上海市南洋中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2512 高一年级数学学科期末考试试题 （满分120分，考试时间100分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分48分，每题4分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1．异面直线所成角的取值范围是________． 2．用集合符号表述语句“平面经过直线”：________． 3．已知扇形半径，圆心角为，那么它的面积为________． 4．若，则________． 5．函数，的值域是________． 6．向量在向量上的投影向量的坐标为________． 7．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为________． 8．如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________． 9．已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为________． 10．已知平面向量，，，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 11．把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于点对称，则实数的最小值为________． 12．如图，正方体的棱长为2，，分别为，的中点，是底面上一点．若平面，则与平面成角的正弦值的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分． 13．已知函数的最小正周期为，则实数的取值是（ ） A． B． C． D． 14．已知函数，则函数的部分图象可以为（ ） A． B． C． D． 15．设，为不重合的平面，，，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，，则； A．① B．①② C．①③ D．①④ 16．在单位正方体中，点在线段上，点线段上．①长度的最小值为；②二面角的大小为定值．对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 三、解答题（本大题共有5题，满分56分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 已知实系数一元二次方程有虚根，另一根为． （1）求实数，的值； （2）求的值． 18．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） 如图，在四面体中，，，、分别为、的中点． （1）求证：直线和为异面直线； （2）求异面直线和所成角的大小． 19．（本题满分12分，第1小题满分5分，第2小题满分7分） 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米． （1）求线段的长度； （2）若，求两条观光线路与之和的最大值． 20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 已知，，记． （1）求函数的解析式，并求在上的单调减区间； （2）若，恰有2个零点，，求实数的取值范围和的值． 21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分） 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．两个复向量，的数量积记作，定义为，复向量的模定义为．记为虚数单位． （1）设，，求复向量与的模； （2）对两个复向量与，若时，称与平行．设，，，是否存在实数，使与平行？若存在，求出；若不存在，请说明理由． （3）我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立？试给出判断，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $