精品解析：山东省聊城市东阿县第三中学2025-2026学年八年级下学期学情调研数学定时作业

八年级（下）阶段性学情调研数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列图案分别是北京大学、中国人民大学、中南大学、西南财经大学校徽的主体图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形是中心对称图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，故符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 有下列几个数：，2.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”），，，，，其中无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：是无限循环小数，是有理数，不符合要求； 2.1010010001…（每两个“”之间依次多个“”）是无限不循环小数，是无理数，符合要求； ，是有理数，不符合要求； 是无理数，符合要求； 是有理数，不符合要求； 是无理数，符合要求； 其中无理数的个数为， 故选：C． 3. 平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　） A. （3，﹣2） B. （2，3） C. （2，﹣3） D. （﹣3，﹣3） 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数即可． 【详解】解：由题意，得 点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）， 故选C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了二次根式的四则运算和性质，根据二次根式的运算法则及性质作答． 【详解】解：A、不能合并，错误． B、， 错误． C、不能合并，错误． D、，正确． 故选：D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 如果一个数有算术平方根，则其算术平方根一定是正数 B. 一个不等于0的实数的立方根的符号与这个数的符号相同 C. 如果，则 D. 由，可以得出 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查算术平方根的定义，不等式的性质，逐一分析各选项的正确性，结合算术平方根、立方根的性质及不等式运算进行判断即可 【详解】解：A：算术平方根非负，但0的算术平方根为0，非正数，故错误； B：立方根符号与原数相同（如正数立方根为正，负数立方根为负），正确； C：由 得 ，故 ，错误； D：由，不等式两边都除以得出，错误； 故选：B 6. 如图，小亮在数轴上作，使得，，，再在正半轴上取点，使得，则点表示的数是（ ） A. 3.5 B. 3.7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系及熟练运用勾股定理是解答此题的关键． 直接根据勾股定理，结合数轴即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴点表示的数是， 故选：C． 7. 若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可．结合分式有意义的条件，解答即可， 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有3个整数解，分别为， ∴， 故选：C． 8. 对于某个一次函数 ，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. 随的增大而增大 D. 图象可能经过原点 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数解析式中k及b的值进行判断即可 【详解】解：∵一次函数 ，函数图象经过第二象限，不经过第三象限， ∴函数图象经过第一，二，四象限，或经过第二，四象限，且函数图象 随的增大而减小， ∴，故A，D选项正确；C选项错误； ∵一次函数的图象经过点， ∴，得，故B选项正确； 故选：C 9. 在矩形中， ，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形 ，点，，的对应点分别为，当点落在线段的延长线上时，与 相交于点，则线段 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，再证明，设 ，则 根据勾股定理，得，解答即可； 【详解】解：连接 ， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形 ，，， ， ， ， ， ∵在 和中 ， ∴， ∴ ， 在和 中， ∵， ∴， ∴ ， ， 设 ，则 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故 的长为：； 10. 某次大型活动中，组委会用无人机航拍活动过程．已知无人机的上升速度和下降速度相同．无人机的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 无人机的上升速度是 B. 表示的数是3 C. 无人机在空中保持高度不变进行拍摄，拍摄的时间共有9min D. 表示的数是15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息：根据函数图象的信息即可得到答案 【详解】解：由分钟图象可得，无人机上升的速度为：（米/分钟），故A正确； ，故B错误； 无人机在米高的上空停留的时间是：； 无人机在米高的上空停留的时间是：； ∴无人机在空中保持高度不变进行拍摄，拍摄的时间共有， 故C正确； ，故D正确； 故选：B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 当x满足______时，分式有意义． 【答案】 且 【解析】 【分析】分式有意义需要满足分母不为零，同时二次根式的被开方数为非负数，据此列出不等式组求解即可得到的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义，需满足， 解不等式，得 ， 解不等式 ，得 ， 因此的取值范围是 且 ． 12. 在直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，，点A绕点B逆时针旋转 得到点，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的旋转坐标变换，旋转的性质，连接，，过点作轴垂线，过点作 轴垂线，交于点，过点作轴垂线，交于点，易知，，证明，可得，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接，，过点作轴垂线，过点作 轴垂线，交于点，过点作轴垂线，交于点， 则， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴， ∵点A绕点B逆时针旋转 得到点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标是． 故答案为：． 13. 如图，已知一次函数 与 的图象如图所示，其交点 的坐标为，则关于 的不等式 的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象的交点，关于 的不等式 即 的解集，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：一次函数 与 的图象如图所示，其交点 的坐标为， 根据图象可知，不等式 即 的解集为 ． 14. 如图，在平行四边形中，，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则 _____，线段长度的最小值是_____． 【答案】 ①. 90 ②. 2 【解析】 【分析】取的中点，连接，可得为的中位线，即得，得到点在射线 上运动，当 时，的值最小，设与相交于点，先证为等边三角形，得到 ， ，即得，再利用平行四边形的性质可得，进而求出的度数，推出四边形是矩形，即得，，进而即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点在射线 上运动， 当 时，的值最小，如图， 设与相交于点， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ， ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值是. 15. 如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键． 利用轴对称性质得到对称点，观察发现，这些对称点都在以O为圆心，为半径的圆上，进行解题即可． 【详解】解：设直线与直线相交于点O， 根据对称性，点P关于的对称点，关于的对称点，以此类推，得到一系列点，，，，…，， 如图，点P每经过6次对称又回到点P， 若与P重合， 则n的最小值为6． 故答案为：6． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算、解不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1），，绝对值，二次根式的性质解答即可； （2）根据解不等式组的基本步骤求解即可； 【小问1详解】 解：原式  ； 【小问2详解】 解： 解第一个不等式得 ，  解第二个不等式得 ，  不等式组的解集为 ． 17. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）平移，点的对应点，画出平移后对应的； （2）作出关于坐标原点成中心对称图形的，并写出，的坐标； （3）在 轴上是否存在一点使得 的和最小？若存在，求出点的坐标． 【答案】（1）见解析； （2），，图见解析； （3）存在，． 【解析】 【分析】本题主要考查了平移，中心对称作图，轴对称，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由的对应点，则需把向左平移个单位，向上平移个单位即可； （）分别作，，关于坐标原点成中心对称，，，然后连接即可； （）作点关于 轴的对称点，连接与 轴交于点，点即为所求，作点关于 轴的对称点，连接与 轴交于点，点即为所求，设直线的表达式为，将代入得直线的表达式为，然后由当时，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：由的对应点，则需把向左平移个单位，向上平移个单位，如图所示， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：分别作，，关于坐标原点成中心对称，，，如图， ∴即为所求，； 【小问3详解】 解：作点关于 轴的对称点，连接与 轴交于点，点即为所求，如图， 设直线的表达式为，将代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴． 18. 如图，已知在中，点是边上的一个动点，过点作交于点，且平分，在边上取点，使． （1）试说明为等腰三角形； （2）若， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可； （2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【小问1详解】 解：平分， ， 又， ， ， ， 为等腰三角形， 【小问2详解】 过点作， 为等腰三角形， ， ， 在中，， ， 则的长为． 19. 在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． （1）若，， ．求的周长； （2）若点恰好是的中点， 为外角的平分线，交的延长线于点，求证： ． 【答案】（1）25 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理求出，进而求出，根据三角形周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质、角平分线的定义、等量代换得到，得到，根据三角形内角和定理、垂直的定义证明． 【小问1详解】 解：∵平分， ， 又 ， ， ， 是的中点，， 是的中位线， ， ， 的周长． 【小问2详解】 证明：由题意可知，为的中位线， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 20. 某童装店到厂家选购、 两种服装 若购进种服装件， 种服装件，需要资金 元，若购进种服装件， 种服装 件，需要资金 元． （1）求、 两种服装的进价分别是多少元？ （2）若销售一件种服装可获利元，销售一件 种服装可获利元 根据市场需求，购进种服装的数量要比购进 种服装的数量的 倍还多件，设购进 种服装件，全部售出后获得的总利润为，试用含的代数式表示总利润？ （3）在（2）的条件下，服装店决定：种服装购进数量不超过件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于 元 请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 【答案】（1）种服装的进价是元， 种服装的进价是元 （2） （3）有三种进货方案：方案一：购进 种服装 件，购进 种服装件；方案二：购进 种服装件，购进 种服装件；方案三：购进 种服装件，购进 种服装件；应该选择方案三利润最大 【解析】 【分析】（1）设种服装的进价是元， 种服装的进价是 元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设购进 种服装件，则购进A种服饰件，根据题意即可建立函数关系式； （3）先列出关于的不等式组求出的整数解，继而确定几种方案，再由一次函数的性质求解最大利润． 【小问1详解】 解：设种服装的进价是元， 种服装的进价是 元， 列二元一次方程组得：， 解得， 答： 种服装的进价是元， 种服装的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进 种服装件， 由题意得 ； 【小问3详解】 解：购进 种服装件，则购进种服装 件， 根据题意列一元一次不等式组得，， 解得 ． 因为应该为正整数， 所以，，，则 ，，， 所以有三种进货方案： 方案一：购进种服装 件，购进种服装件； 方案二：购进 种服装件，购进种服装件； 方案三：购进 种服装件，购进种服装件； 由于 ，其中 ∴随着的增大而增大， ∴当 时，利润最大，为 （元）． 21. 点为中内任一点，连接，， ，将绕点逆时针旋转，得到． （1）如图，试判断的形状，并说明理由． （2）若点是内一个动点，试说明当点B，P，D，E四个点满足什么位置条件时，PA的和最小． 【答案】（1）等边三角形，理由见解析 （2）四个点在一条直线上时， 的和最小，理由见解析 【解析】 【分析】该题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由旋转可得，，即可证明； （2）由（1）可知为等边三角形，则，故，即可得当点B，P，D，E四个点在一条直线上时， 的和最小． 【小问1详解】 解：由题意可知由旋转得到， ， ， 又， 为等边三角形． 【小问2详解】 解：当点B，P，D，E四个点在一条直线上时， 的和最小． 理由：由（1）可知为等边三角形， ， ， 观察图可知，当点B，P，D，E四个点在一条直线上时， 的和最小． 22. 【综合与实践】 如图，已知直线与轴交于点，与 轴交于点． （1）求点，点的坐标以及的面积； （2）若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转 （即）得到，此时点恰好落在直线上． ①求点和点的坐标； ②若点在 轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由． 【答案】（1），，的面积为 （2）①，；②存在，，或 【解析】 【分析】（1）分别令，求得的坐标，进而根据三角形的面积公式，求得的面积； ①根据题意过点作于点，利用全等三角形的判定先证，可求出、的长，进而即可得出点和点的坐标； ②根据题意设点的坐标为，分为边和为对角线两种情况考虑：当为边时，由，的坐标及点的横坐标可求出值，进而可得出点，的坐标；当为对角线时，由，的坐标及点的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出值，进而可得出点的值． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与 轴交于点 当时，，当时， ∴，， ∴ ∴的面积为 【小问2详解】 ①过点作于点， ，， ．又， ， ，． 设，则点的坐标为， 点在直线上， ， ， 点的坐标为，点的坐标为． ②存在点的坐标为，或． 理由如下： 设点的坐标为． 分两种情况考虑，如图2所示： 当为边时， 点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， 或， 或， 点的坐标为，点的坐标为； 当为对角线时， 点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， ， ， 点的坐标为． 综上所述：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为，或． 23. 【问题情景】 如图1，把一个含的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，连接，点与分别是、的中点，连接，． （1）如图1，点、分别在正方形的边、上，连接．求证：， 【变式探究】 （2）如图2，将图1中直角三角板绕点顺时针旋转，当点落在线段上时，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，将图1中直角三角板绕点顺时针旋转 （），其他条件不变，若， ，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴ ， ， 在中， ∵M是的中点， ∴， 又∵N是的中点， ∴是 的中位线， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）结论仍然成立，证明如下： 如图2，延长交的延长线于H， ∵点E落在线段上， ∴， ∴， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ，， ∴，是等腰直角三角形， ∴ ， ∵是等腰三角形， ∴， ∴，即， ∵点M与N分别是、的中点，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得：，再由三角形中位线定理得：，则；再证明得； （2）由三角形中位线定理可得，，，，由等腰直角三角形的性质可得 ，，即可求解； （3）由可证，可得，由三角形中位线定理可得，，，，可得，则，即当有最小值时，有最小值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，连接，，延长至H，使，连接，， ∵点M与N分别是、中点，， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当点E在上时，的最小值为， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（下）阶段性学情调研数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列图案分别是北京大学、中国人民大学、中南大学、西南财经大学校徽的主体图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 有下列几个数：，2.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”），，，，，其中无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　） A. （3，﹣2） B. （2，3） C. （2，﹣3） D. （﹣3，﹣3） 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 如果一个数有算术平方根，则其算术平方根一定是正数 B. 一个不等于0的实数的立方根的符号与这个数的符号相同 C. 如果，则 D. 由，可以得出 6. 如图，小亮在数轴上作，使得， ，，再在正半轴上取点，使得，则点表示的数是（ ） A. 3.5 B. 3.7 C. D. 7. 若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对于某个一次函数 ，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. 随的增大而增大 D. 图象可能经过原点 9. 在矩形中， ，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形 ，点，，的对应点分别为，当点落在线段的延长线上时，与 相交于点，则线段 的长为（ ） A. B. C. D. 10. 某次大型活动中，组委会用无人机航拍活动过程．已知无人机的上升速度和下降速度相同．无人机的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 无人机的上升速度是 B. 表示的数是3 C. 无人机在空中保持高度不变进行拍摄，拍摄的时间共有9min D. 表示的数是15 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 当x满足______时，分式有意义． 12. 在直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，，点A绕点B逆时针旋转得到点，则的坐标是______． 13. 如图，已知一次函数 与 的图象如图所示，其交点 的坐标为，则关于 的不等式 的解集为______． 14. 如图，在平行四边形中，，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接 ，则 _____，线段 长度的最小值是_____． 15. 如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算、解不等式组： （1）； （2）． 17. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）平移，点的对应点，画出平移后对应的； （2）作出关于坐标原点成中心对称图形的，并写出，的坐标； （3）在轴上是否存在一点使得 的和最小？若存在，求出点的坐标． 18. 如图，已知在中，点是边上的一个动点，过点作交 于点，且平分，在边上取点，使． （1）试说明为等腰三角形； （2）若， ，求的长． 19. 在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交 于点，连接． （1）若，， ．求的周长； （2）若点恰好是 的中点， 为外角的平分线，交的延长线于点，求证： ． 20. 某童装店到厂家选购、 两种服装 若购进种服装件， 种服装件，需要资金 元，若购进种服装 件， 种服装 件，需要资金 元． （1）求、 两种服装的进价分别是多少元？ （2）若销售一件种服装可获利元，销售一件 种服装可获利元 根据市场需求，购进种服装的数量要比购进 种服装的数量的 倍还多件，设购进 种服装件，全部售出后获得的总利润为，试用含的代数式表示总利润？ （3）在（2）的条件下，服装店决定：种服装购进数量不超过件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于 元 请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 21. 点为中内任一点，连接，， ，将绕点逆时针旋转，得到． （1）如图，试判断的形状，并说明理由． （2）若点是内一个动点，试说明当点B，P，D，E四个点满足什么位置条件时，PA的和最小． 22. 【综合与实践】 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求点，点的坐标以及的面积； （2）若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转（即）得到，此时点恰好落在直线上． ①求点和点的坐标； ②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由． 23. 【问题情景】 如图1，把一个含的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，连接，点与分别是、的中点，连接，． （1）如图1，点、分别在正方形的边、上，连接．求证：， 【变式探究】 （2）如图2，将图1中直角三角板绕点顺时针旋转，当点落在线段上时，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，将图1中直角三角板绕点顺时针旋转 （），其他条件不变，若， ，直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $