上海市南洋模范中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 南洋模范中学高一下期末试卷以斐波那契数列、仿射坐标系等创新情境为载体，覆盖复数、三角函数、向量、数列等核心知识，通过层次性问题设计考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题|复数虚部、三角函数求值、向量坐标、斐波那契数列、函数图像平移|结合文化传承（斐波那契数列），考查抽象能力与几何直观| |选择题|4题|三角函数化简、复数运算、平面向量分解、方程根与等比数列|通过实际问题（平面四边形）培养推理意识| |解答题|5题|数列通项与求和、解三角形、仿射坐标系应用、数列综合、函数区间长度|设计仿射坐标系新情境，考查数学语言表达与模型意识，如区间长度问题培养应用能力|

2025-2026年南洋模范中学高一下期末 一、填空题 1.若（是虚数单位），则复数的虚部是　　． 2.已知，则　　． 3.已知，若、，则点坐标为　　． 4.著名的斐波那契数列，满足，那么是斐波那契数列中的第　　项． 5.已知直线与函数和函数的图象分别交于、两点，线段的中点纵坐标为，则线段的长为　　． 6.已知，则　　． 7.若、、均为平面单位向量，且，则的坐标为　　． 8.已知函数，将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若的图象上最高点到点的距离的最小值为1，则的值为　　． 9.已知，向量、、两两不平行，且，，则　　． 10.对任何函数，，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据，经数列发生器输出；②若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去．现定义．若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数，均有，则的取值范围为　　． 11.已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，若恒成立，则的取值范围为　　． 12.设△的内角、、的对边分别为、、，且，点、分别满足，，，，则的值为　　． 二、选择题 13.已知，则　　 A． B． C． D． 14.已知是实数，设是虚数单位，若，则复数是　　 A． B． C． D． 15.已知平面四边形，，，，与交于，记，，，则　　 A． B． C． D． 16.若方程的三个根、、成等比数列，则该数列的公比为 　　 A． B． C．2 D．3 三、解答题 17.已知数列的首项，前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前项和． 18.已知在中，、、所对的边分别为、、，若且． （1）求角、、的大小； （2）函数，求函数单调递增区间，指出它相邻两对称轴间的距离． 19.设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求． 20.已知数列中，，，，，数列中，，，，，记． （1）若，求的值； （2）求的表达式； （3）已知，且存在正整数，使得在、、、中有4项为100，求的值．并指出哪4项为100． 21.定义的“区间长度”为，设函数的定义域为． （1）当时，求关于的不等式解集的“区间长度”； （2）已知，设关于的不等式解集的“区间长度”为． 若，求；求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $