河南周口市商水县第一高中2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

商水一高2025—2026（下）高一年级期末考试 数学试题 一、单选题 1．已知是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（ ） A．向量与向量是相等向量． B．向量的模是一个正实数． C．与实数类似，对于向量，有，，三种关系． D．若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线平行或重合． 3．如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是（ ） A． B． C． D． 4．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ） A．平均数>第60百分位数>众数 B．平均数<第60百分位数<众数 C．第60百分位数<众数<平均数 D．平均数=第60百分位数=众数 5．已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ） A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 6．某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件，至少有一个正常工作，且电子元件正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件，，正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（ ） A．0.564 B．0.704 C．0.644 D．0.336 7．已知长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．不透明口袋中装有编号为1，2，3的三个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回的抽取次小球（每次取一个），记取出的个球的最小编号为2的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A． B．与可以作为所在平面的一组基底 C． D． 10．若，，，则（ ） A．事件与不互斥 B．事件与对立 C．事件与互相独立 D． 11．如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A．，，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．到平面的距离为 三、填空题 12．在复平面内，是原点，向量对应的复数是，若点关于虚轴的对称点为点，则点对应的复数是__________． 13．小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：），连续记录了6天数据：，，，，，，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是__________． 14．已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为__________． 四、解答题 15．已知复数． （1）若复数是实数，求实数的值． （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围． 16．如图，圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，，为底面圆的两条直径，为的中点． （1）求证：平面 （2）求圆锥的表面积． 17．已知的周长为，且． （1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数． 18．周口市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． 19．如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，底面，． （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年度高一下期期末考试数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D C A B C BD ACD 题号 11 答案 ABC 12．；13．由题意可知 ，所以， 将已知数据排序有126，128，132，136， 该组数据的中位数为第3个和第4个数据的平均数， 所以第3个和第4个数据的和为262，不妨设， 则第3个和第4个数据应为，，则，，经验证符合题意，则该组数据的方差为 ， 所以标准差为．故答案为： 14．设圆柱底面半径为，高为，则轴截面周长为，即， 侧面积， 当，即，时等号成立，此时侧面积最大， 设圆柱外接球的半径为，又外接球直径等于轴截面对角线长， 所以，得到， 所以球的体积． 15．（1）因为复数是实数，所以，即， 解得或；所以实数的值为或； （2）因为复数表示的点在第四象限， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围为． 16．解：（1）连结， ，分别为，的中点，， 平面，平面，平面 （2）记底面圆的半径为，侧面展开图扇形的半径为，且， 则，得，又侧面展开图为半圆， ，， 17．（1）解：由正弦定理知， ，， 的周长为，， ． （2）解：的面积， ，由（1）知，，， 由余弦定理， ，． 18．（1）由频率分布直方图得， ，解得． 初赛成绩的众数为85， 估计初赛成绩的平均数为： ． 所以，众数为85，平均成绩为77.5． （2）由（1）知，成绩在，的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为，， 在中随机抽取了人，记为，，， 从5人中随机抽取2人的样本空间为： ，共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为． 19．（1）证明：连接，由四边形是边长为1的菱形，， 可知是正三角形．因为是的中点，所以，又，所以 因为底面，平面，所以． 又平面，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）因为底面，平面，所以． 又，，所以．因为正三角形中，，是的中点， 所以． 因平面，平面，所以， 所以 因为，底面，设点到平面的距离为， 所以，而 所以，即点到平面的距离为． （3）延长、，交于点，连，则为平面和平面的交线． 取中点，连，过作，垂足为，连． 由四边形是边长为1的菱形，， 可知是正三角形，因为是的中点，所以． 因为底面，平面，所以． 又平面，平面，， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，平面，， 所以平面，而平面，所以， 则为二面角的一个平面角． 因为平面，平面，所以． 因为菱形中，，，为的中点，． 在中，，，，， 所以，，又， 所以中，，， 即平面和平面所成锐二面角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $