河南省2025-2026学年高一下学期期末自编模拟考数学试卷（九）

**基本信息** 2025-2026学年河南省高一期末数学模拟卷，覆盖必修一、二核心内容，通过频率分布直方图分析（数据意识）、正方体几何证明（空间观念）、函数不动点探究（创新意识）等试题，综合考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量运算、集合、统计、立体几何|基础概念辨析，如向量模长关系、中位数计算| |多选|3/18|复数性质、函数单调性|选项分层设计，如复数命题真假判断| |填空|3/15|长方体外接球、不等式范围|空间几何与代数结合，如外接球表面积计算| |解答|5/77|统计概率、立体几何证明、向量应用、三角形计算、函数不动点|综合情境与探究，如旅游满意度数据分析（数据意识）、正方体线面平行证明（推理能力）、不动点新定义问题（创新意识）|

2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（九） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知两个非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知模求数量积、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量模长计算式，将等式两边平方化简即可 【详解】由题，即 2．（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由正余弦二倍角公式及两角差的正弦公式转化为特殊角进行化简，进而求解. 【详解】 . 故选：B. 3．已知五个数的平均数为50，则这五个数的中位数为（   ） A．45 B．47.5 C．50 D．52.5 【答案】C 【知识点】根据平均数求参数、计算几个数的中位数 【详解】由题意知，得， 若，则这五个数为45，50，50，50，55，中位数为50． 若，不妨设，则，又，所以这五个数的中位数仍是50． 4．已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得． 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴. 5．四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【详解】设上靠近D的三等分点为E，连接，      因为，分别为棱，上靠近点的三等分点， 所以，则且， 四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角， 因此线面角，得，则, 由.得且，则且， 则四边形为平行四边形，故， 则（或其补角）即为异面直线，所成角； 作，垂足为F，则，则， 故，则； 由平面，平面，则， 结合，平面，则平面， 则平面，平面，则， 而，故， 在中，，则, 即异面直线，所成角的余弦值为. 6．若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、对数的运算性质的应用、对数的运算、指数幂的运算 【分析】由指数函数运算性质可得，由对数函数的性质可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 7．已知函数，且对任意的（且），总存在，使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【详解】由题意，，对任意，存在使得， 即（因为，区间内的数同号，乘积为正），所以必须在区间内， 因此，对于所有，有，由于且，分两种情况讨论： 若，则，函数递减，值域为，需满足， 即且，得且，故； 若，则，同样递减，值域为，需满足， 需满足且，同样得. 因此，. 8．若正数满足，则ab的最小值为（　　） A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】条件等式求最值 【分析】由得到，直接利用基本不等式求解即可. 【详解】，，，， ，，，， 当且仅当时取等号，即，解得， 的最小值为9. 故选：A. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知向量，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量是 【答案】BD 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【详解】A选项：，则，故A选项错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：在方向上的投影向量，故D正确． 10．设、、为复数，．下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】对AD选项直接举反例判断可得，对BC根据复数模的性质判断可得. 【详解】选项A ，复数的模相等不代表复数本身相等或互为相反数，如取，， 则满足，但，因此A错误； 选项B， 因为，所以，又由，所以， 由复数模的性质，，因为，所以，因此B正确； 选项C，根据复数模的性质：对任意复数，都有， 若，则，所以，等式成立，故C正确； 选项D， 举反例：，，则满足，但，因此D错误. 11．已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则不等式的解集为 C．若在上单调递减，则 D．当函数恰有2个零点，则 【答案】BD 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据函数零点的个数求参数范围、解分段函数不等式、由对数（型）的单调性求参数 【分析】A选项，利用分段函数求值即可；B选项，分段解不等式即可；C选项，保证函数在每一段上单调递减且同时满足分段点左侧函数值大于等于右侧函数值即可；D选项，分和分类讨论即可. 【详解】对于A：当时，， ，故A错误； 对于B：当时，， 当时，由，即，不成立， 当时，由，即， 所以，即，所以， 综上，不等式的解集为，故B正确； 对于C：若在上单调递减，则，解得：，故C错误； 对于D：（1）当时，，对称轴为． 所以在上单调递减，与只有一个交点． 在上单调递减．，与没有交点．故舍去. （2）当时，在上单调递增，与直线有一个交点， 所以只要在与有一个交点即可， （i）当时，对称轴， 在上单调递减， 只需时，．即，解得． （ii）当时，对称轴， 此时在上单调递减，在上单调递增， 又因为当时，， 所以要使它与只有一个交点，即有两个相等的实数解，则，即， 因为方程在时无解，所以不满足， 综上所述：，故D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．长方体一个顶点上的三条棱的长分别是，它的外接球的表面积为_________。 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用长方体外接球直径等于其体对角线长度的性质，结合球的表面积公式计算结果. 【详解】设该长方体外接球的半径为， 根据长方体的几何性质，其外接球的直径与长方体的体对角线长度相等， 因此： ， 则球的表面积. 13．已知，，且，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】先将a,b分离，利用基本不等式求得a＋范围，即得－3b范围，解不等式并结合已知条件即得结果. 【详解】由，得. 又，所以a＋≥2(当且仅当a＝1时取等号)，即得， 即得； 又，得，所以的取值范围是. 故答案为：. 14．已知，．当时，，则_____________． 【答案】 【知识点】函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】推导并利用函数的周期求解即可. 【详解】因为，所以，即函数周期为6, 所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中的值，并估计评分数据的第75百分位数； (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 【答案】(1)， (2) 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【详解】（1）由频率分布直方图可知， ， 解得． 因为的频率为，且为最后一组， 所以评分数据的第75百分位数位于区间中， 所以上四分位数为：． （2）评分在与两组的频率分别为，， 采用分层随机抽样的方法，在内抽取人数为，在内抽取人数为， 故4人中评分等级不良好的有1人（记为），评分等级良好的有3人（记为，，），试验的样本空间， 设事件“选取2人的评分等级都为良好”， 则， 所以． 16．正方体的棱长为2，为棱的中点． (1)求证：平面 (2)设平面平面，求证：； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)在正方体中，连接，令，连接， 由四边形为正方形，得是的中点，又是的中点， 则，又平面，平面， 所以平面. (2) 由（1）知：平面，又平面且平面平面， 所以. (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）由（1）的结论，利用线面平行的性质推理得证. （3）利用等体积法求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在正方体中，，， ，而点到平面的距离为正方体棱长2， 所以三棱锥的体积． 17．已知向量，，. (1)若，求； (2)设，，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】(1)利用向量平行的坐标条件求出，代入求解即可 (2)将转化为关于的二次根式，再配方求解最值即可 【详解】（1），且 ， 所以， ，解得 ，，，； （2）    的值域为. 18．（1）在中，边上的中线为，证明：； （2）已知面积为，，，求的长． （3）在中，，边上的高线长为，为的中点，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】(1)利用补角余弦值互为相反数求解； (2)作高拆分底边的几何思路，利用正切定义求出未知数表示出高与底边两段的长度，再代入面积公式列方程求解； (3)利用等腰三角形性质与中线公式得到三边边长，再用余弦定理表示目标角余弦值，通过换元法转化为单变量函数，最后利用配凑分式求最值. 【详解】（1）由得，，化简得， ． （2）作于， 设，则，． ， 解得，． （3）设，则，， 由（1）得，， ， 令，， ， 当时，．此时． 19．对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． (1)若，求的不动点； (2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、基本不等式求和的最小值、函数新定义 【分析】（1）根据题意得到的解析式，然后根据不动点的定义计算即可； （2）（i）将时，有唯一的不动点转化为函数在上只有一个零点，然后列不等式求解即可； （ii）将有两个不相等的不动点，且转化为方程有两个不相等的正根，然后结合韦达定理和基本不等式求最值即可. 【详解】（1）， 则不动点满足，即， 整理得， 因为，所以， 当时，，解得，满足； 当时，，无解， 所以的不动点为. （2）（i）， 当时，有唯一的不动点，则方程只有一个解， 即函数在上只有一个零点， 当时，，，满足要求； 当，即时，，解得或， 时，，在上只有一个零点1， 时，，在上只有一个零点1， 所以的取值范围为. （ii）令，整理得， 则 ，解得， ， 令， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：一元二次方程根的分布问题： （1）图形法：考虑开口、对称轴、和端点处函数值的正负等因素； （2）韦达定理的方法：根据和的正负判断根的正负. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（九） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知两个非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D．1 3．已知五个数的平均数为50，则这五个数的中位数为（   ） A．45 B．47.5 C．50 D．52.5 4．已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 5．四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 7．已知函数，且对任意的（且），总存在，使得，则（    ） A． B． C． D． 8．若正数满足，则ab的最小值为（　　） A．9 B．4 C．3 D．2 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知向量，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量是 10．设、、为复数，．下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则不等式的解集为 C．若在上单调递减，则 D．当函数恰有2个零点，则 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．长方体一个顶点上的三条棱的长分别是，它的外接球的表面积为_________。 13．已知，，且，则的取值范围是______． 14．已知，．当时，，则_____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中的值，并估计评分数据的第75百分位数； (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 16．正方体的棱长为2，为棱的中点． (1)求证：平面 (2)设平面平面，求证：； (3)求三棱锥的体积． 17．已知向量，，. (1)若，求； (2)设，，求函数的值域. 18．（1）在中，边上的中线为，证明：； （2）已知面积为，，，求的长． （3）在中，，边上的高线长为，为的中点，求的最小值. 19．对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． (1)若，求的不动点； (2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $