精品解析：北京市回民学校2025—2026学年度第二学期期中练习（4月）初二 数学

北 京 市 回 民 学 校 2025－2026学年度第二学期期中练习（4月） 初二 数学 考生须知： 1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题．满分110分．考试时间100分钟． 2．在试卷上准确填写学校名称，班级名称，姓名． 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 （每小题2分，共16分） 一、选择题，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，2 C. 6，8，10 D. 1， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等且互相平分的四边形是菱形 C. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形 5. 如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. 13厘米 B. 17厘米 C. 厘米 D. 5厘米 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 在等边中，为边的中线，将此三角形沿剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是( ) A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共84分） 二、填空题 （本题共16分，每小题2分） 9. 若 有意义，则x的取值范围是___________． 10. 在中，，则的度数是_____________． 11. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是________． 12. 在四边形中，对角线，互相平分，若添加一个条件使得四边形是菱形，则这个条件可以是_______ 13. 如图，中，，D，E，F分别为，，的中点，已知，则___________． 14. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图1所示．在图2中，若正方形的边长为7，正方形的边长为1，且，则正方形的边长为______． 15. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位，书中记载了一道“荡秋千”问题．其译文为：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千长为x尺，则可列方程为_______________． 16. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④是等边三角形．其中正确的是_____ 三、解答题 （本题共68分，17题18分，18-20每小题6分，21-24题每小题8分） 17. 计算 ： （1） （2） （3） 18. 已知，，求的值． 19. 下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程． 求作：菱形． 作法：①作线段； ②作线段的垂直平分线l，交于点O； ③在直线l上取点B，以O为圆心，长为半径 画弧，交直线l于点 D（点B与点D不重合）； ④连接． 所以四边形为所求作的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵， ∴ ． ∵ ； ∴四边形为菱形（ ）．（填推理的依据） 20. 如图，的对角线，相交于点O，点E，点F在线段上，且．求证：． 21. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1． （1）求AC的长； （2）求∠DAB的度数． 22. 阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式； 乙的解答：原式． （1）你认为 的解答是错误的； （2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ； （3）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中． 23. 如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C. D作CE∥BD,DE∥AC，CE和DE交于点E. （1）求证：四边形ODEC是矩形； （2）当∠ADB=60°,AD=2时，求EA的长． 24. 如图，四边形是正方形．过点在正方形的外侧作射线，．作点关于射线的对称点，线段交射线于点，连接交直线于点． （1）当时，依题意补全图1，并直接写出的度数； （2）在（1）的条件下，用等式表示之间的数量关系，并证明； （3）若，，直接写出线段的长． 第三部分 选做题（共10分） 四、选做题 （本题共10分，25题4分，26题6分） 25. 在中，，，三边长分别为，，，求这个三角形面积，小明同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点，借用网格就能计算出它的面积． （1）的面积为______； （2）如果三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点，并直接写出的面积为______． 26. 在平面直角坐标系中，已知点，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，再将点绕点O逆时针旋转，得到点； Q运动：将点A绕点O逆时针旋转，得到点，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． （1）如图，已知点，，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，． ①若，请你在下图中画出点，的位置； ②若，求m的值． （2）已知，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点，，连接，．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段长度的取值范围（用含有t的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北 京 市 回 民 学 校 2025－2026学年度第二学期期中练习（4月） 初二 数学 考生须知： 1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题．满分110分．考试时间100分钟． 2．在试卷上准确填写学校名称，班级名称，姓名． 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 （每小题2分，共16分） 一、选择题，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对选项A：，被开方数含能开得尽的因数，不是最简二次根式； 对选项B：的被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数，是最简二次根式； 对选项C：的被开方数含分母，不是最简二次根式； 对选项D：，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，2 C. 6，8，10 D. 1， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、由于22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不合题意； B、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意； C、由于，能构成直角三角形，故本选项正确； D、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意． 故选择：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算与化简，根据二次根式的运算法则和算术平方根的性质逐一判断即可． 【详解】对选项A：，不符合题意； 对选项B：与不是同类二次根式，无法合并，不符合题意； 对选项C：，计算符合二次根式除法法则，符合题意； 对选项D：，算术平方根的结果为非负数，不符合题意． 4. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等且互相平分的四边形是菱形 C. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法对①进行判断．根据菱形的判定方法对②进行判断；根据矩形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断． 【详解】解：A. 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故选项A说法不正确； B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B说法不正确； C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项C说法不正确； D. 对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形,说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题真假的判断以及平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定，根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项． 5. 如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. 13厘米 B. 17厘米 C. 厘米 D. 5厘米 【答案】A 【解析】 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解： 如图所示： 由于圆柱体的底面周长为 ， 则 （）． 又因为 ， 所以 （）． 故蚂蚁爬行的最短距离为 ． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出OA的长，由于OB=OA，故估算出OA的长，再根据点B在x轴的正半轴上即可得出结论． 【详解】解：∵点A坐标为（2，3）， ∴OA==， ∵点A、B均在以点O为圆心，以OA为半径的圆上， ∴OA=OB=， ∵3＜＜4，点B在x轴的正半轴上， ∴点B的横坐标介于3和4之间． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OA的长是解答此题的关键． 7. 如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】延长至点E，使，连接，．根据矩形的性质得到，，证得，因此，从而，根据勾股定理在中求出，即可解答． 【详解】解：延长至点E，使，连接，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 即的最小值为10． 8. 在等边中，为边的中线，将此三角形沿剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法作出图形，结合勾股定理分析计算． 【详解】解：∵在等边中，为边的中线，， ，， ∴ ①若拼成下图的平行四边形，则此时对角线长度为， ②若拼成下图的平行四边形，延长，过点作，交的延长线于点， 则四边形是矩形， ，， 在中， ③若拼成下图的平行四边形，延长，过点作，交的延长线于点， 则四边形是矩形， ， 在中， 综上，在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是． 第二部分 非选择题（共84分） 二、填空题 （本题共16分，每小题2分） 9. 若 有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根有意义的条件． 根据算术平方根有意义的条件，被开方数必须大于或等于零作答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴被开方数， 解得． 故答案为：． 10. 在中，，则的度数是_____________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补的性质，即可完成求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 11. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和定理可得：， 解得 ，即这个多边形的边数是6． 12. 在四边形中，对角线，互相平分，若添加一个条件使得四边形是菱形，则这个条件可以是_______ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意可得四边形是平行四边形，故添加邻边相等即可求解． 【详解】解：∵四边形中，对角线，互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 13. 如图，中，，D，E，F分别为，，的中点，已知，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形中位线及直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵D，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，E为的中点， ∴． 14. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图1所示．在图2中，若正方形的边长为7，正方形的边长为1，且，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题关键是熟练掌握正方形面积公式以及面积的和差关系，难点是得到正方形的面积．根据正方形的面积公式，结合面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进而得到一个直角三角形的面积，再结合正方形的面积等于4个直角三角形的面积与1个小正方形面积之和，进行列式计算，即可求解． 【详解】解：依题意 ， 设正方形的边长为 ∵正方形的面积等于4个直角三角形的面积与1个小正方形面积之和 ∴ ∴（舍去） 则正方形的边长为． 故答案为：． 15. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位，书中记载了一道“荡秋千”问题．其译文为：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千长为x尺，则可列方程为_______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得：尺，，尺， ∴尺， ∴在中，由勾股定理可得． 16. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④是等边三角形．其中正确的是_____ 【答案】①④ 【解析】 【详解】试题解析：由折叠可得PE=BE，PF=BF，∠PEF=∠BEF，∠EFB=∠EFP， ∵AE=AB， ∴BE=PE=2AE， ∴∠APE=30°， ∴∠PEF=∠BEF=60°， ∴∠EFB=∠EFP=30°， ∴EF=2BE，PF=PE， ∴①正确，②不正确； 又∵EF⊥BP， ∴EF=2BE=4EQ， ∴③不正确； 又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°， ∴△PBF为等边三角形， ∴④正确； 所以正确的为①④， 故答案为①④． 三、解答题 （本题共68分，17题18分，18-20每小题6分，21-24题每小题8分） 17. 计算 ： （1） （2） （3） 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：； ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：． = ． 18. 已知，，求的值． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求出的值，利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：，， ，． ∴． 19. 下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程． 求作：菱形． 作法：①作线段； ②作线段的垂直平分线l，交于点O； ③在直线l上取点B，以O为圆心，长为半径 画弧，交直线l于点 D（点B与点D不重合）； ④连接． 所以四边形为所求作的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵， ∴ ． ∵ ； ∴四边形为菱形（ ）．（填推理的依据） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和尺规作图---作线段的垂直平分线，解题关键是掌握正确的作图步骤与证明方法． （1）按要求作图即可； （2）利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可完成求证． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 解：证明：∵， ∴四边形为平行四边形． ∵； ∴四边形为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 20. 如图，的对角线，相交于点O，点E，点F在线段上，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，．再由平行可得，证明和全等，由此可证明． 【详解】略 21. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1． （1）求AC的长； （2）求∠DAB的度数． 【答案】（1）2 （2）135° 【解析】 【分析】（1）由于∠B＝90°，AB＝BC＝2，利用勾股定理可求AC； （2）由于∠B＝90°，AB＝BC＝2可求∠BAC＝45°，而CD＝3，DA＝1，易得AC2+DA2＝CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD＝90°，从而易求∠DAB． 【小问1详解】 解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC＝； 【小问2详解】 解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴∠BAC＝45°， 又∵CD＝3，AD＝1， ∴AC2+AD2＝8+1＝9，CD2＝9， ∴AC2+DA2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴∠DAB＝45°+90°＝135°． ∠DAB的度数为135°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形． 22. 阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式； 乙的解答：原式． （1）你认为 的解答是错误的； （2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ； （3）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中． 【答案】（1）甲 （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）（2）根据二次根式的性质去判断即可； （3）根据二次根式的性质化简，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ， ∴甲的解答是错误的； 故选：甲； 【小问2详解】 解：错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴，， ∴原式． 23. 如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C. D作CE∥BD,DE∥AC，CE和DE交于点E. （1）求证：四边形ODEC是矩形； （2）当∠ADB=60°,AD=2时，求EA的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC=90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形． （2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可． 【详解】（1）∵CE∥BD　　DE∥AC ∴四边形ODEC是平行四边形 又∵菱形ABCD ∴AC⊥BD ∴∠DOC=90° ∴四边形ODEC是矩形 （2）∵Rt△AOD中,∠ADO=60° ∴∠OAD=30° ∴OD=AD= ∴AO==3 ∴AC=6 ∵四边形ODEC是矩形 ∴EC=OD=　　∠ACE=90° ∴AE== 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关的性质定理与判定定理是解题的关键． 24. 如图，四边形是正方形．过点在正方形的外侧作射线，．作点关于射线的对称点，线段交射线于点，连接交直线于点． （1）当时，依题意补全图1，并直接写出的度数； （2）在（1）的条件下，用等式表示之间的数量关系，并证明； （3）若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）图见解析，； （2），证明见解析； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，补全图形即可得到答案；根据题意，由对称性可知，再结合正方形性质得出，可以得到是等腰三角形，由于，则，在中，利用三角形外角和定理即可得到答案； （2）线段之间的数量关系为．证明如下：过点C做作，交与点H，由题意可知：，得到，再根据直角关系得到，再证明，得到，由（1）可知是等腰直角三角形，，，即可得到． （3）需要对不同情况进行讨论． ①当时，参照（2）中的结论求解； ②当时，过点C做作，交与点H，由题意可知：，得到，再根据直角关系得到，再证明，得到，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，，，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，如下图， 四边形是正方形， ， 由对称的性质可得， ， ， 是的一个外角， ． 【小问2详解】 当时，，证明如下： 作，交与点H，垂足为点，如图， ， 四边形是正方形， ， ， ， 由对称的性质可得， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ， ． 【小问3详解】 ①当时，由（2）可知，是等腰直角三角形， ， ， 由对称的性质可得， 是等腰直角三角形，， ． ②当时，如下图，作，交与点H，垂足为点， 四边形是正方形， ， ， ， 由对称的性质可得， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ． 综上所述，为或． 【点睛】本题考查了正方形性质、轴对称的性质、等腰三角形判定和性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理等，熟练掌握知识点进行证明推理，分情况讨论是解题关键． 第三部分 选做题（共10分） 四、选做题 （本题共10分，25题4分，26题6分） 25. 在中，，，三边长分别为，，，求这个三角形面积，小明同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点，借用网格就能计算出它的面积． （1）的面积为______； （2）如果三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点，并直接写出的面积为______． 【答案】（1）4.5 （2）格点见解析，3.5 【解析】 【分析】（1）根据割补法即可求解； （2）先根据勾股定理确定三边所在的三角形的位置，进而可画出相应的三角形，再根据割补法求解即可． 【小问1详解】 的面积为； 故答案为：4.5； 【小问2详解】 如图，， ∴格点即为所求作； 且的面积． 故答案为：3.5． 【点睛】本题考查了勾股定理和格点作图，能利用勾股定理确定相应点的位置是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，已知点，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，再将点绕点O逆时针旋转，得到点； Q运动：将点A绕点O逆时针旋转，得到点，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． （1）如图，已知点，，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，． ①若，请你在下图中画出点，的位置； ②若，求m的值． （2）已知，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点，，连接，．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段长度的取值范围（用含有t的式子表示）． 【答案】（1）①见详解；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据P运动和Q运动的运动方式求解即可; ②首先表示出点的坐标为，的坐标为，然后根据得到，进而求解即可； （2）由题意得：，设，经过P运动，则，则；Q运动后，，，则即可求解． 【小问1详解】 ①作图如图所示： 由P运动知，由旋转得，， 而， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 由Q运动同理可求，再向右平移1个单位，向上平移0个单位得到． ②∵， ∴点A经过P运动后得到的点的坐标为 点A经过Q运动后得到的点的坐标为 ∵ ∴， ∴． 【小问2详解】 由题意可得： 由旋转的不变性和平移的性质得：，， 设，经过P运动，则，则； Q运动后，，， 则， ∴当时，线段与存在公共点， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $