精品解析：福建省厦门市同安实验中学2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试卷

厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年第三次月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知直线与垂直，则的值为（    ） A B. C. D. 2. 已知是等差数列，，，则的前10项和为（ ） A 90 B. 100 C. 110 D. 120 3. 若圆与圆外切，则m=（    ） A. 14 B. 28 C. 9 D. 4. 设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，且，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，有，，三点，则点C到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（    ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 10. 已知数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 可能为1 B. 数列是等比数列 C. D. 若，的最大值为64 11. 如图，已知直三棱柱中，为的中点，在线段上.则下列结论正确的是（ ） A. 若为中点时，则 B. C. D. 若直线与平面所成的角为，则的取值范围为 三、填空题 12. 双曲线的渐近线方程是___________． 13. 在平面直角坐标系中，一条光线从点发出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程______________. 14. 下面给出一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作，现将数列1，2按照上述方法进行构造；第一次得到的新数列为1，，2；第二次得到的新数列为1，，，，2；第三次得到的新数列为1，，，，，，，，2；…记第n次得到新数列为1， ，，，…，，2，且.①当时，_________，②______，（用数值作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面内，，，为动点，若． （1）求点的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于，，，求值 16. 记为等差数列前项和，已知． （1）写出的表达式，并求的最大值及取得最大值时的值 （2）设，求. 17. 记为数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 四棱锥，面，，，，，，M是PD中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆，抛物线与有一个相同焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． （1）求椭圆的离心率及抛物线的方程； （2）若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； （3）四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年第三次月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知直线与垂直，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直得到，解得即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得. 故选：B 2. 已知是等差数列，，，则的前10项和为（ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出的公差和首项，代入前项和公式可得答案. 【详解】设的公差为， 因为，， 所以，解得， 则的前10项和为. 故选：D. 3. 若圆与圆外切，则m=（    ） A. 14 B. 28 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出两圆的圆心坐标和半径，，由两圆外切，可得，代入数据，即可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以， 所以，解得. 故选：A 4. 设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质即可得到成等比数列，再计算即可得到答案. 【详解】等比数列中，成等比数列， 成等比数列， ， 故选：A． 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，且，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法运算法则，以，，为基底表示出即可. 【详解】如图： ， 又， 所以 ， 故选： 6. 在空间直角坐标系中，有，，三点，则点C到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出与坐标，再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】因为，，， 所以，， 所以，， 所以点C到直线的距离为. 故选：D. 7. 抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可. 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 8. 如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（    ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，可得和的表达式，设焦距，根据余弦定理，可得，根据的离心率，代入化简，可得，进而可得，代入双曲线的离心率公式，即可得答案. 【详解】由椭圆的定义得， 由双曲线的定义得， 两式联立得， 设焦距， 由余弦定理得， 整理得，即， 又的离心率，所以，代入上式得， 所以的离心率. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的加法法则，计算即可判断A的正误；根据两向量平行的坐标关系，可判断B的正误；根据投影向量的求法，代数计算，即可判断C的正误；根据夹角为锐角，可得，且与不共线，根据数量积公式，分析计算，可判断D的正误. 【详解】选项A：由题意，解得，故A正确； 选项B：若，则，解得，故B正确； 选项C：在上的投影向量为， 所以，即， 判别式，方程无实数根，故C错误； 选项D：若与夹角为锐角，则，且与不共线， 所以，解得，由与不共线，得 所以，故D正确. 故选：ABD 10. 已知数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 可能为1 B. 数列是等比数列 C. D. 若，的最大值为64 【答案】BC 【解析】 【分析】利用递推公式求出范围可判断A；对递推式变式结合等比数列定义可判断B；由，结合等差数列求和公式利用分组求和可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A，当时，，又，所以，故A错误； 对于B，由，得，即，由选项A知，故数列是以为首项，-1为公比的等比数列，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，为奇数时，， 为偶数时，， 因为，所以的最大值不可能为64，故D错误； 故选：BC 11. 如图，已知直三棱柱中，为中点，在线段上.则下列结论正确的是（ ） A. 若为中点时，则 B. C. D. 若直线与平面所成的角为，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解依次判断各个选项. 【详解】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题可得，，，，，，， 对于A，若为中点时，则，所以，故A正确； 对于B，，，则，故B错误； 对于C，，，，所以，故C正确； 对于D，设点，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则， 所以，， 令，则， 令，， 则，， 当时，取得最小值，此时取得最大值1； 当时，取得最大值，此时取得最小值； 综上，的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 双曲线的渐近线方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】令可得，即. 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，一条光线从点发出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程______________. 【答案】或（写出一条即可） 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点B的坐标，由题意，经过B的直线与圆相切，分别讨论斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式，分别求出直线，综合分析，即可得答案. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 由题意得，解得，即， 由反射后的直线与圆相切，得过点的直线与圆相切， 圆，变形为，则圆心为，半径为2， 当过点B的直线斜率不存在时，即为， 则圆心到直线的距离为2，等于半径，符合题意， 当过点B的直线斜率存在时，设为k，则方程为，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即， 综上，反射后光线所在直线的方程为或. 故答案为：或（写出一条即可） 14. 下面给出一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作，现将数列1，2按照上述方法进行构造；第一次得到的新数列为1，，2；第二次得到的新数列为1，，，，2；第三次得到的新数列为1，，，，，，，，2；…记第n次得到新数列为1， ，，，…，，2，且.①当时，_________，②______，（用数值作答） 【答案】 ①. 15 ②. 753 【解析】 【分析】根据题意，找到规律，类比推理，即可求得k值，分别求出、、找到规律，结合等差中项及等比数列求和公式，即可得答案. 【详解】第一次得到新数列为1，，2，则， 第二次得到的新数列为1，，，，2，则， 第三次得到的新数列为1，，，，，，，，2，则， 以此类推，当时，； 结合等差中项可得，， ， 以此类推，当时，， 所以 故答案为：15；753 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面内，，，为动点，若． （1）求点的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于，，，求的值 【答案】（1） （2）或3 【解析】 【分析】（1）设，可得、坐标，根据数量积公式，化简计算，即可得答案. （2）由（1）可得圆心和半径，进而可得圆心到直线l的距离d，根据弦长公式，代入计算，即可得答案. 【小问1详解】 设，则， 由题意，整理得. 【小问2详解】 由（1）得圆心坐标为，半径， 则圆心到直线l的距离， 因为，所以， 解得或3. 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）写出的表达式，并求的最大值及取得最大值时的值 （2）设，求. 【答案】（1），的最大值为30，取得最大值时n为5或6 （2）120 【解析】 【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的通项公式，求和公式，联立可得和值，代入公式，可得，根据二次函数的性质，分析即可得答案. （2）由（1）得，，分析可得当时，，当时，，去掉绝对值，根据前n项和的定义，整理变形，结合求和公式，即可得答案. 【小问1详解】 因为为等差数列，设公差为d，所以， 解得，所以， 则，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为，所以当或6时，有最大值，且最大值为30. 【小问2详解】 由（1）得，， 当时，，当时，， 所以 17. 记为数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求数列的通项公式. （2）利用分组求和法求和. 【小问1详解】 当时，， 当时，，， 两式相减得，， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 故. 【小问2详解】 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 . 18. 四棱锥，面，，，，，，M是PD中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）①②存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值；②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； 【小问2详解】 ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的正弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意，设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去），即. 19. 已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． （1）求椭圆的离心率及抛物线的方程； （2）若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； （3）四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）椭圆的离心率，抛物线； （2）； （3）存在，最小面积为8. 【解析】 分析】（1）根据椭圆方程写出离心率和右焦点坐标，依题意得，可得抛物线方程； （2）由题设，联立椭圆并应用韦达定理得，进而有，即可得中点坐标； （3）讨论直线的斜率，斜率存在时，设直线为，则直线为，分别联立椭圆、抛物线，应用韦达定理及弦长公式、三角形面积公式得到关于的表达式，即可得结论. 【小问1详解】 由题设的离心率为，且右焦点，即为的焦点， 所以，所以， 综上，椭圆的离心率，抛物线； 【小问2详解】 由题设，知，联立，则， 所以，显然，则，则， 所以AB中点M的坐标为. 【小问3详解】 依题意，若直线斜率为0，则，此时； 若直线斜率不为0，设直线为，则直线为，且， 联立与，得，且， 则，，所以， 联立与，得，且， 则，，所以， 所以 ，而，即等号不成立， 结合对勾函数性质知：上递增，即； 综上，，且直线斜率为0，面积取得最小值为8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $