精品解析：河北石家庄精英中学2025-2026学年高二下学期第三次调研考试数学试题

石家庄精英中学2025~2026学年第二学期第三次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为随机变量和的样本相关系数，为随机变量 和的样本相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则和正相关 B. 若 ，则 和负相关 C. 若，则和的线性相关程度比 和的线性相关程度强 D. 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若 ，则X和Y负相关，A错误； 对于B，若 ，则M和N正相关，B错误； 对于C，若 ，，可得X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度弱，C错误； 对于D，当 越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强， 当 越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱，D正确． 2. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行知识竞赛，若甲不是第一名，则5人不同名次排列的种数为（ ） A. 96种 B. 98种 C. 108种 D. 112种 【答案】A 【解析】 【分析】若甲不是第一名，则有4种选择，再对其他4人进行全排列. 【详解】若甲不是第一名，则甲有4种选择，再对其他4人进行全排列， 则5人不同名次排列的种数为 ． 3. 已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由随机变量分布列性质得： ，解得， 所以 ． 4. 篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业两个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，50%，且这两个部门的员工人数之比为，现从这两个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（ ） A. 0.44 B. 0.46 C. 0.54 D. 0.70 【答案】B 【解析】 【详解】设两个部门分别为部门1、部门2， 由人数比为，可得抽到部门1的概率为 ，抽到部门2的概率为 ， 已知部门1员工喜欢篮球的概率为 ，部门2员工喜欢篮球的概率为， 根据全概率公式，从这两个部门中随机抽取一人， 其喜欢篮球的概率为： . 5. 从数字0、1、2、3、4、5中任取3个数字构成无重复数字的3位数，其中能被3整除的整数的个数为（ ） A. 40 B. 42 C. 46 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】先找出能被3整除的无重复数字的3位数，再分选了0和选了3两种情况求解即可. 【详解】从0或3，1或4，2或5中各选一个数字，构成的3位数能被3整除； 若选了0，构成能被3整除的整数的个数为 ； 若选了3，构成能被3整除的整数的个数为 ． 可得能被3整除的整数的个数为 ． 6. 如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内，若小球下落过程中向左落下的概率为，则小球最终落入④号球槽的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 设小球最终落入④号球槽为事件A，小球落下要经过5次碰撞， 每次向左、向右落下的概率分别为和，并且相互独立， 最终落入④号球槽需两次向左，三次向右， 所以小球最终落入④号球槽的概率为：． 7. 随机变量的分布列是（ ） 2 4 6 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由均值的定义求出均值, 由方差公式计算出方差 做差比较可得. 【详解】， 故选：A 【点睛】1．均值与方差的一般计算步骤 (1)理解的意义，写出的所有可能取的值； (2)求取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由均值的定义求出均值 ，进一步由公式求出 8. 某单位有1000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占．给出下面两种化验方法． 方法1：对1000人逐一进行化验． 方法2：将1000人分为100组，每组10人．对于每个组，先将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验．如果混合血样呈阴性，那么可断定这10人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次. 运用概率统计的知识判断下列能使得混合化验方法优于逐份化验方法的值为（ ） （参考数据： ） A. 25 B. 24 C. 22 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】先求每组化验次数的数学期望，根据混合化验总期望小于逐一化验次数列不等式，借助对数化简求出 ，选出符合条件的数值即可. 【详解】设逐份化验方法中的样本需要检测的总次数为，则E(X)=1000， 设混合化验方法中的每组样本需要化验的次数为，则可能的取值为1，11， 则，， 所以， 所以100组的化验次数的均值为， 要使得混合化验方法优于逐份化验方法，需， 即 ，即，即， 又 ，所以 ， 所以 ，所以 ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知（其中）的展开式中共有13项，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中二项式系数之和为 B. 展开式中各项系数之和为 C. 展开式中的有理项共有6项 D. 展开式中含的项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据二项式展开式的项数确定，再分别对二项式系数和、各项系数和、有理项、特定幂次项进行判断即可. 【详解】由展开式中共有13项，可得． 对于A：展开式中的二项式系数之和为，A正确； 对于B：令，可得展开式中各项系数之和为，B正确； 对于C：展开式的通项为：（r =0，1，2，．．．，12）， 若为有理项，则为整数，即为偶数，则可取0，2，4，6，8，10，12，共有7项，C错误； 对于D：令 ，可得 ，可得展开式中含的项为，D正确． 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 某校高三年级名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩服从正态分布（试卷满分为分）．统计结果显示，数学检测成绩介于分到 分之间的人数为名，则此次检测中成绩不低于 分的学生人数约为总人数的 C. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，满足，且，则 D. 若事件，满足 ， ，且，则与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二项分布方差公式与方差的线性运算性质，代入公式计算后对比数值判断正误，判断选项A；根据正态分布的对称性，利用均值 的对称轴性质，将区间概率拆分，进而判断选项B；两点分布的性质与期望，结合 “概率和为 1” 与 “乘积条件” 列方程，结合大小关系筛选解，最终计算期望判断选项C；事件独立性的定义，利用概率的基本运算公式对题设等式变形，判断选项D． 【详解】选项A：， ，故A错误； 选项B：，可得， 有，即成绩不低于 分的学生人数约为总人数的，B正确； 选项C：随机变量X的分布列服从两点分布，所以 ， 又，解得或， 又 ，所以，则， 所以，C正确； 选项D： ，即， 可得事件A与B相互独立，D正确． 11. 某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（ ） A. 甲队的积分不可能为8分 B. 甲队积分为3分的概率为 C. 四支球队的积分总和可能为14分 D. 甲队胜2场且乙队负2场的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意列出甲队至少要赢场的情况并确定对应积分判断A，应用独立事件的乘法及互斥事件加法求出对应概率判断B、D，分析不同结果对应两队的积分之和，进而得到14分对应的胜负分布情况判断C. 【详解】A，由题意可知，甲队需要比赛场， 若甲队的积分为分，则甲队至少要赢场． 若甲队赢场，则甲队的积分为分， 若甲队赢场平场，则甲队的积分为分， 若甲队赢场负场，则甲队的积分为分． 综上，甲队的积分不可能为分，A正确； B，若甲队积分为分，则甲队赢场负场，或甲队平场， 所以，甲队积分为分的概率为，B错误； C，对于每一场， 若一场比赛能决出胜负，则该两队的积分之和为分， 若一场比赛为平局，则该两队的积分之和为分， 所以每场比赛两队的积分之和为分或分， 由题意可知，四支队伍比赛的总场数为 ， 由于 ，故只有场比赛中有场是平局，有场能决出胜负， 此时四支球队的积分总和为 分，C正确； D，甲队胜场且乙队负场包含以下几种情况： ①甲乙对战时是平局，则甲胜丙、甲胜丁、乙负丙、乙负丁， 此时概率为， ②若甲胜乙，则甲与丙、丁的对战中，恰有一场甲胜，乙与丙、丁的对战中，恰有一场乙负， 此时的概率为， ③若乙胜甲，则甲胜丙，甲胜丁且乙负丙，乙负丁， 此时的概率为． 综上，甲队胜场且乙队负场的概率为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后遇到好天气，可得收益6000元，如出海后天气变坏将损失7000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费，据气象部门的预测下月好天气的概率为0.4，天气变坏的概率为0.6，则该渔船应选择______（填“出海”或“不出海”）． 【答案】不出海 【解析】 【详解】若选择出海，设为渔船的收益，则由题意知的可能取值为6 000元， 元， ， ， 所以 ； 若选择不出海，无论天气好坏都要承担1 000元的损失费，又由 ， 故作出决策为：不出海． 13. 两位游客准备分别从华清池、兵马俑、钟楼、大雁塔、华山5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件 “两位游客中至少有一人选择华清池”，事件“两位游客选择景点不同”，则 ______． 【答案】 【解析】 【详解】依题意， ， ，所以． 14. 今有一批数量庞大的瓶装饮用水，假设这批水的某项矿物质含量偏差值（单位：毫克/升），现从中随机抽取瓶，这瓶水中恰有瓶的矿物质含量偏差值位于区间．则使得最大时，正整数的值为______．（ ， ， ） 【答案】 【解析】 【分析】先由随机变量服从正态分布可得位于区间的概率为 ，进而可得，再二项分布的概率公式求概率的最大项可得. 【详解】计算矿物质含量偏差值位于区间 的概率：已知，则 ， ， 因为 ， ，所以 ． 根据正态分布的性质 ， ，可得： ． 即从瓶水中随机抽取，每瓶水的矿物质含量偏差值位于区间 的概率为 ， 不位于该区间的概率为 ，这是一个二项分布问题，即， 根据二项分布的概率公式 ， 可得，要使最大， 则需满足， 由可得：， 即， 化简可得： ，即 ， ，解得 ． 又由可得：， 即， 化简可得： ，即， ，解得 ． 综上所述， ，因为为正整数，所以正整数的值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤． 15. 一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台，从中随机挑选出台电脑． （1）求挑选出的台电脑中品牌电脑的台数是品牌电脑的台数的正整数倍的概率； （2）设挑选出的台电脑中品牌电脑的台数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列为 数学期望. 【解析】 【分析】（1）直接根据古典概型的概率公式计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，因此由超几何分布的概率公式计算可得. 【小问1详解】 从台电脑中随机挑选出台电脑共有 种结果， 因为挑选出的品牌电脑的台数是品牌电脑的台数的正整数倍， 所以挑选出的品牌电脑台，品牌电脑台或品牌电脑和品牌电脑各台，共有 ． 所以挑选出的台电脑中品牌电脑的台数是品牌电脑的台数的正整数倍的概率为：． 【小问2详解】 可能的取值为 ，且服从超几何分布， . 所以，， ，． 可得X的分布列为： 可得． 16. 已知． （1）求的值（数据： ）； （2）求的值； （3）证明： 能被1000整除． 【答案】（1）59049 （2）20 （3）由 ． 即 ． 因为 是整数， 所以 能被1 000整除． 【解析】 【分析】（1）利用赋值法和平方差公式计算求解即可； （2）利用导数与赋值法即可求解； （3）利用 ，结合二项式定理计算即可证明结论. 【小问1详解】 由 ， 有 ． 又由， 有． 可得 =59 049． 【小问2详解】 由， 有，可得=20． 【小问3详解】 略. 17. 已知函数 ． （1）讨论函数的单调性； （2）当 时，设函数，函数的极小值点为，求证：．（数据： ） 【答案】（1）当时，单调递增区间为 ；当a > 0时，单调递增区间为 ，单调递减区间为 （2）证明：当时，有，有 ． 令 ，有 ， 令，可得 ，又 是增函数， 所以函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 又 ， ， ， ， ， 故可设函数 的两个零点分别为 ． 当或时，，即 ； 当时，，即 ， 可得函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 可得 ，有 且 ． 有 ， ． 当 时， 单调递减， 当时， ；当时，， 可得． 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，根据 的取值分类讨论函数的单调性即可； （2）令 ，根据导数研究该函数的单调性，进而判断的单调性，确定极小值点及的范围，由 得到 ，代入函数解析式化简，得，再利用二次函数的性质即可证明. 【小问1详解】 由题意知的定义域为 ， ． ①当时，恒成立，可得函数的单调递增区间为 ． ②当时，令，可得 ，所以函数的单调递增区间为 ； 令 ，可得 ，所以函数的单调递减区间为 ． 【小问2详解】 略. 18. （1）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数，其中的各位数字中，， 出现0的概率为，出现1的概率为，且各数位取值相互独立，若启动一次出现的数字为 ，则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得分，求 次重复试验的总得分的数学期望； （2）袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球．现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取出时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 3 4 5 数学期望为 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法，结合二进制数位的取值规则，计算单次试验出现指定序列 的概率， 次重复独立试验，成功次数Z服从二项分布，直接用二项分布期望公式计算，根据得分规则，将总得分Y表示为成功次数Z的一次函数，最后代入公式计算求解； （2）根据题意得出随机变量可能的取值，分别计算相应概率得出分布列，并计算期望值． 【详解】（1）启动一次出现数字为 的概率为， 设 次重复试验中成功的次数为Z，由题意知变量Z符合二项分布， 根据成功概率和试验的次数，有 ，可得， 由总得分为 ． 可得． （2）由题意可知随机变量可能的取值为 ， 当 时，前三次分别取出1个红球，1个黑球和1个白球， ， 当 时，前四次分别取出2个黑球和2个白球， ， 当 时，， 故随机变量的分布列为： 3 4 5 数学期望为． 19. 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施．物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度．某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市．从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为． （1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； （2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种． 记第次选择方案，， 的概率分别为，，． （i）求、，并证明：数列和数列都为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率． 【答案】（1）； （2）（i），． 证明：设第n次物流选择方案A、B、C分别为事件、、，第n次物流提前送达为事件， 则，，，因为 ，所以， 所以， 由②根据全概率公式可得 ， 注意到，，而， 所以， 同理可得． 有， 且 ，所以 ，故为定值， 即是以为首项，为公比的等比数列． 同理，可得 ， 且 ，所以 ， 即是以为首项，为公比的等比数列． （ii）从第2次起，智能自适应调度系统能逐步提高物流提前送达的概率． 【解析】 【分析】（1）先求出A、B、C被选中的概率，再利用全概率公式计算求解； （2）（i）利用递推关系结合已知条件求出，将递推式代入目标序列，化简后分别求出公比，首项非零，符合等比数列定义，证明结论； （ii）利用两个等比数列的通项公式联立方程组，解出；代入全概率公式得出关于的函数，利用指数函数的单调性得出相关结论． 【小问1详解】 设选择方案A、B、C分别为事件A、B、C，物流提前送达为事件Z， 则， ，，， ． 【小问2详解】 （i）由①知道． 由②根据全概率公式可得 ， ． 证明：略 （ii）由（i）可得，， 联立解得，， 所以． 随着的增大，增大，注意到， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统能逐步提高物流提前送达的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄精英中学2025~2026学年第二学期第三次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为随机变量和的样本相关系数，为随机变量和的样本相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则和正相关 B. 若 ，则和负相关 C. 若，则和的线性相关程度比和的线性相关程度强 D. 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱 2. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行知识竞赛，若甲不是第一名，则5人不同名次排列的种数为（ ） A. 96种 B. 98种 C. 108种 D. 112种 3. 已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 则 （ ） A. B. C. D. 4. 篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业两个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，50%，且这两个部门的员工人数之比为，现从这两个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（ ） A. 0.44 B. 0.46 C. 0.54 D. 0.70 5. 从数字0、1、2、3、4、5中任取3个数字构成无重复数字的3位数，其中能被3整除的整数的个数为（ ） A. 40 B. 42 C. 46 D. 48 6. 如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内，若小球下落过程中向左落下的概率为，则小球最终落入④号球槽的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 随机变量的分布列是（ ） 2 4 6 A. B. C. D. 8. 某单位有1000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占．给出下面两种化验方法． 方法1：对1000人逐一进行化验． 方法2：将1000人分为100组，每组10人．对于每个组，先将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验．如果混合血样呈阴性，那么可断定这10人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次. 运用概率统计的知识判断下列能使得混合化验方法优于逐份化验方法的值为（ ） （参考数据： ） A. 25 B. 24 C. 22 D. 20 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知（其中）的展开式中共有13项，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中二项式系数之和为 B. 展开式中各项系数之和为 C. 展开式中的有理项共有6项 D. 展开式中含的项为 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 某校高三年级名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩服从正态分布（试卷满分为分）．统计结果显示，数学检测成绩介于分到 分之间的人数为名，则此次检测中成绩不低于 分的学生人数约为总人数的 C. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，满足，且，则 D. 若事件， 满足 ， ，且，则与 相互独立 11. 某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（ ） A. 甲队的积分不可能为8分 B. 甲队积分为3分的概率为 C. 四支球队的积分总和可能为14分 D. 甲队胜2场且乙队负2场的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后遇到好天气，可得收益6000元，如出海后天气变坏将损失7000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费，据气象部门的预测下月好天气的概率为0.4，天气变坏的概率为0.6，则该渔船应选择______（填“出海”或“不出海”）． 13. 两位游客准备分别从华清池、兵马俑、钟楼、大雁塔、华山5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件 “两位游客中至少有一人选择华清池”，事件“两位游客选择景点不同”，则 ______． 14. 今有一批数量庞大的瓶装饮用水，假设这批水的某项矿物质含量偏差值（单位：毫克/升），现从中随机抽取瓶，这瓶水中恰有瓶的矿物质含量偏差值位于区间．则使得最大时，正整数的值为______．（ ， ， ） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤． 15. 一批笔记本电脑共有台，其中品牌台， 品牌台，从中随机挑选出台电脑． （1）求挑选出的台电脑中品牌电脑的台数是 品牌电脑的台数的正整数倍的概率； （2）设挑选出的台电脑中 品牌电脑的台数为，求的分布列与数学期望． 16. 已知． （1）求的值（数据： ）； （2）求的值； （3）证明： 能被1000整除． 17. 已知函数 ． （1）讨论函数的单调性； （2）当 时，设函数，函数的极小值点为，求证：．（数据： ） 18. （1）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数，其中的各位数字中，， 出现0的概率为，出现1的概率为，且各数位取值相互独立，若启动一次出现的数字为 ，则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得分，求 次重复试验的总得分的数学期望； （2）袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球．现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取出时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望． 19. 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施．物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度．某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市．从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案 ：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为． （1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； （2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种． 记第次选择方案， ，的概率分别为，，． （i）求、，并证明：数列和数列都为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $