河北石家庄精英中学2025-2026学年第二学期第一次调研考试高二数学

石家庄精英中学2025~2026学年第二学期第一次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.函数f(x)=√x在区间[1,4]上的平均变化率为 A.1 B时 c 2.若曲线f(x)=e-ax在x=0处的切线与直线y= 3X-1垂直，则a= A.-2 B.-1 c.1 D.2 3.函数f(x)=(x-1)e的图象大致为 D. 【高二数学第1页（共4页）】 4.已知f(x)=sin2x+cosx, 则f 2 B.- C⑤ D.1 2 2 5.若x=1和x=2是函数f(x)=x3-ax2+bx+1的两个极值点，则2a+b= A.9 B.11 C.13 D.15 6.曲线f(x)=xlnx上的点到直线xy-2=0的最短距离为 A岭 C.√2 D32 2 2 2 7.已知函数f网=x-mx2+3x-1,若x,名∈R且x≠x,都有）-fx>2x+x),则实 x2-x1 数m的取值范围为 A.[-5,V5] B.[-2,4] C.[-5,1] D.(-0,-V3]U[2W3+o) 8.若函数f(x)=x3-3x在区间(-m,√2m)上存在最大值与最小值，则实数m的取值范围为 A.(1,2] B.4,V2] c.(4,V5] D.(22) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图是函数f(x)的导函数f'(x)的图象，下列说法正确的是 A.函数f(x)在区间(3，+oo)上单调递增 B.函数f(x)在区间(0,1)上单调递减 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.函数f(x)有两个极小值点 10.己知定义域为R的函数fx)的导函数为f'(x),且有f'(x)>f(x)，则下列正确的是 A.f(1)>ef(0) B.f)<ef(0) C.f(2In 2)>2f(In 2) D.f(2ln2)<2fn2) 1已加爵数因-方式-x2+6:则下列设法正确的是 A.若a>0时，x=0是函数fx)的极小值点 B.若a=6,b=18,则函数fx)的图象关于点P(3,0)对称 C.当0<b<4或二r<b<0时，函数f有且有3个零点 6 6 D若函数g(/-号x-2nx-6有3个学点，则实数a的取值范周为号-2山2- 【高二数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知f(x)=e-2x,则1imf0)-f@= 1-→02t 13.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2时取得极大值，则fx)的极小值为 14.若存在实数a,b,使直线y=ax+b是函数fx)=4elnx和函数gx)=2x2+2的公切线（其中e为自然对数的 底数)，则实数a的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是22分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径. 已知每出售1mL的饮料，制造商可获利1分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为3cm (1)瓶子半径多大时，能使得每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x3-x. (1)求曲线y=fx)经过点P(1,0)的切线方程； (2)若曲线)寸)在点M(a,f@)处的切线的领斜角的取值范围为[0，孕U(子网，求实数a的取 值范围， 【高二数学第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 已知函数回=有式+片2+a 3 (1)若函数f(x)在区间(3，+o)上存在单调递增区间，求实数a的取值范围； (2)当0<a<2时，函数f在区间[1,6上的最小值为-99，求a的值. 2 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ae2x+(2a-2)e*-2x-1. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f)有两个零点，求实数a的取值范围， 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x-a)nx,t(x)=e+x-1. (1)若x=1是函数f(x)的极值点，求函数f(x)的单调区间； (2)当a=0时，证明：t(x)>f(x): (3)当x≥0时，若t(x)≥(a+1)x2+2x恒成立，求实数a的取值范围. 【高二数学第4页（共4页）】 石家庄精英中学2025~2026学年第二学期调研考试 高二数学·参考答案 1.C 【详解】函数在区间[1,4]上的平均变化率为.故选C. 2.A 【详解】由，有，可得a =-2.故选A. 3.B 【详解】令，可得函数f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为，又由，可知当时，f (x)<0，即B选项正确.故选B. 4.A 【详解】由，可得.故选A. 5.D 【详解】由，有，可得，可得.故选D. 6.A 【详解】由，令，可得x =1，又由f (1)=0，可得点（1，0）到直线x-y-2=0的最短距离为.故选A. 7.C 【详解】不妨设，则有，即，可得函数在R上单调递增，又由，有，可得.故选C. 8.B 【详解】由，可得函数f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为，又由，必有，可得.故选B. 9.ACD 【详解】由导函数的图象可知函数f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为，可知A、C、D选项正确，B选项错误.故选ACD. 10.AC 【详解】令，由，可得函数g (x)在R上单调递增.由1>0，有g (1)>g (0)，有，可得.又由，有g (ln4)>g (ln2)，有，可得.故选AC. 11.BCD 【详解】由，当a=0时，，函数f (x)在R上单调递增；当a>0时，函数f (x)的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为；当a<0时，函数f (x)的单调递减区间为（a，0），单调递增区间为. 对于A选项，当a >0时，由函数f (x)在区间上单调递增，在区间(0,a)上单调递减，可得x =0是函数f (x)的极大值点，故A选项错误； 对于B选项，若a =6，b =18，有， 有， 可得函数f (x)的图象关于点P（3，0）对称，故B选项正确； 对于C选项，当时，有a >0，可知函数f (x)的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为.又由，可得函数f (x)有3个零点； 当时，有a <0，可知函数f (x)的单调递减区间为（a，0），单调递增区间为. 又由，可得函数f (x)有3个零点.故C选项正确； 对于D 选项，，令g (x)=0，有，令，有，可得函数h (x)的单调递增区间为（0，1），，单调递减区间为（1，2）.当时，；当时，.又由，可得若函数g (x)有3个零点，有，可得，故D选项正确.故选BCD. 12.0.5 【详解】由，可得，可得. 13.0 【详解】由，又由，有，可得c = 2或6. 当c = 2时，，可得函数f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为,，可得x =2是函数f (x)的极小值点，不合题意； 当c = 6时，，可得函数f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为,，可得x = 2是函数f (x)的极大值点，符合题意.可得f (x)的极小值为. 14.4 【详解】解：分别画出f（x）＝4elnx和g（x）＝2x2+2的图象， 可得a＞0，若b＝0，可得4elnx≤ax≤2x2+2， 即有4e•≤a≤2x+，由2x+≥2＝4，当且仅当x＝1时，取得最小值4， 由y＝4e•的导数为y′＝4e•，可得x＝e处y取得极大值，且为最大值4， 可得a的最小值为4． 15.【详解】由题意可知，设每瓶饮料的利润是. ....3分 所以，令，解得r=1. ....................................................................................5分 当时，；当时，. ..........................................................................6分 因此，当时，，单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径0< r <1时，，单调递减，即半径越大，利润越低. ..........................................7分 （1）半径为3 cm时，利润最大. ...............................................................................................................10分 （2）半径为1 cm时，利润最小，这时f (1)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值. ............................................................................................................................................................13分 16.【详解】（1）设切点的坐标为Q（m, f (m)）， 由，可得过点Q的切线方程为. ....................................2分 代入点P的坐标，有，整理为. ..........3分 因式分解为，解得或m =1. .............................................................................7分 当m =1时，切线方程为y =2x-2；当时，切线方程为， 故曲线y =f (x)经过点P（1，0）的切线方程为y = 2x-2或. ..............................................8分 （2）由题意有，有， .....................................................................................11分 解得或，故实数a的取值范围为. .....................................15分 17.【详解】（1）函数f (x)在区间上存在单调递增区间的反面是函数f (x)在区间上单调递减. ...................................................................................................................................................................3分 由，若f (x)在区间上单调递减，可得当时，恒成立. ...........5分 即当时，恒成立，又由当x =3时，取得最小值为6，可得. 故若f (x)在区间上存在单调递增区间，实数a的取值范围为. ........................................8分 （2）一元二次方程的根的判别式， 可得一元二次方程有两个不相等的实数根，分别设为， 又由，可得， .............................................................................10分 又由及，可得， ..............................................................................12分 可得函数f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为， 可得函数f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减， ....................................................13分 又由，可得6a-54=，可得a =. ..........................................15分 18.【详解】（1）函数f (x)的定义域为R， 由. .................................................................................2分 ①当时，恒成立，可得函数f (x)在R上单调递减. ......................................................4分 ②当时，令，可得， 可得函数f (x)的单调递增区间为，单调递减区间为. ...............................................7分 （2）①当时，函数f (x)在R上单调递减，最多只有一个零点，不合题意. ...............................9分 ②当时，若函数有两个零点，必有. ...................................................................................................................................................................12分 设函数，因为g (x)在(0,+∞)上单调递增，且g (1)=0，可得实数a的取值范围为0< a <1. ...................................................................................................................................................................15分 又由当时，；当时，.可知，当0<a<1时函数f (x)有两个零点. 由上知，若函数f (x)有两个零点，可得实数a的取值范围为（0，1）. ...............................................17分 19.【详解】(1)由，有，可得a =1. ...............................................1分 当a =1时，. ..........................................................................................2分 由函数单调递增，且k (1)=0，可得当0< x <1时；当时，. 可得函数f (x)的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为. ........................................................4分 （2）当a =0时，，不等式可化为. ............................5分 ①当时，，可得不等式恒成立. .....................................7分 ②当时，令，有， 利用不等式和有，可得函数g (x)在(0,+∞)上单调递增，可得，可得， 由①②知，当a =0时，不等式成立. ..........................................................................................9分 （3）当时，恒成立可化为， 令，有， 令. .............................................................................................................10分 ①当时，，函数单调递增，且，可得， 可得函数h (x)单调递增，又由h (0)=0，可得. .............................................................12分 ②当时，，由，令，可得. ................13分 （ⅰ）当时，，函数单调递增，又由，可得， 可得函数h (x)单调递增，又由h (0)=0，可得. ....................................................................14分 （ⅱ）当时，，可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 又由，可得当时，，可得函数h(x)单调递减，又由h (0)=0，可得当时，h(x)<0，不合题意. .....................................................................................................16分 由上知，若当时，恒成立，则实数a的取值范围为. ...............17分 【高二数学参考答案第 1 页（共 5 页）】 学科网（北京）股份有限公司 $