上海市南洋中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2512高一年级数学学科期末考试试题 (满分120分，考试时间100分钟) 命题人：王邦 申题人：陈贺 一、填空题（本大题共有12题，满分48分，每题4分），要求在答题纸相应题序的空格内 直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。 1.异面直线所成角的取值范围是 2.用集合符号表述语句“平面α经过直线AB”: 3.已知扇形半径r=3,圆心角为60，那么它的面积为 5圆最y=cosa-名.xe后，受的值城是 6.向量a=(2,)在向量=(（-1,2)上的投影向量的坐标为 7.如图，矩形BCD是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画 法画出的直观图，其中AB=⊥，BC=2,则原四边形ABCD中最 长边的长度为】 8.如图，在边长为4的正方体ABCD-ABC,D中，M为AB中点， N为BC中点，过M、N、A作与正方体的截面为α，则截面面积 B 是 D 9.已知复数z满足z=1(1是遨数单位)，则z-3-4i的最大值 为 10.已知平面向量d=(1,2),=(3,-2),c=d+36,d=kd+,若5d的夹角为锐角，则k的取值范 围是 1.把函数f(倒=sm2x+的图象向左平移：(>0)个单位长度后，所得函数的图象关于 点后0对称，则实数：的最小值为 第1页共4页 12.如图，正方体ABCD-ABC,D的棱长为2，E,F分别为BC,CD 的中点，P是底面ABCD上一点.若AP/平面BEF,则AP与平面 AB,CD成角的正弦值的取值范围是 二、选择题（本大题共有4题，满分16.分，每题4分），每题都给出四个结论，其中有且 只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分， 否则一律得零分. 13.已知函数y=tanax的最小正周期为π，则实数a的取值是( A.1 B.±1 C.2 D.±2 14.已知函数f(x)=2 xcOSx,则函数y=f(x)的部分图象可以为( A B. D 15.设a,B为不重合的平面，m,n,p,为不重合的直线，则其中正确命题的序号为 ) ①若m/Ip,n∥p,则m∥n: ②若m/l,n/a,则ml∥n; ⑧诺m/la,ax1B,则ml1p; ④若mca,ncB,arlB,则ml∥n; A.① B.①② ℃.①③ D.①④ 16.在单位正方体ABCD-ABC,D中，点P在线段AD上，点Q线段AC上.①P2+OC长 度的最小值为；②二面角P-BC-D的大小为定值.对于以上两个命题，下列判断正确 的是( A.①正确，②躇误 B.①错误，②正确 C.①正确，②正确 D.①错误，②错误 三、解答题（本大题共有5题，满分56分)，解答下列各题必须在答题纸的规定区域 (对应的题号)内写出必要的步骤， 第2页共4页 17.(本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分) 已知实系数一元二次方程x2+pm+g=0有虚根x=-1+√2i,另一根为B. (1)求实数P,9的值： (2)求2+B2的值. 18.（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分) 如图，在四面体ABCD中，AB=CD,AB⊥CD,E、F分别为BC、AD的中点 (1)求证：直线EF和AB为异面直线； (2)求异面直线EF和AB所成角的大小. 19.（本题满分12分，第1小题满分5分，第2小题满分7分) 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P, 已知射线AB,AC为两边夹角为120°的公路（长度均超过3千米），在两条公路AB,AC 上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得 AM=V5千米，W=√5千米. (1)求线段MN的长度； (2)若∠MPN=60,求两条观光线路PM与PN之和的最大值. A M B 第3页共4页 20.(本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分) 已知a=（W3sinx,cos2x),b=(2cosx,-1),记f(x)=a.b(x∈R). (1)求函数y=(c)的解析式，并求y=f(x)在0，π]上的单调减区间； 2若F)=寸(e+）-品x∈(0，】恰有2个零点，，求实数m的取值范围和a+的值， 21.(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分) 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对1,2)（之1,2∈C)视为一个向量，记作 a=(a,2)。两个复向量a=(a,2),6=(3,4)的数量积记作d·i,定义为·6=a3十24，复向 量的模定义为d=√a,d。记为虚数单位。 (1)设a=(3,4),b=(1-i,i),求复向量与的模 (2)对两个复向量a与b,若a.=d6时，称a与平行。设m∈R,a=(1+i,2-i),i=(1,m), 是否存在实数m,使与b平行？若存在，求出m;若不存在，请说明理由。 (3)我们知道对于任意平面向量与品，都有ā.≤：对任意两个复向量与品，不等式a·≤@ 是否仍成立？试给出判断，并说明理由。 笋4而共4而