精品解析：2026年广东省广州市越秀区广东华侨中学二模数学试题

初三级数学学科阶段性练习（四） 一、选择题．（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号抹黑． 1. 下列标志是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 3. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 根据东西湖区统计局数据显示，2025年东西湖区常住人口为92.58万人，将数据92.58万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使点C落在边上的点E处．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）的变化情况如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 B. 服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C. 服药后第8小时，血液中不含药 D. 如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 9. 如图，已知正六边形的半径为2，且点O为正六边形的中心，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论： ①若点坐标为，则点的等和点在直线上； ②若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点； ③若点分别在函数的图像上，点和互为等和点，则点的坐标为； ④若点坐标为，则二次函数图像上总存在点的等和点． 其中正确的为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 二、填空题．（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表所示，则其中海拔最低的洲是____________． 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 12. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则_______． 13. 若关于的一元二次方程的一个根为．则_______． 14. 如图，已知是的直径，是弦，且，，．则__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，点A在函数图象上，若，，则k的值为______． 16. 如图，菱形中，，，点为的中点，点为上一动点，连接，作且 面积恒为． （1）若，则__________； （2）连接，，则面积的最小值为__________． 三、解答题．（共8小题，共72分） 17. 解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 18. 已知：如图，四点B、E、C、F顺次在同一条直线上，A、D两点在直线 的同侧，，，．求证：． 19. 已知： （1）化简； （2）如图，、分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为，求的值． 20. 方寸之间，一览千年，博物馆不仅是展示一个国家和民族文化的重要窗口，更是进行国民教育、历史文化和艺术熏陶的重要课堂，为了让孩子们更好地触摸传统文脉，涵养文化自信，西安某中学初一历史组开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目．A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．为了解学生参与情况，现随机抽取m名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题： （1）样本容量m的值是__________，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，扇形D对应的圆心角度数是__________°； （3）若该校初一年级共有学生800人，试估计参与A项目的学生有多少人？ 21. 足球是跨越国界与文化的通用语言，用激情与拼搏连接人心，成为全世界情感交流的桥梁．图①是某次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，A，B为切点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，延长交射线PA于点C，若，，请补全图形，并求的长． 22. 如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点． （1）求的值和点的坐标； （2）求的周长． 23. 综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． （1）【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； （2）【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 24. 已知抛物线：（为常数）与轴有且只有一个交点． （1）求的值； （2）将抛物线平移后得到抛物线： ①若抛物线经过原点，点是抛物线在第四象限内任意一点，连接并延长，交抛物线于点．设点的横坐标为，点的横坐标为，求证：为定值； ②设抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．抛物线的顶点为点，外接圆的圆心为点．当时，如果对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点，的纵坐标相等，求长的取值范围． 25. 如图，在矩形中，，，点，点分别为，边上的动点，且满足． （1）连接 ，求证： ； （2）若，在点的运动过程中满足，求证：此时点为边的中点； （3）如图2，若，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三级数学学科阶段性练习（四） 一、选择题．（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号抹黑． 1. 下列标志是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，故不符合题意； B.不是轴对称图形，故不符合题意； C.不是轴对称图形，故不符合题意； D.是轴对称图形，故符合题意， 故选：D． 2. 襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 【答案】C 【解析】 【分析】随机事件（不确定事件）：无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件，称它们为不确定事件或随机事件；不可能事件：称那些在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件． 【详解】解：明天襄阳某地下雨这一事件是随机事件， 故选：C． 【点睛】本题主要考查随机事件，熟记必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题的关键． 3. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握观察的位置．找到从几何体的左边看所得到的图形即可． 【详解】解：所给几何体的左视图为 故选：B． 4. 根据东西湖区统计局数据显示，2025年东西湖区常住人口为92.58万人，将数据92.58万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将以“万”为单位的数换算为普通整数，再根据科学记数法的规则确定和的值即可． 【详解】 万． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方、同底数幂的除法运算、单项式乘单项式运算、完全平方公式逐项计算，即可判断． 【详解】解：A.，故选项计算正确，符合题意； B. ，故选项计算错误，不符合题意； C. ，故选项计算错误，不符合题意； D. ，故选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使点C落在边上的点E处．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质可以求出，由折叠的性质可得，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 7. 如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图，得到所有等可能的结果，找出其中能够让灯泡发光的结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，和，和，和时，灯泡能发光， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有8种， ∴能够让灯泡发光的概率． 8. 成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）的变化情况如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 B. 服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C. 服药后第8小时，血液中不含药 D. 如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 【答案】D 【解析】 【分析】A、直接在函数图象中找出能够取到的最大值时，的值，即可得出结论； B、直接在函数图象中找出当时，的值，即可得出结论； C、先求出当时的函数解析式，再求出当时，的值，即可得出结论； D、先求出当时的函数解析式，再将分别代入正比例函数解析式和一次函数解析式中求出相应的的值，再作差计算即可． 【详解】解：A、如图所示，2小时血液中含药量最高，达每毫升6毫克 ，A选项说法正确，故此选项不符合题意； B、如图所示，当时，，所以服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克，B选项说法正确，故此选项不符合题意； C、当时，设， 将点，代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∴服药后第8小时，血液中不含药． C选项说法正确，故此选项不符合题意； D、当时，设， 将点代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∵， ∴如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是4小时． D选项说法错误，故此选项符合题意． 9. 如图，已知正六边形的半径为2，且点O为正六边形的中心，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，作于点，得到，，得出是等边三角形，求出，再由求解即可． 【详解】解：如图，连接，作于点， 正六边形的半径为2，且点为正六边形的中心， ，， 是等边三角形， ， ， ， ． 10. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论： ①若点坐标为，则点的等和点在直线上； ②若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点； ③若点分别在函数的图像上，点和互为等和点，则点的坐标为； ④若点坐标为，则二次函数图像上总存在点的等和点． 其中正确的为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义，反比例函数、一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，以及性质，根据互为等和点的定义，结合一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质依次判断即可． 【详解】解：①∵，点和点互为等和点 ∴， ∴， ∴点在直线上，故①正确； ②设点P的等和点为， 则， ∴， ∴点P的等和点在直线上， 当时，直线解析式为， 而直线与直线平行， ∴点P的等和点此时一定不在直线上，故②错误； ③设，， ∵点和互为等和点， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或，故③错误； ④设P的等和点坐标为， ∴ ∴点P的等和点在直线上， 由，得， ∴ ， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数图像上总存在点的等和点，故④正确， 故选：A． 二、填空题．（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表所示，则其中海拔最低的洲是____________． 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 【答案】亚洲 【解析】 【分析】该题考查了有理数大小比较的法则：（1）正数都大于 0 ；（2）负数都小于 0 ；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴海拔最低的洲是亚洲． 故答案为：亚洲． 12. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行同位角相等可得到，再利用与互余关系即可求出． 【详解】解：如图所示， 直尺两边互相平行， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的性质，互余角关系，掌握相关知识是解题关键． 13. 若关于的一元二次方程的一个根为．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，根据题意求解即可． 【详解】解：将代入得 ，整理得， 解得或 当时，原方程二次项系数为零，不满足题意， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 14. 如图，已知是的直径，是弦，且，，．则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出，利用勾股定理求出的长，再根据垂径定理得出，从而得出，最后在中利用正切定义求解． 【详解】解：是的直径， ， 在中，，， 由勾股定理得， 是直径，， ， ， 在中，， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，点A在函数图象上，若，，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定，分别过引轴的垂线，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质可得，进而求得，根据反比例函数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：如图，分别过A、B引轴的垂线，垂足分别为， 点B在函数的图象上， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 又， ， ， 点A在函数的图象上， ， ∵（函数图象经过第二象限）， ∴， 故答案为：． 16. 如图，菱形中，，，点为的中点，点为上一动点，连接，作且 面积恒为． （1）若，则__________； （2）连接，，则面积的最小值为__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）连接 ，过点作于，过点作 于，求出相关线段与角度，进而得 ，再由 的面积得到，据此计算即可求解； （2）设的中点为，连接 ，进而得，从而根据和相似得到，设 的中点为，连接，则，确定点的轨迹，据此计算即可求解． 【详解】解：（1）连接 ，过点作于，过点作 于，如图1所示： 在菱形中，， ，点为的中点， ，，， 在中， ， ， ，， ，， ， 在中，，， ， ， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ∵， ∴； （2）设的中点为，连接 ，如图2所示： ， ， ，即， 又， ， ， ， ， 设 的中点为，连接，则， 在点的运动过程中，点始终在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图3所示： ∵，， ∴当点与点重合时，最小， ∴的面积取得最小值，最小值为． 三、解答题．（共8小题，共72分） 17. 解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示见答案． 18. 已知：如图，四点B、E、C、F顺次在同一条直线上，A、D两点在直线 的同侧，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用证明，即可得到． 【详解】略 19. 已知： （1）化简； （2）如图，、分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的除法法则进行化简即可得； （2）根据圆锥的侧面积公式可得的值，代入计算即可得． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：圆锥侧面积为， ， 解得， 则． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、圆锥的侧面积，熟练掌握分式的运算法则和圆锥的侧面积公式是解题关键． 20. 方寸之间，一览千年，博物馆不仅是展示一个国家和民族文化的重要窗口，更是进行国民教育、历史文化和艺术熏陶的重要课堂，为了让孩子们更好地触摸传统文脉，涵养文化自信，西安某中学初一历史组开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目．A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．为了解学生参与情况，现随机抽取m名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题： （1）样本容量m的值是__________，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，扇形D对应的圆心角度数是__________°； （3）若该校初一年级共有学生800人，试估计参与A项目的学生有多少人？ 【答案】（1），图形见图 （2） （3）估计参与A项目的学生约有320人． 【解析】 【分析】（1）从两个统计图中得到信息进行求解； （2）求出扇形D对应的百分比即可得到答案； （3）用样本估计总体进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）， 样本中参与“B．制作博物馆专题手抄报”的人数为（人）， 补全统计图略； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：A项目（人）， 答：估计参与A项目的学生约有320人． 21. 足球是跨越国界与文化的通用语言，用激情与拼搏连接人心，成为全世界情感交流的桥梁．图①是某次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，A，B为切点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，延长交射线PA于点C，若，，请补全图形，并求的长． 【答案】（1）解：点O如图所示： （2）5 【解析】 【分析】（1）在圆上任取一点D，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，则O即为所求， （2）根据题意补全图形，连接，结合切线的性质，可得，，，则，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理得出，代入数值求出的值即可作答． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接，如图所示， ∵是圆的切线，为切点． ∴，，， 则， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得出， 即， 解得， ∴． 22. 如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点． （1）求的值和点的坐标； （2）求的周长． 【答案】（1）k=12，M（6,2）；（2）28 【解析】 【分析】（1）将点A（3,4）代入中求出k的值，作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，证明△MEC∽△ADC，得到，求出ME=2，代入即可求出点M的坐标； （2）根据勾股定理求出OA=5，根据点A、M的坐标求出DE，即可得到OC的长度，由此求出答案. 【详解】（1）将点A（3,4）代入中，得k=， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴MA=MC， 作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E， ∴ME∥AD， ∴△MEC∽△ADC， ∴， ∴ME=2， 将y=2代入中，得x=6， ∴点M的坐标为（6,2）； （2）∵A（3,4）， ∴OD=3，AD=4， ∴, ∵A（3,4），M（6,2）， ∴DE=6-3=3， ∴CD=2DE=6， ∴OC=3+6=9， ∴的周长=2(OA+OC)=28. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求函数图象上点的坐标，勾股定理，相似三角形的判定及性质. 23. 综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． （1）【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； （2）【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】（1）①；②米 （2）小明会被照射到． 理由如下：如图，过点作交于点， 由条件可知， 是等边三角形，， 米， ．米，米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． 【解析】 【分析】（1）①过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案； ②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：①如图，过作于，而， ， ， ， 故答案为：； ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由条件可知米， 在中，， 又， ， 解得：米， 此时影子的长度为米； 【小问2详解】 略 24. 已知抛物线：（为常数）与轴有且只有一个交点． （1）求的值； （2）将抛物线平移后得到抛物线： ①若抛物线经过原点，点是抛物线在第四象限内任意一点，连接并延长，交抛物线于点．设点的横坐标为，点的横坐标为，求证：为定值； ②设抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．抛物线的顶点为点，外接圆的圆心为点．当时，如果对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点，的纵坐标相等，求长的取值范围． 【答案】（1）； （2） ①证明：由（1）得，抛物线：， 则点的坐标为，且， 设直线的解析式为， 将点坐标代入可得，， 即直线的解析式为， 抛物线经过原点， ， 解得， ， ， 即抛物线：， 点为延长线和抛物线的交点， ， 解得，， 点在的延长线上， 不符合题意， ， 即， 故为定值得证． ②． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系及根的判别式即可得解； （2）①由题意得点的坐标，据此求出直线的解析式，再根据抛物线经过原点求出抛物线解析式，由点为延长线和抛物线的交点得到一元二次方程，解方程后可得，为定值即可得证； ②根据二次函数的图像与性质得到点、、、的坐标，结合图像可得的取值范围，再由点是外接圆的圆心及二次函数性质得到，点横坐标点横坐标，，设，由两点间距离公式推得后解出，则，结合的取值范围即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线：（为常数）与轴有且只有一个交点， 一元二次方程只有一个实数根， 即， 解得． 【小问2详解】 ①略 ②解：，两点是抛物线与轴的交点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点， ，， 解得，， 即，，，， 要使时，抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使点，的纵坐标相等， 由图可得， ， 即，解得： 又∵抛物线过点时， 解得：或（舍去） ， 连接，，， 点是外接圆的圆心， 点是，，垂直平分线的交点，且， 根据二次函数性质可得，，两点关于对称， 即顶点在的垂直平分线上， 垂直平分交于点， 点横坐标点横坐标，， 设， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、求直线解析式、求抛物线解析式、解一元二次方程、二次函数的图像与性质、外接圆的性质、两点间的距离公式，解题关键是利用数形结合思想得到的取值范围． 25. 如图，在矩形中，，，点，点分别为，边上的动点，且满足． （1）连接 ，求证： ； （2）若，在点的运动过程中满足，求证：此时点为边的中点； （3）如图2，若，连接，求的最小值． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∴，即， ∴； （2）证明：设， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴点为边的中点； （3）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）由，得到，，推出，即可证明； （2）设，利用勾股定理求得，，根据相似三角形的性质得到，再列式计算可得到，即可证明点为边的中点； （3）在矩形内部找一点，过点作的垂线，使，连接，，如图，通过计算得到点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当点在线段上时，取得最小值，据此计算即可得到的最小值为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 在矩形内部找一点，过点作的垂线，使，连接，，如图， 设，同理，，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点， ∵， ∴， ∴， 作交延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴（负值已舍）， ∴点到定点的距离始终为2，即点在以点为圆心，2为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $