上海市第四中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

一、填空题（共42分，1-6，每题3分；7-12，每题4分） 2026.6 1.函数y=sin2x的最小正周期为一· 2.在等差数列(an}中，a1=1,公差-2，a 3.己知d=(2,1),=(2x,若6·=0则x=。 4.已知角x满足tana=2,则tan(a+45)=一， 5.已知1为虚数单位，设m∈R,z=m2-5m+6+(m2-4)i,若z为纯虚数，则m的值为一 6.函数y=Asin(@x+p(A>0,0>0)的振幅是2，最小正周期是二，初始相位是-l1,则 它的函数表达式为y=一， 7.已知{an}为递增等比数列，其前n项和为Sn,若a2=3,S=13,则a= 3.在△ABC中，已知三边之比为2：3：4，则该三角形最大角的余弦值为 9.若点0是△ABC所在平面内的一点，且满足1OB-OC日(OB-OA+(OC-O)1,则 △4BC的形状为， 10.已知{an}是等比数列，若4、45是方程x2+3x+1=0的两个，则4= 1,在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=4,∠BAD=,F是边AB上的动点，则 3 DF.CF的最大值是一 12.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知(b+c)(sinB-sinC②=(a-c)sinA, △4BC的面积S=√，点D是线段AB的中点，点E在线段BC上，且BE=2EC,线 段CD与线段AE交于点M,若点G是三角形△ABC的重心，则|GM|的最小值为 二、选择题（共14分，13-14每题3分，15-16每题4分） 13.设复数名，和z2分别是方程x2+x+4=0的两个根，则名-22=（) A.15 B.2W15 C.5 D.2W5 14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a+a,=24,且S,=14,则a,=（) A.24 B.20 C.16 D.12 15.已知a上1，b=2,其中a,b的夹角为二，则a在方向上的投影为( 3 B.1 16.对于实数x,记[x]表示不超过x的最大整数，例如[]=3，【-1.08]=-2.已知 f(x)=2 Isinx+sin|x|,g(x)=[f(】.有下列三个命题：①y=f(x)是~ ②函数y=寸)的图像关于x=对称：®方程了：g)=x有且仅有2个实根。则 真命题的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题（共44分，8+8+8+8+12） 17.已知等差数列{an}不是常数列，其前四项和为10，且a2,a3,a7成等比数列： (1)求数列{an}的通项公式an: 回设6，-目 求证数列{色}是等比数列. 18.已知向量a=(sinx,),6=(sinx+5cosx,-),记f0=a-6+} (1)求函数y=f(x)的单调递增区间： (2)已知a、b、c分别为△4BC内角A、B、C的对边，a=√3，c=1,且f(A)=1,， 求△ABC的面积. 19已知复数z满足2=V2,z2的虚部为2. (1)求复数z: (2)设复数z、z2、z-z2在复平面上对应的点分别为A、B、C, 求：(OA+OB0C的值 20,“但有一枝堪比玉，何须九豌始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉 兰和紫玉兰等某种植园准备将如图扇形空地40分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为受 动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PO∥OA. B 黄玉兰 白玉兰 紫玉兰 0 (1)当O0=50米时，求PO的长： (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区△OPQ的面积尽可能的大.设∠4OP=0,求△OPQ面积的最大值. 21. 对于平面向量=(，y)(k,yEN,k=0,1,2,…）,定义“F变换：=F(),其中 +1=k,ykH1=max{,k}-2mm{x,,ax{x,}表示，中较大的-个数，mi血{，y}表示xk,y中较小的-个数 若%=k,则max{xk,y}=mm{,}==y记（可）=xy,回刚=x4+yk 1若=(1,9)，求(G)及： (2)已知(@)=2024，=2025，将a经过m次F变换后，‖al最小，求m的最小值； (3)证明：对任意，经过若干次F变换后，必存在EN,使得(@)=0，