云南省下关第一中学2025-2026学年高一下学期段考二数学试题

下关一中2028届高一年级下学期段考二 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足，则复数的模为 A． B． C． D． 3．新华中学高三年级有学生1100人，高二年级有学生900人，高一年级有学生1000人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为150的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为 A．45 B．50 C．55 D．60 4．已知，，且，则的最小值为 A． B． C． D． 5．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．已知向量，，且，则 A． B． C． D． 7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 A． B． C． D． 8．已知，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是 A． B． C．不等式的解集为或 D． 10．在中，已知，，，则 A．为锐角三角形 B．的面积为 C． D． 11．如图1，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则 A．三棱锥的体积为定值 B．线段上存在点，使平面 C．线段上存在点，使平面平面 D．设直线与平面所成角为，则的最大值为 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．抽样统计某位射击运动员10次的训练成绩分别为，，，，，，，，，，则该运动员这10次成绩的分位数为__________． 13．在中，，，则的外接圆面积为_________． 14．如图2，扇形的半径为1，且，点在弧上运动，若，则的最小值是_________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 如图3，在正方体中，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面平面． 16．（本小题满分15分） 某同学统计了英语必修1前5篇课文中每句句子中的单词数，统计了100个句子，将所得的数据分成，，，，，这6组，得到如图4所示的频率分布直方图． （1）求这100个句子中单词数不少于20个的句子的数目； （2）求图中的值； （3）根据统计数据，估计所得数据的中位数． 17．（本小题满分15分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 18．（本小题满分17分） 如图5，在正三棱柱中，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若， ①求直线与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离． 19．（本小题满分17分） 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）设，若在上的值域为，求实数，的值； （3）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $下关一中2028届高一年级下学期段考二 数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的) 题号 1 2 4 5 6 8 答案 C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ABD AB ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共2分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 4π 答案 90 3 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 证明：(1)如图2，连接BD交AC于点O ~O是DB的中点，M是DD的中点，.MO∥BD. (4分) :MOC平面AMC,BD￠平面AMC, ∴.BD∥平面AMC. (6分) D B 图2 (2)N是CC的中点，M是DD的中点， 四边形MCND为平行四边形，.D,NIIMC, :MCc平面AMC,D,N文平面AMC, .DN∥平面AMC, (9分) 由(1)知BD∥平面AMC, (11分) DN∩BD=D (12分) ∴.平面AMC∥平面BND (13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)由图可知[20,25)，[25,30)这2组的频率分别为0.14,0.06， 故这100个句子中单词数不少于20个的句子的数目为100×(0.14+0.06)=20. (4分) (2)由图可得(0.01+a+0.064+0.044+0.028+0.012)×5=1,解得a=0.042, (9分) (3)前2组的频率之和为(0.01+0.042)×5=0.26. 前3组的频率之和为(0.01+0.042+0.064)×5=0.58 故设数据的中位数为x,则0.26+(x-10)×0.064=0.50,解得x=13.75, 即估计所得数据的中位数为13.75。 (15分) 17.(本小题满分15分) 0 b 解：(1)由正弦定理 sinA sinB ,得asinB=bsinA' 所un4=kco4-君 (2分) 整理得sinA=V3cosA, (4分) 因为A∈(0，T),所以sinA>0,因此cosA>0, 所以amA=sD4=5,所以A=及 cosA Γ3 (7分) 25 (②)由△4BC的面积为3， 得besinA=2 3,解得bc=8 (10分) 又。=26'则6=号5，c5. 3 3 由余弦定理得@2=c2+b2-2bc0sA=16+48-4. 333 解得a=2,b+c=2√3， (14分) 所以△ABC的周长为2V5+2. (15分) 18.(本小题满分17分) (1)证明：因为三棱柱ABC-AB,C是正三棱柱， 所以△ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC, (2分) BB⊥平面ABC,ADC平面ABC,所以BB⊥AD (4分) 又BCOBB=B,BC,BB,C平面B,BCC,所以AD⊥平面B,BCC, (5分) 又ADc平面ADC,所以平面ADC⊥平面B,BCC. (6分) (2)解：①如图3，过C作DC1的垂线，垂足为E, 所以CE⊥DC, 因为CEc平面BBCC,所以AD⊥CE, 又AD,DCC平面ADC且ADODC=D, 所以CE⊥平面ADC, B 0 图3 因为AE∈平面ADC,所以CE⊥AE, 所以直线AC与平面ADC所成的角为∠EAC, 因为CE-DG,=DC-cG÷CE=DCCC-2x2-5, DC 22 EC2 √2 所以sin∠E4C=C=朵，即直线AC与平面ADC所成的角的正弦值为华。 (11分) ②'4-ADG='G-A4D,因为CCA4, 又CC文平面AAD,AAC平面AAD,所以CC∥平面A4D, 所以'4-ADC=Vc-4AD=Vc-4AD=V4-ACD(13分) 94 3 因为AD⊥平面BBCC,又DC,C平面BB,CC,所以AD⊥DC, 所uSa=D-0G=25-22=26 。(15分) 设点A到平面ADC的距离为h, 则业匹写26h= 3 今h=2. 故点4到平面ADC的距离为V2. (17分) 19.(本小题满分17分) 解：(1)f(x)=cosxcos +6sx3 24 cos+sinrcos- 2 cos2r、V3 2 4 3.1+cos2x 1 224 os2.r-V3 in2x-3 4 -sin2x-5 3 cos2x=Isin2x 4 4 2 3 (3分) f)的最小正周期7-2=元. 2 (4分) a由w/国-n2x-) 即以 (7分) -[ =付+6÷8+6[2 11 令h0=am+b12'4]易知a≠0 ①当a>0时， 「11 h)=at+b在2'4 上为增函数， -o 1 a+b=0 2 因此 即 ,解得 (8分) 1 4a+b=3 a=4b=2 「11 ②当a<0时，)=at+b2'4 上为减函数， = 二a+b=3 因此 1 a+b=0 解得a=-4,b=1,(9分) a=4a=-4 综上所述， b=2或1b=1: (10分) (3)由(2)可知，当x∈ -ππ ①当n为偶数时，f(x)+1+(-l)m>0台f(x)+1+m>0台m>-f(x)-1, 由题意，只需m>[-f(x)-]nax, (12分) 因%当e=-方本r-儿=分所m>方： (13分) ②当n为奇数时，f(x)+1+(-)”,m>0台f(x)+1-m>0台m<f(x)+1, 由题意，只需m<[f(x)+m, (15分) 因为当)=时，f)+儿号，所以m<对 (16分) 11 综上所述，实数的取值范围是 (17分) m 22