精品解析：2026年黑龙江大庆市第六十九中学中考二模数学试题

2025-2026学年下大庆市六十九中学中考二模测试数学 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中最小的是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 2. 2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（ ）米/小时 A. 2764810 B. 2764800 C. 27648000 D. 276480000 3. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由大、小两个正方体搭成的几何体，关于此几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 俯视图和左视图相同 D. 三视图都不相同 5. 河南高考包括3门全国统考科目（语文、数学、外语）和3门选择性考试科目．若考生从物理、历史中随机选1门首选科目，接着从思想政治、地理、化学、生物学中随机选2门再选科目，则一名考生再选科目选中生物学和化学的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 以下说法：①有理数与数轴上的点一一对应；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④若a、b互为相反数，则；⑤若，则 ．其中说法正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 已知 是一元二次方程的两根之和，则关于双曲线的说法正确的是（ ） A. 随 增大而增大 B. 点在双曲线上 C. 双曲线关于直线 对称 D. 双曲线位于一、三象限 8. 如图，把经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，， ．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边 向点运动．过点作交折线于点 ，以为边在右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为 ，点的运动时间为秒，则 与之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为2，动点 从点出发，沿折线的方向运动，同时动点 以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 函数中，自变量 的取值范围是____． 12. 已知，则的算术平方根为_____． 13. 一个圆锥形生日帽的底面直径是，母线长是 ，则它的侧面积是________． 14. 如图，直线经过点，，则关于 的不等式的解集是________． 15. 若关于 的分式方程的解为正整数，则正数 的值为________． 16. 如图，在中， ， ，，点P是线段 上一点，连接 ．将沿直线 折叠，点A落在点D处．当平行于的一边时（不在的边上），线段的长为_____． 17. 下列图案是用长度相等的火柴按一定规律构成的图形，依此规律第个图形中，共用火柴的根数是_____； 18. 关于函数的图像和性质，下列五个结论∶ ①点在函数图像上； ②图像关于直线 对称； ③在函数图像上，若，则； ④若，在函数图像上，则当时，； ⑤若方程有两个不相等的实数解，则或． 其中正确的结论是____________(填写序号) ． 三、解答题（共10小题，共66分） 19. 计算：； 20. 化简，再从，1，3， 中选择一个合适的数代入求值． 21. 小孟和小李约定周末到龙凤湿地公园游玩，小孟从家到湿地公园的路程是1200米，小李从家到湿地公园的路程是400米，已知小孟的速度是小李速度的2倍，若二人同时到达，则小孟需提前4分钟出发，求小孟和小李两人的速度． 22. 随着直播行业的兴起，越来越多的人开始加入直播队伍．某数码配件公司研发了一款可调节的手机拍摄支架，用于帮助直播行业的人们固定手机．该支架的结构如图1所示：立杆 垂直于地面，固定高度为； 为可旋转支杆，长度固定为；为可滑动悬杆，用于调节手机的水平位置．如图2，调节支杆 ，悬杆，使得悬杆，，，求此时点 到地面的高度．（参考数据：，，） 23. 在科技飞速发展的今天，智能机器人已成为备受关注的热门研究领域．某科研团队成功研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为全面评估这三款机器人在图像识别与运动能力上的综合表现，该团队对它们开展了全方位测试，在图像识别能力测试环节，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分，85分，90分．运动能力测试则由10位专业测试员依据一系列动作任务逐一评分，每位测试员最高可打10分，最终成绩取所有测试员打分的总和． 现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，获得两幅统计图（如图1，图2）和统计表，以评估哪款机器人的综合性能更优． A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 和 根据上述信息，解答下列问题： （1） ， ， ； （2）通过比较方差，判断测试员对 （选填A，B或C）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，求A，B，C三款机器人中综合成绩最高的． 24. 如图，为等边三角形，点 ， 分别在 ， 边上，且，连接 ， 交于点 ，将沿 翻折得到 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且，求四边形的周长． 25. 如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作 轴的垂线，交反比例函数的图象于点 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）若，求点的坐标； （3）反比例函数的图象关于 轴对称的图象为，直接写出射线绕点顺时针旋转后与的交点坐标． 26. 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润 日销售量（销售单价 成本单价）] 销售单价x（元） 75 82 日销售量y（件） 150 80 日销售利润w（元） 5250 3360 （1）根据以上信息，求y关于x的函数关系式． （2）求该商品日销售利润的最大值． （3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值． 27. 如图， 为 的直径，弦 ，连接 ， ，E为 上一点， ，连接，并延长交 于点F，交 于点G，连接，在的延长线上取一点H，使，连接． （1）若，求 的度数； （2）求证：是 的切线； （3）求证：． 28. 如图，二次函数的图像经过点、，与 轴交于点 ，该抛物线的顶点为 ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，经过点的直线与抛物线交于另外一点 ，若，请求出该直线的函数表达式： （3）如图2，点 是抛物线上在第二象限的点，过点 作直线轴，与抛物线交于 点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点，以、为邻边构造矩形，若矩形的边与直线 有交点，且该交点是这条边的中点，请直接写出此时点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下大庆市六十九中学中考二模测试数学 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中最小的是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 正数大于 ， 大于一切负数， ∴ ，和 都大于选项中的负数，排除B，C， ∵ ，，且， ∴ ， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数更小， ∴ ， 因此四个数中最小的是． 2. 2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（ ）米/小时 A. 2764810 B. 2764800 C. 27648000 D. 276480000 【答案】C 【解析】 【详解】解：千米/小时米/小时． 3. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义，逐项分析求解即可． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； B． 该图不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C． 该图不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D． 该图不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 4. 如图是由大、小两个正方体搭成的几何体，关于此几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 俯视图和左视图相同 D. 三视图都不相同 【答案】D 【解析】 【分析】画出三视图后，结合三视图即可选出正确答案． 【详解】解：三视图如下， 三视图都不相同． 故选D． 5. 河南高考包括3门全国统考科目（语文、数学、外语）和3门选择性考试科目．若考生从物理、历史中随机选1门首选科目，接着从思想政治、地理、化学、生物学中随机选2门再选科目，则一名考生再选科目选中生物学和化学的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目依次记为 A，B，C，D， 从4门中随机选2门，所有等可能的结果为：，共 6种， ∵同时选中生物学和化学的结果只有这 1种， ∴. 6. 以下说法：①有理数与数轴上的点一一对应；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④若a、b互为相反数，则；⑤若，则 ．其中说法正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】只需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可，用到数轴对应关系，平行线的基本性质，点到直线距离的定义，相反数性质，绝对值性质等基础知识点． 【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应，有理数只是实数的一部分，①错误； ②只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线，②错误； ③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫做点到直线的距离，距离是长度不是垂线段本身，③错误； ④当时，a和b互为相反数，但分母b为0时分式无意义，无法得到，④错误； ⑤若，则，并非 ，⑤错误； 综上，五个说法全部错误，正确的个数为0． 7. 已知 是一元二次方程的两根之和，则关于双曲线的说法正确的是（ ） A. 随 增大而增大 B. 点在双曲线上 C. 双曲线关于直线 对称 D. 双曲线位于一、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次方程两根之和的规律求出 的值，得到反比例函数的比例系数，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程 中，二次项系数为，一次项系数为 ， ∴ 两根之和 ， ∴ 双曲线解析式为 ，比例系数 ， 反比例函数的增减性仅在每个象限内成立， 不是在全体定义域内 随 增大而增大，故A错误； B. 将代入，得，所以点不在双曲线上，故B错误； C. 反比例函数的图象关于直线 对称，故C正确； D. ∵ ， ∴ 双曲线位于第二、四象限，故D错误． 8. 如图，把经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算，即可得解． 【详解】解：由图可知：与交于点， 故与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 则，， 整理得，，， 故点的坐标为． 9. 如图，在中，，， ．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向点运动．过点作交折线于点 ，以为边在右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为 ，点的运动时间为秒，则 与之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据重叠部分的图形的形状确定边界点时的运动时间为，然后分三种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求 与之间的函数关系式，最后根据函数的性质确定图象． 【详解】解：如图，当点 落在边上时， 在中，，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当点 与点 重合时，此时， 即，解得 ； 当点与点重合时，此时， 即，解得 ； 如图1，当时，正方形与重叠部分图形的面积为正方形的面积， 即； 此时， 与之间的函数图象为开口向上的抛物线，且为对称轴的右半段， 如图2，当时，正方形与重叠部分图形的面积为五边形的面积， 此时， ，， ， ， ， ， ， ， ； ，对称轴为直线， 此时， 与之间的函数图象为开口向下的抛物线，且包含对称轴， 如图3，当时，正方形与重叠部分图形的面积为的面积， 此时， ， ． ，对称轴为直线， 此时， 与之间的函数图象为开口向上的抛物线，且为对称轴的左半段； 综上， 与之间的函数图象大致是选项D所示． 10. 如图，正方形的边长为2，动点 从点出发，沿折线的方向运动，同时动点 以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点轨迹和最短路径问题，解题的关键是画出对应图形，找出G的轨迹在一个圆上，再由“将军饮马”模型求出最小值． 【详解】解：当E在 上，F在上时，由这两点运动速度相同，故，由正方形性质知，， 由 ， ， ， ， 故由圆周角性质得G在以为直径，中点O为圆心的圆上，以为对称轴将点B翻转上去得到点，如图所示 则 ，故 三点共线时最短，若 三点不共线，则 中 ， 故当 三点共线时最短，此时 四点共线，由于圆的半径为1， ， 故由勾股定理得 ， 最小为 ， 此时实际上E在上，F在 上，如图所示 此时，但 不变 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 函数中，自变量 的取值范围是____． 【答案】 且 【解析】 【详解】解：根据题意，得且， 解得 且． 12. 已知，则的算术平方根为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根与平方项均为非负数，两个非负数的和为0时，每一项都为0，即可求出x与y的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 由，得， 解得， 由，得， 解得， ∴， ∴的算术平方根为2． 13. 一个圆锥形生日帽的底面直径是，母线长是 ，则它的侧面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积底面半径母线长即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是， ∴圆锥的底面半径是， ∴圆锥的侧面积． 14. 如图，直线经过点，，则关于 的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据函数图象得，关于 的不等式的解集是． 15. 若关于 的分式方程的解为正整数，则正数 的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先按照解分式方程的步骤求出，再根据结合分式方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：，即 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵，即， ∴， ∴， ∵是正整数且 ∴且， ∴． 16. 如图，在中， ， ，，点P是线段上一点，连接 ．将沿直线 折叠，点A落在点D处．当平行于的一边时（不在的边上），线段的长为_____． 【答案】2或6 【解析】 【分析】平行于的一边的位置共有两种：①，先证明，求出，，，然后设，根据勾股定理列方程求解即可；②，根据轴对称的性质，结合平行线的性质证明即可． 【详解】解：， ，， ， 当时，， 沿直线 折叠，得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得 ； 当时，， 沿直线 折叠，得到， ， ， ； 综上所述，线段的长为2或6． 【点睛】先要根据已知条件画出符合题意的不同位置的图形，然后根据相似三角形的性质、勾股定理等知识求解． 17. 下列图案是用长度相等的火柴按一定规律构成的图形，依此规律第个图形中，共用火柴的根数是_____； 【答案】45 【解析】 【分析】根据图形的规律可知，第1个图有3根火柴，第2个图形中有3+3根火柴，第3个图形中有3+3+4根火柴，……，第8个图形中有3+3+4+5+6+7+8+9根火柴，计算结果即可． 【详解】分析可得：第1个图形中，有3根火柴， 第2个图形中，有3+3=6根火柴， 第3个图形中，有3+3+4=10根火柴， 第4个图形中，有3+3+4+5=15根火柴， 第5个图形中，有3+3+4+5+6=21根火柴， …… 第8个图形中有3+3+4+5+6+7+8+9=45根火柴， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了规律型中的图形变化问题，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． 18. 关于函数的图像和性质，下列五个结论∶ ①点在函数图像上； ②图像关于直线 对称； ③在函数图像上，若，则； ④若，在函数图像上，则当时，； ⑤若方程有两个不相等的实数解，则或． 其中正确的结论是____________(填写序号) ． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】把代入到中，求出对应的函数值即可判断①；令，当或 时，当时，，根据函数关于直线 对称，可得函数关于直线 对称，据此可判断②；当时，，则离对称轴越远，函数值越小，可求出，据此可判断③；当时，此时随x增大而减小，则y随x增大而增大，当时，此时随x增大而增大，则y随x增大而减小，据此可判断④；可求出当或 时，，当时，，结合函数图象可得当或时，直线与函数有两个交点，据此可判断⑤． 【详解】解：在中，当时，， ∴点在函数图像上，故①正确； 令，当或 时， 当时，， ∴函数关于直线 对称， ∴函数关于直线 对称，故②正确； 当时，， ∴此时函数开口向下，对称轴为直线 ， ∴离对称轴越远，函数值越小， 在中，当 时， ∵， ∴当时，， ∵， ∴y随增大而减小， 当时，，当时，， ∴，则，故③错误； 当时，，此时随x增大而减小，则y随x增大而增大， 当时，此时随x增大而增大，则y随x增大而减小， ∴当时，不一定成立，故④错误； ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵当或 时，此时， 当时，，此时， 函数的图象如图所示， 由函数图象可知，当或时，直线与函数有两个交点， 当时，，解得； 当时，，解得， ∴； ∴若方程有两个不相等的实数解，则或，故⑤正确， 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 三、解答题（共10小题，共66分） 19. 计算：； 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 20. 化简，再从，1，3， 中选择一个合适的数代入求值． 【答案】；当 时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握方法是解答本题的关键，先根据异分母分式的减法法则计算，再将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，最后进行约分化简；再选择使分式有意义的 的值代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， ， ， 当 时， 原式， ． 21. 小孟和小李约定周末到龙凤湿地公园游玩，小孟从家到湿地公园的路程是1200米，小李从家到湿地公园的路程是400米，已知小孟的速度是小李速度的2倍，若二人同时到达，则小孟需提前4分钟出发，求小孟和小李两人的速度． 【答案】小李速度50米/分，小孟速度100米/分 【解析】 【分析】设小李的速度为未知量，根据小孟速度和小李速度的倍数关系，用该未知量表示小孟的速度．根据公式时间=路程÷速度，分别写出小孟走1200米的时间表达式、小李走400米的时间表达式．因为小孟提前4分钟出发且二人同时到达，所以小孟的用时减去小李的用时等于4分钟，据此列分式方程，求解方程并检验得到速度值． 【详解】解：设小李的速度为 米/分钟，则小孟的速度为米/分钟． 根据“小孟提前4分钟出发，二人同时到达”可知：小孟走完全程的时间比小李多4分钟， 据此列方程：， 化简求解：，，， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 小孟的速度为米/分钟． 答案：小李的速度为50米/分钟，小孟的速度为100米/分钟． 22. 随着直播行业的兴起，越来越多的人开始加入直播队伍．某数码配件公司研发了一款可调节的手机拍摄支架，用于帮助直播行业的人们固定手机．该支架的结构如图1所示：立杆垂直于地面，固定高度为； 为可旋转支杆，长度固定为；为可滑动悬杆，用于调节手机的水平位置．如图2，调节支杆 ，悬杆，使得悬杆，，，求此时点 到地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点 作 垂直于地面，过点 作交的延长线于点 ，延长交于点，则四边形为矩形，结合邻补角的定义和直角三角形的性质求出，，根据锐角三角函数的性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出，结合矩形的性质即可求解． 【详解】解：过点 作 垂直于地面，过点 作交的延长线于点 ，延长交于点，如图： 则四边形为矩形， ， ，， 在中，，， ， ，， 在中，， 又， ∵四边形为矩形， ． ， 故此时点 到地面的高度约为． 23. 在科技飞速发展的今天，智能机器人已成为备受关注的热门研究领域．某科研团队成功研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为全面评估这三款机器人在图像识别与运动能力上的综合表现，该团队对它们开展了全方位测试，在图像识别能力测试环节，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分，85分，90分．运动能力测试则由10位专业测试员依据一系列动作任务逐一评分，每位测试员最高可打10分，最终成绩取所有测试员打分的总和． 现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，获得两幅统计图（如图1，图2）和统计表，以评估哪款机器人的综合性能更优． A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 和 根据上述信息，解答下列问题： （1） ， ， ； （2）通过比较方差，判断测试员对 （选填A，B或C）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，求A，B，C三款机器人中综合成绩最高的． 【答案】（1），， ； （2）B （3）B综合成绩最高 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义以及最终成绩取所有测试员打分的总和计算即可得出结果； （2）根据表格的数据，比较方差即可得出结果； （3）分别求出三款机器人的综合成绩，比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：由折线统计图可得，A款机器人的得分依次为：，，，，，，，，，， 将A款机器人的得分按照从小到大排列为：，，，，，，，，，，位于第 个和第个的得分分别为，，故中位数； 由扇形统计图可得，分出现的次数最多，占，故众数； （分）； 【小问2详解】 解：∵， ∴通过比较方差，判断测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 【小问3详解】 解：A款机器人的综合成绩为（分）， B款机器人的综合成绩为（分）， C款机器人的综合成绩为（分）， ∵， ∴A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是B． 24. 如图，为等边三角形，点 ， 分别在 ， 边上，且，连接 ， 交于点 ，将沿翻折得到 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 由翻折的性质可知：、， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，证明，进而得到，由翻折的性质易证明，从而得出结论； （2）根据等边三角形的性质结合，易得到 、E分别是 、 的中点，在中， ，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为等边三角形，， ， ， ， 、， 、E分别是 、 的中点， 是等边三角形， 、 ， ， 在中，， ， 菱形的周长为： ． 25. 如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作 轴的垂线，交反比例函数的图象于点 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）若，求点的坐标； （3）反比例函数的图象关于 轴对称的图象为，直接写出射线绕点顺时针旋转后与的交点坐标． 【答案】（1）反比例函数表达式为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点的坐标即可； （3）根据轴对称的性质可得，设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为，过A作轴于K，过作轴于L，通过证明，得到点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴ 将代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 设点，则点， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得，舍）， ∴． 【小问3详解】 解：反比例函数的图象关于 轴对称的图象为， ∴ 设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为， 过作轴于K，过作轴于L，如图： 则，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为． 26. 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润 日销售量（销售单价 成本单价）] 销售单价x（元） 75 82 日销售量y（件） 150 80 日销售利润w（元） 5250 3360 （1）根据以上信息，求y关于x的函数关系式． （2）求该商品日销售利润的最大值． （3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值． 【答案】（1） （2）该商品日销售利润的最大值为6250元 （3） 【解析】 【分析】（1）先设y关于x的函数关系式为，然后用待定系数法求出一次函数解析式； （2）先求出w的解析式，再根据抛物线的图像和性质作答即可； （3）设利润为元，根据题意得的解析式，再求出对称轴，再根据抛物线的图像和性质作答即可． 【小问1详解】 解：设日销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足的一次函数解析式为，把，代入得：， 解得：，， 解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得该商品的成本单价是 元． ， ， 当时，最大，最大值为， 答：该商品日销售利润的最大值为元； 【小问3详解】 解：设利润为元，根据题意可得： ， 对称轴为． ∵销售单价不低于68元，即， ∵日销售量， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴，且开口向下， ∴随 的增大而减小， ∴当时，有最大值为6600， ∴， ∴． 27. 如图，为 的直径，弦 ，连接 ， ，E为上一点， ，连接，并延长交 于点F，交 于点G，连接，在的延长线上取一点H，使，连接． （1）若，求 的度数； （2）求证：是 的切线； （3）求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵ ， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴，即， ∴， 又∵是 的半径， ∴是 的切线． （3）证明：由上已得：，， 在 和 中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 如图，连接， ∵弦 ， ∴， ∴， 由上已得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）先得出，则，再根据圆周角定理求解即可得； （2）先得出，进而可得，再根据圆的切线的判定即可得证； （3）先得出，则，进而可得，再连接，得出，则，等量代换可得，据此即可得证． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由圆周角定理得：． 【小问2详解】 证明：略． 【小问3详解】 证明：略． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造相似三角形． 28. 如图，二次函数的图像经过点、，与 轴交于点 ，该抛物线的顶点为 ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，经过点的直线与抛物线交于另外一点，若，请求出该直线的函数表达式： （3）如图2，点 是抛物线上在第二象限的点，过点 作直线轴，与抛物线交于 点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点，以、为邻边构造矩形，若矩形的边与直线 有交点，且该交点是这条边的中点，请直接写出此时点 的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）分别求得的坐标，进而根据勾股定理及其逆定理得出，则，根据得出，当在 轴上方时，取点，连接交抛物线于点，求得直线的解析式为；根据轴对称的性质求得当在 轴下方时的直线解析式，即可求解； （3）由，可得直线 解析式为：，分别求得的坐标，根据中点坐标公式求得的中点坐标，代入，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像经过点、， ∴ 解得： ∴抛物线的函数表达式为 【小问2详解】 解：∵ ∴， 当 时，，则 又∵ ∴，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵、，则， 如图，当在 轴上方时，取点，连接交抛物线于点， ∴ 设直线的解析式为代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当在 轴下方时， 同理可得的解析式为 综上所述：或 【小问3详解】 解：由，可得直线 解析式为：， 设其中 根据对称性可得，则的中点为 根据垂线与直线 交于点，则 ∴，则 ∴ 的中点为， 分两种情况讨论， ①的中点在 上， 代入得， 解得：或（舍去） ∴ ②当 的中点在 上， 代入得 解得：或 ∴ 综上所述，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $