：， ∴直线​的解析式为：； 【小问2详解】 解：对，令得，即，； 令得 ，即， ， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得，与同高（顶点为，底边在​上）， ∴， ∴或， ∴或， 解得：或， ∴符合条件的E坐标为：和． 22. 如图，在中，，D为中点，连接，E为中点，过点B作的平行线，交的延长线于点F，连接 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，结合D为中点，可证 ，即可结合证明结论； （2）过点D作于点G，过点F作 ，交的延长线于点H，先求出 ，，根据勾股定理可求得，再分别求出，，即可根据勾股定理求得答案． 【小问1详解】 证明：， ，， 为中点， ， ， ， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，D为中点， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过点D作于点G，过点F作 ，交的延长线于点H， 为中点，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 23. 小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成： （1）下表是与的几组对应值： 0 0.5 1 2 3 5 3 1 3 则的值为______________； （2）在平面直角坐标系 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合函数的图象观察该函数的性质，下列说法正确的有___________（请填入所有正确结论的序号） ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴； ②当 时，随着的增大而增大； ③当该函数的函数值最小时，对应自变量的值有无数个 （4）结合函数的图象，进一步探究该函数与其他函数之间的关系，将函数的图象记为，一次函数的图象记为； ①当和仅有一个交点时， 的取值范围为__________； ②令，过点作轴的垂线分别交，于点，．当满足（为整数）时，存在点与点的距离等于3，则____________． 【答案】（1）1 （2）如图， （3）②③ （4）①或；②或4 【解析】 【分析】（1）将代入函数求解即可； （2）分三段得出函数解析式，再描点画图即可； （3）根据（2）中图象解答即可； （4）①根据题意得出一次函数的图象恒过点， ②分段求解即可； 【小问1详解】 解：将代入函数得： ； 【小问2详解】 解：先对函数去绝对值分段： 当 时，，连接得射线， 当时，，画的水平线段， 当时， ，连接得射线， 按上述分段描点连线即可，如图： 【小问3详解】 解：根据（2）中函数图象可得：① 函数对称轴为，不是轴，错误； ②时，随增大而增大，正确； ③ 函数最小值为，当时恒为，对应自变量有无数个，正确； 故说法正确的有：②③； 【小问4详解】 解：①在中，令，则， 即一次函数的图象恒过点， 如图，根据函数图象可得当或时，​和​仅有1个交点； ② 当​时，， ∵， ∴， ∵， 当时，，则，解得：，满足， ∴； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得，满足，得； 综上，或4． 24. 阅读下列材料并解决问题： 如图1，有一张边长为2的正方形纸片，其对角线、交于点 ，将该纸片进行一系列操作后，可以得到钻石型五边形（如图3），数据如图所示． 操作1 小德在边上取两点 、，在边上取两点 、，使，小德沿虚线，裁剪，如图4，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图5所示进行拼接．根据小德的剪拼过程，解答问题： （1）线段的长为_____________； （2）图4中所有与线段 相等的线段有_____________，请求出线段的长． 操作2 小胜说：将图2所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． （3）请你借助无刻度直尺和圆规，按照小胜的说法设计一种方案：在图6所示纸片的边上找一点，在纸片的另一边上找一点，画出裁剪线的位置，此时，线段_____________． 【答案】（1）1 （2） （3）如图，裁剪线即为所求，或 【解析】 【分析】（1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可； （2）根据（1）所求求出的长即可得到答案； （3）以 为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以为圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可． 【小问1详解】 解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ， 由拼接可得：，， 由正方形的性质可得：， ∴为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ， ， ∵正方形的边长为 2 ， ∴正方形的对角线的长为， ， ， 解得， ． 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ，， ， ∴与相等的线段有； 【小问3详解】 解：根据题意可知，需要裁剪出一个两直角边为，斜边为 2 的等腰直角三角形来填补在等腰的位置， 如图，以 为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，符合要求， 或以为圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线， 此时， ， 综上：的长为或． 25. 已知四边形是边长为的正方形，点 为平面内一点，且满足． （1）如图1，点 在正方形内部， ，点 是上一点，连接，当 时，延长交于点． ①依题意补全图形； ②求 的面积（用含的式子表示） （2）正方形对角线与交于点 ，点，是线段上的两个动点，且满足 ，连接， ，当取最大值时，直接写出 的最小值． 【答案】（1）①补全图形如图所示 ② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题目要求，利用垂直平分线的性质作图即可； ②解决本题的关键是求出 ，观察图形可以猜想出G是的中点，由此出发，结合已知条件 ，则应有 ，进而想到连接 ，过点 作 ，分别交,于,，过点 作 ，分别交 于 ，然后结合 求解即可； （2）首先确定取最大值时点E的位置，由于 分别是 和 的直角顶点，因此取中点，连接 ,，根据构成三角形的条件即可确定点E的位置；然后确定 的最小值，由 可知为定值，因此过点 作 ，且使 ，继而把和 转化为两条首尾相接的线段，利用两点之间线段最短即可求解． 【小问1详解】 ①解：如答案中图形所示，首先连接 ,作 的垂直平分线，交于点 ，由垂直平分线的性质可知 ； 然后延长交于点即可； ②解：如图1，连接 ，过点 作 ，分别交,于,，过点 作 ，分别交 于 ． 在 中，， ， 则 ． ， 在 中， ， ． 四边形为正方形， ， ， 四边形 ， ， ， 均为矩形， ， ， ， ． 在 中， ， ， 则 ， ． 在和 中， ， ． 在 和 中， ， ， ． 在 中， ， ， ， ， ． ， 即 ， . ， ； 【小问2详解】 如图2，取中点，连接 ,， 则 ． 根据构成三角形的条件，则 ， 当 ，， 在同一条直线上时，取得最大值，最大值为，如图3所示． 过点 作 ，且使 ，连接，，． 四边形为正方形， ， ， ． ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ． 根据两点之间线段最短，则 ， 与 重合时， 取得最小值，最小值为． ， ， 四边形 是平行四边形， ，， 四边形 是正方形， ， ，即 的最小值为 ． 【点睛】对于一些几何问题，我们可以先通过合理的猜想找到问题的突破点；对于一些典型的最值问题，要熟练掌握它的适用场景，切不可张冠李戴． 26. 在平面直角坐标系 中，已知点和图形，其中 ，给出如下定义：过点和且都平行于轴的直线分别记为、，图形关于直线 的对称图形记为，若图形完全落在直线与之间（包括直线和），称图形为点的“友好图形”． （1）已知点，如图1， ①在点，，，中，点的“友好图形”有___________； ②正方形的顶点分别为，，，，若正方形是点的“友好图形”，直接写出的取值范围__________； （2）已知是直线 上一个动点（除去原点），直线 与轴，轴分别交于点， ，如图2，如果 是动点的“友好图形”，直接写出的取值范围____________． 【答案】（1）①​；② （2）或​ 【解析】 【分析】（1）①根据题意可得点关于对称，横纵坐标互换，即原 对称后纵坐标 ，再根据定义分别判断即可； ②正方形横坐标范围为 ，对称后纵坐标 ，要求所有 ，据此列不等式组求解即可； （2）求出点的对称点纵坐标后，根据对称后所有点 ，列式求解即可； 【小问1详解】 解：对点 ： ， ，要求对称后图形所有点纵坐标满足 ； 对称直线为 ，根据点 关于 对称得上的点，需验证纵坐标满足范围； ∵ ，即 ，对称直线，要求 ， ①点关于对称，横纵坐标互换，即原 对称后纵坐标 ： ： ， ，符合； ： ， ，不符合； ： ， ，不符合； ： ， ，符合； 故友好图形为​； ②根据题意可得，正方形横坐标范围为 ， 对称后纵坐标 ，要求所有 ， ∴， 解得： ； 【小问2详解】 解： 在 上，故 ， ， 要求对称后所有点 ， 在直线 中，令，则；令，则； ∴， 则 的顶点为 ，原点对称后仍为原点，只需验证对称点纵坐标： 设关于关于直线 的对称点为， 则中点分别为， ∵的中点都在直线 上， ∴则 ， 在直线 上取点， ∴， 则，解得：， 则，解得：， 故点关于直线 的对称点的纵坐标为，点 对称后纵坐标为， 对​： ​，约去 得 ，即 ，解得​，即或​， 代入验证， ，不等式恒成立；即恒满足 ， 故的范围是或​． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区德胜中学2025-2026学年第二学期期中诊断 初二年级数学学科 考试时间：100分钟 请将答案填涂和填写在答题卡上 一、选择题（共16题，每题2分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，网格中小正方形的边长为，点都在格点（网格线的交点）上，以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（ ）． 1 2 3 8 3 2 A. 上图中，是的函数 B. 式子中，是的函数 C. 观察表中对应关系，是的函数 D. 平面直角坐标系中一点的纵坐标是该点到原点的距离的函数 4. 如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线 相交于点，测得，过点作于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数 与 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）． A. B. 关于，的方程组的解 C. 当 时， D. 当 时， 6. 如图，点为的对角线上一点， ，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 7. 已知点，，均在直线（k，b为常数，， ）上，且，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，在中，，点是的中点，与交于点，且 ，下列说法正确的是（ ）． ①的垂直平分线交于点； ② ； ③当时， ； ④当为中点时， ． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 要使式子有意义，则的取值范围是___________． 10. 一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______． 11. 直线向下平移4个单位长度后，经过点，则b的值是__________． 12. 如图，已知在矩形中，于点，，则 的度数是______． 13. 如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高 ，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为___________． 14. 某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度（厘米）与砝码的个数（个）之间的函数关系式是_____________（，且为整数） 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 15. 如图，正方形边长为1，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取 ，连接，周长的最小值为______． 16. 某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲款机器人先从起点匀速出发，几分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲，追上后以原速度返回起点．甲款机器人被追上后以原速度的倍继续走向终点．在整个过程中，甲、乙两款机器人之间的距离与甲款机器人行走时间之间的函数关系如图所示． 下列结论中，正确的有____________．（填序号） ①甲款机器人出发后，乙款机器人追上甲；②乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为；③点的坐标为；④甲款机器人到达终点用了 三、解答题（共68分，第17题8分，第18题5分，第19-20题每题6分，第21-24题每题7分，第25题8分，第26题7分） 17. 计算： （1） （2） 18. 下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程． 求作：菱形． 作法：①作线段； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在直线上取点，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点（点与点不重合）； ④连接、、、． 所以四边形为所求作的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：，， 　　． 　　， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 19. 如图，在中，为边的中点，的延长线交的延长线于点，连接 ，， ．求证：四边形是矩形． 20. 在由边长为1的小正方形构成的网格中，有一个顶点均在格点上的菱形，在该菱形的四条边上分别取点，，，（不一定为格点，且不与菱形顶点重合），顺次连接这四个点构成四边形．仅使用无刻度直尺，按下列要求完成作图（若有作图痕迹，请保留）： （1）在图1中画出符合条件的一个矩形； （2）在图2中画出符合条件的一个平行四边形（不与图1中所作图形全等） （3）在图3中画出符合条件的一个菱形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； （3）点为直线上一点，若，请直接写出所有符合题意的点的坐标． 22. 如图，在中，，D为中点，连接，E为中点，过点B作的平行线，交的延长线于点F，连接 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成： （1）下表是与的几组对应值： 0 0.5 1 2 3 5 3 1 3 则的值为______________； （2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合函数的图象观察该函数的性质，下列说法正确的有___________（请填入所有正确结论的序号） ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴； ②当 时，随着的增大而增大； ③当该函数的函数值最小时，对应自变量的值有无数个 （4）结合函数的图象，进一步探究该函数与其他函数之间的关系，将函数的图象记为，一次函数的图象记为； ①当和仅有一个交点时，的取值范围为__________； ②令，过点作轴的垂线分别交，于点，．当满足（为整数）时，存在点与点的距离等于3，则____________． 24. 阅读下列材料并解决问题： 如图1，有一张边长为2的正方形纸片，其对角线、交于点，将该纸片进行一系列操作后，可以得到钻石型五边形（如图3），数据如图所示． 操作1 小德在边上取两点、，在边上取两点、，使，小德沿虚线，裁剪，如图4，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图5所示进行拼接．根据小德的剪拼过程，解答问题： （1）线段的长为_____________； （2）图4中所有与线段相等的线段有_____________，请求出线段的长． 操作2 小胜说：将图2所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． （3）请你借助无刻度直尺和圆规，按照小胜的说法设计一种方案：在图6所示纸片的边上找一点，在纸片的另一边上找一点，画出裁剪线的位置，此时，线段_____________． 25. 已知四边形是边长为的正方形，点为平面内一点，且满足． （1）如图1，点在正方形内部， ，点是上一点，连接，当 时，延长交于点． ①依题意补全图形； ②求 的面积（用含的式子表示） （2）正方形对角线与交于点，点，是线段上的两个动点，且满足 ，连接， ，当取最大值时，直接写出 的最小值． 26. 在平面直角坐标系中，已知点和图形，其中 ，给出如下定义：过点和且都平行于轴的直线分别记为、，图形关于直线 的对称图形记为，若图形完全落在直线与之间（包括直线和），称图形为点的“友好图形”． （1）已知点，如图1， ①在点，，，中，点的“友好图形”有___________； ②正方形的顶点分别为，，，，若正方形是点的“友好图形”，直接写出的取值范围__________； （2）已知是直线 上一个动点（除去原点），直线 与轴，轴分别交于点，，如图2，如果 是动点的“友好图形”，直接写出的取值范围____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $