精品解析：福建省龙岩市第二中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

龙岩二中2025～2026学年第一学期高二第一次月考 数 学 试 题 命题人、审题人：高二数学备课组 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线斜截式方程得到斜率，再结合倾斜角的取值范围，利用斜率与倾斜角的正切关系求解. 【详解】已知直线的斜截式方程为，因此直线的斜率. 由直线斜率与倾斜角的关系， 可得， 结合，解得. 2. 在等差数列中，，.则公差d＝（ ） A. －10 B. －5 C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式求解即可． 【详解】公差． 故选：D 3. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 1028 B. 1023 C. 1024 D. 1025 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 则. 故选：B. 4. 已知数列中，，，则（　　） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推公式求出数列前几项的值，找出周期，进而求出 【详解】由于，且. 当时，；当时，；当时，.所以数列是周期为3的数列． 由于，因此． 故选：D. 5. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由，得到，求解即可判断. 【详解】由，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 49 B. 56 C. 105 D. 112 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列前项和连续等长片段的和仍为等比数列的性质，结合等比中项公式求解. 【详解】由等比数列的性质可知，成等比数列. 已知，，因此，即为等比数列. 根据等比中项性质可得：，代入数值得， 计算得，解得. 7. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 8. 数列满足，∀，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出数列的通项，再分离参数，借助数列单调性求解作答. 【详解】因为数列满足，则，而， 因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，则，即， 又∀，因此对恒成立，即， 而数列是递增数列，则当时，，有， 所以实数的取值范围是. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量； B. 经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线方程为； C. 点关于直线的对称点为； D. 已知两点，若直线过点且与线段有公共点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据直线的一个方向向量为进行求解；B选项，分截距为0和不为0两种情况进行求解；C选项，设出对称点，列出方程组，求出对称点坐标；D选项，画出图形，求出，数形结合得到或，D正确. 【详解】A选项，的斜率为， 故直线的一个方向向量为，A正确； B选项，当直线的截距为0时，设直线方程为，将代入得，， 故此时直线方程为， 当直线的截距不为0时，设直线方程为， 将点代入得，解得，故直线方程为， 综上，直线方程为或，B错误； C选项，设点关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点为，C正确； D选项，画出图形如下： 则， 直线过点且与线段有公共点，则或， 则的取值范围是，D正确. 故选：ACD 10. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且（为常数），则 【答案】CD 【解析】 【分析】求出判断A；求出通项公式进而判断B；利用等差数列性质判断C；找出通项公式，结合等比数列意义判断D. 【详解】对于A，，， 数列不是等差数列，A错误； 对于B，当时，，满足上式，因此，当时， 数列不是等比数列，B错误； 对于C，是等差数列，，C正确； 对于D，当时，，， 由是等比数列，得，因此，，D正确. 故选：CD 11. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. C. 的前项和 D. 的前项和 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式，判断数列单调性，根据分组求和法，裂项求和法，求出数列前项和；逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由得，化简得，即， 所以，因为，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，A正确； 由是以2为首项，以2为公比的等比数列，可得， 求得，， 可知恒正，且随着的增大而增大，所以随着的增大而减小，所以B错误； 由可得，所以C正确； 由， 得， 所以D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点到直线的距离为 _______ 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式计算即可. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为： 13. 记为数列的前项和.若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由和的关系，结合等比数列的定义，即可得出通项公式. 【详解】当时， 当时， 即 则数列是首项为，公比为的等比数列 故答案为： 【点睛】本题主要考查了已知求，属于基础题. 14. 已知数列满足的前项和为，若，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据奇数项和偶数项的特征，根据分组求和得，即可得解. 【详解】由，可知： 当为偶数时，，当为奇数时，， 所以， 即， 化简可得，由此解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. （1）求直线的斜率； （2）求中线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标公式直接求出斜率. （2）求出及直线的斜率，再利用直线的点斜式求出方程. 【小问1详解】 直线的斜率. 【小问2详解】 依题意，边的中点，则直线的斜率， 所以直线的方程是，即. 16. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，， （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等比数列项的比值关系求出公比，推导通项，再利用数列等量条件求解等差数列基本量得到. （2）利用裂项求和法求得. 【小问1详解】 由等比数列通项关系式 ，代入， 得，整理得，解得，， 因此，. ，、， 设的公差为，由得，解得， 因此，. 【小问2详解】 把代入的表达式，，裂项变形得， ， 因此，. 17. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知：，，故； ， ， 两式相减，得 ， ， ， ； 故. 18. 已知为等差数列，为各项均为正数的等比数列，． （1）求和的通项公式; （2）求的前项和; （3）若对任意，有恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）， （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据等差等比数列的基本量的计算即可求解公差和公比，即可求解， （2）根据等比和等差求和公式，即可利用分组求和求解， （3）将问题转化为，即可利用作差法求解的单调性，即可求解最值得解. 【小问1详解】 设的公差为的公比为． 由题知:． 解得:，则． 解得:． 因为各项均为正数，所以． 【小问2详解】 记的前项和为． 【小问3详解】 由题意，恒成立．记则 当时，当时， 因此， 所以的最小值为2． 19. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的“曼哈顿距离”为．若点，点， （1）求； （2）已知直线，求点到直线上动点的“曼哈顿距离”最小值； （3）求平面内与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积． 【答案】（1）2 （2）2 （3）6 【解析】 【分析】（1）由“曼哈顿距离”的定义直接求解即可； （2）根据“曼哈顿距离”表示出，然后分段去掉绝对值符号，利用一次函数性质求解可得； （3）根据“曼哈顿距离”的定义求出轨迹方程，判断轨迹的对称性，转化为求曲线与轴所围成的面积，然后去掉绝对值符号，利用分段函数作出图象即可求解. 【小问1详解】 由“曼哈顿距离”的定义可得. 【小问2详解】 设直线上动点的坐标为， 则， 由一次函数单调性可知，当时，；当时，； 当时，. 综上，的最小值为2. 【小问3详解】 设点，则， 即，即， 将代入上述方程得， 所以，方程表示的曲线关于轴对称， 故曲线所围成的面积等于曲线与轴所围成的面积的2倍. 作出函数的图象，如图： 易知， 四边形的面积为， 所以所求轨迹围成的面积为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩二中2025～2026学年第一学期高二第一次月考 数 学 试 题 命题人、审题人：高二数学备课组 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，.则公差d＝（ ） A. －10 B. －5 C. 10 D. 5 3. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 1028 B. 1023 C. 1024 D. 1025 4. 已知数列中，，，则（　　） A. 5 B. C. D. 5. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 49 B. 56 C. 105 D. 112 7. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 数列满足，∀，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量； B. 经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线方程为； C. 点关于直线的对称点为； D. 已知两点，若直线过点且与线段有公共点，则的取值范围是 10. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且（为常数），则 11. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. C. 的前项和 D. 的前项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点到直线的距离为 _______ 13. 记为数列的前项和.若，则_______. 14. 已知数列满足的前项和为，若，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. （1）求直线的斜率； （2）求中线的方程. 16. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，， （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 17. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 18. 已知为等差数列，为各项均为正数的等比数列，． （1）求和的通项公式; （2）求的前项和; （3）若对任意，有恒成立，求实数的最小值． 19. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的“曼哈顿距离”为．若点，点， （1）求； （2）已知直线，求点到直线上动点的“曼哈顿距离”最小值； （3）求平面内与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $