精品解析：2025年黑龙江省大庆市让胡路区大庆第一中学中考 二模数学卷

2024—2025学年初四下学期第二次月考 数学试卷 注意事项： 1．答题时间：120分钟；卷面分值：120分； 2．请在答题卡上按要求书写作答； 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，满分30分） 1. 在－3，0，1， 2这四个有理数中，是负数的是( ) A. －3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】在－3，0，1， 2这四个有理数中，只有-3是负数，其余的都是非负数. 故选A. 2. 据《新时代的中国北斗》白皮书介绍，北斗卫星导航系统服务性能优异，免费向全球用户提供定位导航授时服务，授时精度优于0.00000002秒．数据0.00000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 3. 绿色环保，人人参与．下列环保标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形沿对称轴折叠后可重合，分析选项中哪些图形是轴对称图形； 根据中心对称图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，找出各选项中的中心对称图形，即可得到答案． 【详解】解：A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； B，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； C，既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； 故选C． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．由平行线的性质求出，然后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 5. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键．根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种， 和是偶数的概率为， 故选：B． 6. 甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据已知图1可得，进而求出，再由甲乙两个正方形的面积和为10列方程求出当时，，即可求解． 【详解】解：甲乙两个正方形的边长分别为，，且 依题意得：， 由图1得：， ∴， ∴，（不合题意舍去） ∴， ∴， 解得：，， 当时，，， 当时，，不合题意舍去， 综上所述：按图2放置，阴影部分面积为8， 故选C． 7. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图还原几何体，勾股定理，圆锥的体积计算，根据三视图可得该几何体是圆锥，由勾股定理求出圆锥的高，再利用圆锥体积计算公式求解即可． 【详解】解：由三视图可知，这个几何体是一个圆锥，且母线长为5，底面圆直径为6， ∴底面圆半径为3， ∴该圆锥的高为， ∴该圆锥的体积为， 故选：C． 8. 下列命题中，真命题有（ ） ①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③无理数都是无限小数 ④过三点有且只有一个圆 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了真假命题的判断，圆的基本概念辨析，无理数概念，根据相关性质和定理进行判断即可． 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，原命题是假命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； ③无理数都是无限小数，是真命题； ④过不在同一条直线上的三点有且只有一个圆，原命题是假命题； 综上可知，只有③是真命题， 故选：A． 9. 已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质，根据题意可得当时，或，且函数开口向上，即，则可求出对称轴为直线，则可得到，把代入解析式得到，据此求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，x的取值范围为或， ∴当时，或，且函数开口向上，即， ∴，为抛物线上的点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得， 将代入解析式得， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，m的可能取值为1， 故选：A． 10. 如图，AB为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，p为弧BC上任意一点，过P点作于点E，M是的内心，连接OM、PM，当点P在弧BC上从点B运动到点C时，求内心M所经过的路径长　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明，推出当点P在弧BC上从点B运动到点C时，点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上，利用弧长公式计算即可解决问题. 【详解】如图， 的内心为M， ，， ， ，即， ， ，， 而， ≌， ， 所以当点P在弧BC上从点B运动到点C时，点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上， 点M在扇形BOC内时， 过C、M、O三点作，连，， 在优弧CO取点D，连DA，DO， ， ， ，而， ， 的长， 故选D． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式：，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹． 二．填空题（每题3分，满分24分） 11. 函数y=中自变量x的取值范围是____________ 【答案】x≠3 【解析】 【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意得，x+3≠0， 解得x≠-3． 故答案为x≠-3． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比的性质，掌握方法是解答本题的关键．由，可设，，代入化简即可． 【详解】解：由，可设，， ， 故答案为：． 14. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑩个图形需要______根小木棒． 【答案】81 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，理解数量关系，找出规律是关键． 根据题意得到第n个图形需要（根），由此即可求解． 【详解】解：第①个图形需要9根小木棒， 第②个图形需要17根，即， 第③个图形需要25根，即， ∴第n个图形需要（根）， 第⑩个图形需要根， 故答案为：81． 15. 幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为______________． 2 9 5 x y 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法，一元一次方程的应用，先根据题意列方程求出x、y的值，再代入求解． 【详解】解：由题意得：， 解得，， ， 解得：， 故答案为：8． 16. a，b均为正整数，且满足．则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，根据，得到与是同类二次根式，结合a，b均为正整数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴与是同类二次根式， ∵a，b均为正整数，， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 17. 如图，函数在第一象限内的图象绕坐标原点顺时针旋转后，和过点，，的直线相交于点、，若的面积是，则的值为__． 【答案】． 【解析】 【分析】由题意点，，可知：，建立新的坐标系：为轴，为轴，设，，，，利用根与系数的关系和的面积是，可得结论． 【详解】解：连接，，过作轴于，过作轴于， 点，，， ，， ，， ， 同理得：，， ， ， 函数在第一象限内的图象绕坐标原点顺时针旋转， 建立新的坐标系：为轴，为轴， 则旋转后的函数解析式为：， 在新的坐标系中，，， 设直线的解析式为：， 则，解得， 直线的解析式为：， 设，，，， 由得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，旋转的性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题的压轴题． 18. 在平面直角坐标系中，直线 （k为常数）与抛物线交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为，连接．有以下说法： ①当时，；②面积的最小值为； ③；④当时，的值随k的增大而增大． 其中正确的是______．（写出所有正确说法的序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】，．其中，．联立两函数解析式得到，则，，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出直线与x轴的交点坐标为．同理可得，直线的解析式为，直线与x轴交点坐标为．则可证明直线与x轴的交点关于y轴对称，即直线关于y轴对称．联立两函数解析式求出、坐标，进而求出的结果即可判断①；根据，即可判断②；假设结论：成立， 则可证明，得到，，而，矛盾，据此可判断③．可证明．则可证明．可得．过点A作轴于点D，则，．进一步得到，再由，得到，则可得到，据此可判断④． 【详解】解：设，．其中，． 联立与得：，即． ∴，． 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为． 在中，令，得， ∴直线与x轴的交点坐标为． 同理可得，直线的解析式为，直线与x轴交点坐标为． ∵， ∴直线与x轴的交点关于y轴对称，即直线关于y轴对称． 当时，联立方程组：，解得或， ∴，， ∴， ∴， ∴，故说法①正确； ， ∴当时，面积有最小值，最小值为．故说法②正确； 如图所示：∵关于y轴对称； ∴点A关于y轴的对称点落在上． 连接，则，． 假设结论：成立，即． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 而是的外角， ∴，矛盾．故说法③错误； ∵， ∴， ∴． 由对称可知，为的角平分线， ∴点到和到的距离相等， 设点到的距离为，则， ∴， ∴． ∴ ． 如图所示，过点A作轴于点D，则，． ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 即：为定值，所以说法④错误． 综上所述，正确的说法是：①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，相似三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 三．解答题（满分66分） 19. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握负整理指数幂、零指数幂运算法则，特殊角三角函数值是解题的关键． 先计算乘方，并把特殊角三角函数值代入，求绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简：，其中是方程的解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式混合运算的顺序和运算法则，解一元二次方程的方法和步骤，以及分式分母不能为0． 先根据分式混合运算的运算顺序和运算法则将分式化简，再求解一元二次方程，根据分式有意义的条件，得出x的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 当时，原式． 21. 为了倡导学生科学探索精神，某校八年级计划开展自制竞速轮船模型活动．小明报名参加活动，需购买A型和B型两种材料，以下是小明和网店商家沟通中的对话． 根据小明的需要，商家应给小明发货A型材料和B型材料的数量分别是多少件？ 【答案】商家应给小明发货A型材料12件和B型材料6件． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设购买B型材料的数量为x件，则购买A型材料的数量为件．根据题意列出关于x的分式方程， 解方程即可求解． 【详解】解：设购买B型材料的数量为x件，则购买A型材料的数量为件． 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， ∴商家应给小明发货A型材料12件和B型材料6件． 22. 每年4月15日是全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对成绩进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 【收集数据】甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78． 【整理数据】甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 甲 4 11 10 乙 6 3 14 2 【分析数据】甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 74.5 86 m 47.5 乙 73.1 84 76 23.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）a= ；b= ；c= ； （2）m= ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是 度；本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙”）； （3）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”）； （4）甲校有600名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数． 【答案】（1） （2）乙 （3）甲 （4）估计甲校能参加第二轮比赛的人有240人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布统计表，求中位数，扇形统计图，样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意计算即可得到答案； （2）根据中位数的定义求出的值，再根据乙校成绩在这一组所占比例求出扇形的圆心角即可； （3）根据甲、乙两校的中位数比较，即可得到答案； （4）根据题意得到甲校随机抽取40名学生的成绩不低于75分的有人，用样本估计总体的方法计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得甲校成绩在这一组的数据有个， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：甲组成绩排在中间的两个数是， ； 乙校成绩在这一组的扇形的圆心角是； 由于甲校的成绩的方差为、乙校的成绩的方差， 本次测试成绩更整齐的是乙校； 故答案为：；乙； 【小问3详解】 解：甲校的中位数是，乙校的中位数是 在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是甲校的学生， 故答案为：甲； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计甲校能参加第二轮比赛的人有240人． 23. 如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面CD垂直的位置时的示意图，已知米，米，(参考数据：) （1）求的长 （2）若米，求两点的距离（精确0.01) 【答案】（1）0.8；（2）1.04 m 【解析】 【分析】（1）已知AC与BD，求AB，为此过D作BE⊥AC于E，可求AE，由∠ABE已知，利用30角所对直角．边等于斜边的一半，可求AB即可， （2）过N作NF⊥MO交射线MO于F点，则FN∥EB，∠ONF=α=30°，利用外角有∠M=∠MNO=∠FON=30º，在30 º Rt△OFN 中，OF=ON，易求MF，利用Rt△MFN中MN=即可． 【详解】（1）过B作BE⊥AC于E，则四边形CDBE为矩形，CE=BD=0.26米，AC=0.66米， ∴AE=AC-EC=0.66-0.26=0.40米， 在Rt△AEB中，α=30°，AB=2AE=2×0.40=0.80米， （2）过N作NF⊥MO交射线MO于F点，则FN∥EB， ∴∠ONF=α=30°， ∵ON=0,6米， ∴OF=ON=0,3米， ∵OM=ON=0.6米， ∴MF=0.9米， ∴∠FON=90º-30º=60º， ∴∠M=∠MNO=∠FON=30º， 在Rt△MFN中， MN=． 【点睛】本题考查求斜面长，MN长，关键是掌握把要求的线段置于Rt △中,用三角函数来解决问题． 24. 如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，且，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）的长度为1 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质推出是的中位线，利用证明，根据全等三角形的性质得到，结合，即可判定四边形是平行四边形； （2）根据矩形的性质得到，，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 若四边形是矩形，则 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，平行四边的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用矩形的性质证明是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一条直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与双曲线y＝（x＞0）交于点P，且B为AP的中点，PC⊥x轴于点C．已知AB＝，tan∠BAO＝． （1）求k的值． （2）连接BC，点Q为双曲线y＝（x＞0）上一点，且S△BQP＝S△BCP，求点Q的坐标． 【答案】（1）4 （2）点Q坐标为（4，1）或（﹣3+，） 【解析】 【分析】（1）由AB＝，tan∠BAO＝可求出BO，AO的长度，B为AP的中点，则BO为△PAC中位线，从而求出点P的坐标，进而求解． （2）若S△BQP＝S△BCP，则两三角形底同底等高，即C，Q所在直线与AB所在直线平行，从而求出经过点C解析式然后联立方程求出交点，再由对称性求出另一个交点． 【小问1详解】 ∵tan∠BAO＝＝， ∴AC＝2PC， ∵点B为AP中点， ∴BO为△PAC中位线，点O为AC中点， ∴AP＝2AB＝2， 在Rt△PAC中，由勾股定理得：AP2＝PC2+AC2， ∴20＝5PC2， ∴PC＝2，AC＝4， ∴OC＝AC＝2， ∴点P坐标为（2，2）， ∴k＝2×2＝4． 【小问2详解】 ∵AO＝OC＝2，BO＝PC＝1， ∴点A，B坐标分别为（﹣2，0），（0，1）， 设AB所在直线为y＝kx+b，把（﹣2，0），（0，1）代入解析式得： ， 解得， ∴y＝x+1， 过点C作平行于AB的直线y＝x+n， 把C（2，0）代入y＝x+n得n＝﹣1， ∴y＝x﹣1， 联立方程， 解得或（舍）， ∴点Q坐标为（4，1）， 直线y＝x﹣1由直线y＝x+1向下平移2个单位所得， 当点Q在点P上方时，由对称性可得点Q在直线y＝x+1+2即y＝x+3上， 联立方程， 解得或（舍） ∴点Q坐标为（﹣3+，）， 综上所述，点Q坐标为（4，1）或（﹣3+，）． 【点睛】本题考查反比例函数，一次函数与解直角三角形的综合应用，解题关键是由三角形面积相等并且同底找出点Q所在直线解析式． 26. 在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，要求纸边的宽度不得少于，同时不得超过． （1）求出y关于x的函数解析式． （2）当挂图面积为，时，求金色纸边的宽． （3）此时金色纸边的宽应为多少时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值． 【答案】（1） （2） （3）当cm时，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式即可得出y关于x的函数解析式； （2）当挂图面积为时，即可求得宽； （3）根据二次函数的性质，即可求得最值． 【小问1详解】 解：镶金色纸边后风景画的长为cm，宽为cm， ∴ ()． 【小问2详解】 解：当cm时，即， 解得 ∵ ∴ 答：当挂图面积为时，金色纸边的宽为1cm． 【小问3详解】 解：∵二次函数的对称轴为， ∴在上，y随x的增大而增大， ∴当cm时，取最大值，最大值为． 答：金色纸边的宽为cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的性质，掌握二次函数最值是解题的关键． 27. 如图，，是的直径，连接，，过点C作于点P，交于点F，交于另一点E，过点C作的切线交的延长线于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵与的相切于点C，是的直径， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ （3）4 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质以及相似三角形的性质是解答的关键． （1）根据切线的性质和等腰三角形的性质，结合等角的余角相等得到，进而利用等角对等边可得结论； （2）先利用直径所对的圆周角是直角得到，再利用等角的余角相等得到，则可证明得到；再证明，得到，据此可证明结论； （3）设，，则，，，证明求得，再利用等腰三角形的性质得到，由列方程求解x值即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由可设，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，即⊙的半径是4． 28. 定义把函数：的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为． （1）当时，求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）若，时，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； （3）当时，函数的图象与直线相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围______． 【答案】（1）新函数的顶点坐标为 （2）的解析式为 （3）或或 【解析】 【分析】（1）先将函数写成顶点式，从而得出其顶点坐标，再得出时，点P的坐标，然后根据对称性得出新函数的顶点坐标； （2）先由得出函数的解析式，再分段讨论：①当时，②当时，从而可解得m的值，则可求得的解析式； （3）先得出时点A，B，D的坐标，再分①当时，②当时，两大类情况，分别画图分析解得相应的a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴函数的顶点坐标为， ∵当时，点P的坐标为， ∴新函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴函数， ∴函数的顶点坐标为， 把代入函数，得：， 根据抛物线的对称性可知，当时． ①当时，，（不符合题意，舍去）． ②当时，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）． ∴， ∴的解析式为； 【小问3详解】 解：∵，函数， ∴函数， ∵当时，或；当时，， ∴点A，B，D的坐标分别为， ∵线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段， ∴点的坐标为，点的坐标为． ①当时， 当点在点B的左侧（含点B）时，线段与函数的图象有公共点，如图1： ∴， ∴； 当点在点B的右侧，且点D在点的下方（含点）时，线段与函数的图象有公共点，如图2： ∴， 解得， ∴． ②当时，点D在点的下方（含点）时，线段与函数的图象有公共点，如图3： ∴ ， ∴． 综上所述，或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的图象变换、直线或线段与函数图象的交点坐标等知识点，数形结合、分类讨论及熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年初四下学期第二次月考 数学试卷 注意事项： 1．答题时间：120分钟；卷面分值：120分； 2．请在答题卡上按要求书写作答； 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，满分30分） 1. 在－3，0，1， 2这四个有理数中，是负数的是( ) A. －3 B. 0 C. 1 D. 2 2. 据《新时代的中国北斗》白皮书介绍，北斗卫星导航系统服务性能优异，免费向全球用户提供定位导航授时服务，授时精度优于0.00000002秒．数据0.00000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 绿色环保，人人参与．下列环保标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则为（ ） A. B. C. D. 5. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（ ） A. B. C. 8 D. 10 7. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，真命题有（ ） ①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③无理数都是无限小数 ④过三点有且只有一个圆 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，AB为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，p为弧BC上任意一点，过P点作于点E，M是的内心，连接OM、PM，当点P在弧BC上从点B运动到点C时，求内心M所经过的路径长　　 A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，满分24分） 11. 函数y=中自变量x的取值范围是____________ 12. 计算：______． 13. 若，则________． 14. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑩个图形需要______根小木棒． 15. 幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为______________． 2 9 5 x y 16. a，b均为正整数，且满足．则的值为________． 17. 如图，函数在第一象限内的图象绕坐标原点顺时针旋转后，和过点，，的直线相交于点、，若的面积是，则的值为__． 18. 在平面直角坐标系中，直线 （k为常数）与抛物线交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为，连接．有以下说法： ①当时，；②面积的最小值为； ③；④当时，的值随k的增大而增大． 其中正确的是______．（写出所有正确说法的序号） 三．解答题（满分66分） 19. 计算：． 20. 先化简：，其中是方程的解． 21. 为了倡导学生科学探索精神，某校八年级计划开展自制竞速轮船模型活动．小明报名参加活动，需购买A型和B型两种材料，以下是小明和网店商家沟通中的对话． 根据小明的需要，商家应给小明发货A型材料和B型材料的数量分别是多少件？ 22. 每年4月15日是全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对成绩进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 【收集数据】甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78． 【整理数据】甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 甲 4 11 10 乙 6 3 14 2 【分析数据】甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 74.5 86 m 47.5 乙 73.1 84 76 23.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）a= ；b= ；c= ； （2）m= ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是 度；本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙”）； （3）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”）； （4）甲校有600名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数． 23. 如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面CD垂直的位置时的示意图，已知米，米，(参考数据：) （1）求的长 （2）若米，求两点的距离（精确0.01) 24. 如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，且，求的长度． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一条直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与双曲线y＝（x＞0）交于点P，且B为AP的中点，PC⊥x轴于点C．已知AB＝，tan∠BAO＝． （1）求k的值． （2）连接BC，点Q为双曲线y＝（x＞0）上一点，且S△BQP＝S△BCP，求点Q的坐标． 26. 在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，要求纸边的宽度不得少于，同时不得超过． （1）求出y关于x的函数解析式． （2）当挂图面积为，时，求金色纸边的宽． （3）此时金色纸边的宽应为多少时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值． 27. 如图，，是的直径，连接，，过点C作于点P，交于点F，交于另一点E，过点C作的切线交的延长线于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 28. 定义把函数：的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为． （1）当时，求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）若，时，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； （3）当时，函数的图象与直线相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $