精品解析：河北省滦州市第一中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试卷

高二数学试卷 一、单选题 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（ ） A. 15个 B. 16个 C. 31个 D. 32个 3. 已知变量和的统计数据如下表： 1 2 3 4 5 0.9 1.3 1.8 2.4 3.1 若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（ ） A. 5.75 B. 7.5 C. 7.55 D. 8 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 48 D. 288 7. 已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将4本不同的书分给3个人，则共有24种分配方法 B. 将2个a，3个b，1个排成一排，则共有60种排法 C. 将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法 D. 从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则函数的最大值为 B. 已知，则的最小值为 C. 已知正数满足，则 D. 已知，则的最小值为 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正整数k，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题 12. 复数的虚部为________. 13. 若直线与曲线相切，则的最小值为________． 14. 已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 四、解答题 15. 已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比为． （1）求的值； （2）若展开式的第项是有理项，求的取值集合； （3）记展开式中所有奇数项的系数之和为，偶数项的系数之和为，求． 16. 已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求的单调区间． （3）求在区间上的最值． 17. 某次考试中，语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如下： （1）如果成绩大于135的为特别优秀，随机抽取的500名学生在本次考试中语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的） （2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中至少有一科成绩特别优秀的同学中随机抽取3人，设3人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望； （3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀. （附公及表） ①若，则，； ②，； ③ 18. 为倡导合作学习、共同发展的理念，某中学高二（1）班举办了以小组为单位的诗词竞答比赛，答题规则是：每组选出一名选手作答，若选手没有把握答对，则在规定时间内寻求同组成员帮助作答，同组成员答对即为选手答对.已知甲选手每道题自己有把握独立答对的概率为，同组成员每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． （1）求甲答对每道题的概率； （2）已知乙选手答对每道题的概率为（含同组成员帮助作答的情况），现甲、乙两人各答两个问题，若甲选手答对题目的个数比乙选手答对题目的个数多的概率不低于，求甲的同组成员每道题答对的概率的最小值． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． （3）对任意，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 一、单选题 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由否定的定义判断即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：D 2. 若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（ ） A. 15个 B. 16个 C. 31个 D. 32个 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，即是求集合的非空子集的个数. 【详解】集合的不含有元素的子集个数就是集合的子集个数，共有个， 故不含元素的非空子集共有15个. 故选：A. 3. 已知变量和的统计数据如下表： 1 2 3 4 5 0.9 1.3 1.8 2.4 3.1 若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（ ） A. 5.75 B. 7.5 C. 7.55 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知样本中心，代入线性回归方程即可求出，再将代入即可. 【详解】，， 所以，即， 令，解得. 故选：A. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式解法解得不等式解集，再根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】因， 即，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件概率和贝叶斯公式计算． 【详解】设表示“发送的信号为0”，表示“接收的信号为0”， 则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”. 由题意得，，，，，. 由贝叶斯公式有. 故已知接收的信号为1，则发送的信号为0的概率为. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 48 D. 288 【答案】B 【解析】 【详解】的展开式通项为：， 要得到的展开式中的系数，分两类讨论： ①取1乘的项：令，解得，对应系数为， ②取乘的项：令，解得，对应系数为， 将两类系数求和，得的总系数为. 7. 已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件转化不等式为，构造函数并求导，结合已知条件得出，从而得出单调递减，结合，得出，从而利用单调性求解． 【详解】，已知不等式，则，即， 设，求导得， 函数是实数集上的减函数， 又，即， ，故不等式的解集为． 8. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式可整理为， 设函数， 令，解得：，，解得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 则实数的取值范围是. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将4本不同的书分给3个人，则共有24种分配方法 B. 将2个a，3个b，1个排成一排，则共有60种排法 C. 将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法 D. 从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分步计数原理判断A，根据顺序一定问题，列式判断B，根据隔板法，列式判断C，根据分类计数原理，或是无序问题，判断D. 【详解】根据分步乘法计数原理，将4本不同的书分给3个人，共有种分配方法，故A错误； 将2个a，3个b，1个排成一排，共有种排法，故B正确； 将6个名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，采用隔板法，共有种方法，故C正确； 从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，共有或种选法，故D错误. 故选：BC. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则函数的最大值为 B. 已知，则的最小值为 C. 已知正数满足，则 D. 已知，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式直接进行求解；对于B，分离常数后直接利用基本不等式计算求解即可；对于C，将分母转化已知条件，代换即可；对于D，构造再利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A，因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以则函数的最小值为，故A错误； 对于B，因为，则， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为，故B正确； 对于C，设，， 因为，则，， 要证，即证， 因为， 即，所以，故C正确； 对于D，由得：， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为，故D错误. 故选：BC. 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正整数k，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】分析导函数可作判断A；考查函数的单调性可作判断B；分离参数，再分析函数最值情况而作出判断C；构造函数讨论其单调性，确定即可判断D. 【详解】对于A，定义域为，， 时,时，是的极小值点，A错误； 对于B，令， 在上递减，，有唯一零点，B正确； 对于C，令， 令，时,时,， 在上递减，在上递增，则， ，在上递减，图象恒在x轴上方， 与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误； 对于D，由A选项知，在上递减，在上递增， 由正实数，且，，得， 当时，令， ，即在上递减， 于是有，从而有， 又 ，所以，即成立，D正确. 故选：BD 三、填空题 12. 复数的虚部为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法化简复数值，然后根据定义得出复数的虚部. 【详解】，即虚部为. 故答案为： 13. 若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用相切构造方程①，利用导数的几何意义构造方程②，联立①②得出关系，一元化，求最小值． 【详解】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为， 则①， 曲线求导得，则②，解得， 代入①得，，故， ， 当时，取得最小值，最小值为． 14. 已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，再利用导数结合函数单调求出最值，然后解不等式即可． 【详解】若使得， 则，， 时，，则在上单调递增， ， 又在单调递增，所以， ，解得， 则实数a的取值范围为． 四、解答题 15. 已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比为． （1）求的值； （2）若展开式的第项是有理项，求的取值集合； （3）记展开式中所有奇数项的系数之和为，偶数项的系数之和为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据展开式的通项公式求出第6项系数与第4项系数，根据题意列方程即可求出答案； （2）根据且求出，即可求出答案； （3）根据二项式的展开式列出，设，则，，通过赋值法求出和即可求出答案. 【小问1详解】 展开式的通项公式为， 由题意得，即，解得. 【小问2详解】 由（1）得展开式的第项为， 所以由题意得且，解得， 所以的取值集合为. 【小问3详解】 由（1）得展开式的第项为， 所以， ， 设多项式，其系数， 则，， 令，则，令，则， 所以. 16. 已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求的单调区间． （3）求在区间上的最值． 【答案】（1）切线方程为； （2）单调递减区间为，单调递增区间为； （3）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域并求导，利用导数几何意义求切线方程； （2）通过分析导函数符号确定单调区间； （3）比较区间内极值点和端点的函数值得到最值. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 所以，即切点为，， 由点斜式得切线方程为，即. 【小问2详解】 将导函数整理为， 令，解得，令，解得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点， 计算端点与极值点的函数值： 比较大小：，因此：最小值为；最大值为. 17. 某次考试中，语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如下： （1）如果成绩大于135的为特别优秀，随机抽取的500名学生在本次考试中语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的） （2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中至少有一科成绩特别优秀的同学中随机抽取3人，设3人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望； （3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀. （附公及表） ①若，则，； ②，； ③ 【答案】（1）数学人，语文人 （2） （3）有的把握认为语文特别优秀的同学数学也特别优秀 【解析】 【分析】(1)语文服从正态分布，，即 ，根据频率分布直方图计算成绩大于135的频率，再乘以500就是人数； （2）根据（1）的结果可知，至少有一科特别优秀的有16人，其中都优秀的有6人，恰有一科优秀的有10人，服从超几何分布，列出分布列； （3）列 列联表，计算 和6.635比较大小. 【小问1详解】 ∵语文成绩服从正态分布， ∴语文成绩特别优秀的概率为， 数学成绩特别优秀的概率为， 故语文特别优秀的同学有人，数学特别优秀的同学有人； 【小问2详解】 ∵至少有一科成绩特别优秀的同学人数为：， ∴语文、数学两科都优秀的有人，单科优秀的有人，的所有可能取值为， ∴，， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 3 ∴； 【小问3详解】 列联表： 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 6 6 12 数学不特别优秀 4 484 488 合计 10 490 500 由于， ∴有的把握认为语文特别优秀的同学数学也特别优秀． 18. 为倡导合作学习、共同发展的理念，某中学高二（1）班举办了以小组为单位的诗词竞答比赛，答题规则是：每组选出一名选手作答，若选手没有把握答对，则在规定时间内寻求同组成员帮助作答，同组成员答对即为选手答对.已知甲选手每道题自己有把握独立答对的概率为，同组成员每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． （1）求甲答对每道题的概率； （2）已知乙选手答对每道题的概率为（含同组成员帮助作答的情况），现甲、乙两人各答两个问题，若甲选手答对题目的个数比乙选手答对题目的个数多的概率不低于，求甲的同组成员每道题答对的概率的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将甲答对题目拆分为甲独立答对、甲答错后同组成员答对两种互斥情况，利用互斥事件概率加法公式计算甲答对每道题的概率。 （2）设出甲、乙答对题目的个数，枚举甲答对个数多于乙的所有互斥情况，分别计算对应概率并求和，再解关于的不等式得到的最小值. 【小问1详解】 甲答对题目分为两种互斥情况： ① 甲自己独立答对，概率为 ； ② 甲没答对，同组成员答对，概率为 ； 因此甲答对每道题的概率为： . 【小问2详解】 设甲答对题数为，乙答对题数为， 则，，， 包含三种互斥情况： ；； ， 分别计算概率：​，， ，，， 因此：  ， 根据题意列不等式： ，整理得 ， 结合，解得， 因此的最小值为. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． （3）对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间； （2）由可得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. （3）由不等式整理得到，再通过分析的单调性，得到，再求解即可. 【小问1详解】 因为，， 则，当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 当时，由可得， 令，其中，则直线与函数在上的图象有两个交点. ，当时，，此时函数单调递增. 当时，，此时函数单调递减． 所以函数的极大值为， 且，，在的图象如图所示． 由图可知，当时， 直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是． 【小问3详解】 由，得恒成立，移项， 得恒成立. 构造函数，所以恒成立. 又∵在定义域内单调递增， ∴有在内恒成立， ∴恒成立，即. 由（2）可知最大值为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $