第01讲 集合的概念（知识详解+8典例精讲+课后作业）讲义-2026年暑假新高一预习数学人教A版必修第一册

第01讲 集合的概念（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：元素与集合的概念 知识点02：集合中元素的特征 知识点03：元素和集合之间的关系 知识点04：用列举法表示集合 知识点05：用描述法表示集合 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断对象能否构成集合 题型02：元素与集合关系判断 题型03：根据元素与集合的关系求参数 题型04：利用元素互异性求参数 题型05：列举法表示集合 题型06：描述法表示集合 题型07：根据集合中元素的个数求参数 题型08：常用数集或数集关系应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】元素与集合的概念 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 【例1】判断下列各组对象能否组成集合，并说明理由。 ① 所有大于5的自然数；② 校园里个子很高的同学。 【知识点02】集合中元素的特征 1．集合中元素的特征：确定的，互不相同的，无序的． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 【例2】已知集合，若集合中元素互不重复，求实数的取值范围。 【知识点03】元素和集合之间的关系 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于集合A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 注意点： (1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写． (2)0属于自然数集． 【例3】用符号或填空，并写出理由。 ；； 【知识点04】用列举法表示集合 列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意点： (1)元素间用“，”隔开． (2)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可． (3)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5，…}． (4)这里集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼． 【例4】用列举法表示集合：大于-2且小于5的所有整数组成的集合。 【知识点05】用描述法表示集合 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 注意点： (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． (5)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}． (6)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的，因为“{　}”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思． 【例5】用描述法表示所有正奇数构成的集合。 【题型01】判断对象能否构成集合 【典例1-1】（2026高一·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【变式1-1】（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列元素的全体是否能组成集合，并说明理由： (1)到∠AOB两边等距离的点； (2)高中学生中的灌篮高手． 【变式1-3】考察下列每组对象能否构成一个集合. (1)不超过20的非负数； (2)方程在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4)的近似值的全体. 【题型02】元素与集合的关系判断 【典例2-1】集合则_________A. 【变式2-1】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）设集合中的所有元素均为整数． (1)若，求集合A； (2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论． 【题型03】根据元素与集合的关系求参数 【典例3-1】（25-26高一上·贵州·期中）若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【变式3-2】（25-26高一上·广东清远·期中）已知集合，若，则_____ 【变式3-3】记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素． 【题型04】利用元素互异性求参数 【典例4-1】（25-26高一上·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【变式4-1】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【变式4-2】（25-26高一上·全国·随堂练习）若，由两个元素构成的集合中，应满足的条件是______． 【变式4-3】（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）已知集合，若，则__________. 【题型05】列举法表示集合 【典例5-1】（25-26高一上·吉林·期末）方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·山东济南·期中）用列举法表示集合是大于且小于3的整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合，则集合的所有元素之和为______. 【变式5-3】（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【题型06】描述法表示集合 【典例6-1】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用描述法表示集合，可表示为_______. 【变式6-2】（25-26高一上·全国·随堂练习）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 【变式6-3】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【题型07】根据集合中元素的个数求参数 【典例7-1】（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式7-1】（25-26高一上·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选）（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 【变式7-3】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 【题型08】常用数集或数集关系应用 【典例8-1】（25-26高一上·广东清远·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】(多选)（25-26高一上·广东广州·期中）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】用符号“”和“”填空： （1）______N；    （2）1______；    （3）______R； （4）______；    （5）______N；    （6）0______． 知识点01核心概念梳理 1. 元素与集合 元素：研究对象，小写字母表示： 集合：确定元素构成的总体，大写字母表示： 核心前提：只有确定的对象才能构成集合 2. 集合元素三大特性（必考） 特性 核心含义 考试应用 确定性 对象归属唯一明确 判断能否构成集合 互异性 集合内元素互不相同 含参数集合求值必须检验 无序性 元素顺序不改变集合 知识点02元素与集合的关系（公式必背） 属于关系：元素在集合内，记作 不属于关系：元素不在集合内，记作 知识点03常用数集符号（零失分必记） 自然数集：（含0） 正整数集：或（不含0） 整数集：；有理数集：；实数集： 知识点04集合两种表示方法（公式标准格式） 1. 列举法 格式： 适用：元素个数有限、数量较少的集合 示例：大于-1小于4的整数集 2. 描述法 标准通用格式： 适用：元素个数无限、无法逐一列举的集合 高频示例：全体偶数： 全体正奇数： 知识点05本节课高频易错点汇总 1.模糊描述（好看、接近、很高）不能构成集合，违背确定性； 2.解集合参数题，算出答案一定要检验互异性，剔除重复解； 3.区分数集：0属于自然数集，不属于正整数集； 4.描述法书写不可省略代表元素和竖线，严禁书写格式错误； 5.符号只能用于元素与集合之间，不能用于集合和集合之间。 一、单选题 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 2．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（24-25高一上·湖北荆州·阶段检测）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 8．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 二、多选题 9. （2026高一·全国·专题练习）下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 10．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 11．（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 三、填空题 12．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则B集合中所有元素之和为______． 13．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 14．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为_________. 四、解答题 15．已知集合A有三个元素，且.求实数. 16．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 18．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 19.设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的概念（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：元素与集合的概念 知识点02：集合中元素的特征 知识点03：元素和集合之间的关系 知识点04：用列举法表示集合 知识点05：用描述法表示集合 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断对象能否构成集合 题型02：元素与集合关系判断 题型03：根据元素与集合的关系求参数 题型04：利用元素互异性求参数 题型05：列举法表示集合 题型06：描述法表示集合 题型07：根据集合中元素的个数求参数 题型08：常用数集或数集关系应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】元素与集合的概念 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 【例1】判断下列各组对象能否组成集合，并说明理由。 ① 所有大于5的自然数；② 校园里个子很高的同学。 解：① 可以组成集合。大于5的自然数有明确判定标准：，对象确定，符合集合定义； ② 不可以组成集合。“个子很高”没有统一、客观的判定标准，对象不确定，无法构成集合。 【知识点02】集合中元素的特征 1．集合中元素的特征：确定的，互不相同的，无序的． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 【例2】已知集合，若集合中元素互不重复，求实数的取值范围。 解：根据集合元素互异性：集合内任意两个元素不能相等。 已知集合已有元素2、3，因此： 且 答：实数不能取2和3。 【知识点03】元素和集合之间的关系 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于集合A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 注意点： (1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写． (2)0属于自然数集． 【例3】用符号或填空，并写出理由。 ；； 解：：自然数集包含0； ：是无理数，不属于有理数集； ：负整数属于整数集。 最终答案：，， 【知识点04】用列举法表示集合 列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意点： (1)元素间用“，”隔开． (2)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可． (3)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5，…}． (4)这里集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼． 【例4】用列举法表示集合：大于-2且小于5的所有整数组成的集合。 解：第一步：找出满足条件的所有整数： 第二步：按照列举法格式，写入大括号： . 【知识点05】用描述法表示集合 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 注意点： (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． (5)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}． (6)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的，因为“{　}”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思． 【例5】用描述法表示所有正奇数构成的集合。 解：第一步：确定代表元素：； 第二步：分析正奇数特征：可写成，其中； 第三步：代入描述法标准格式： . 【题型01】判断对象能否构成集合 【典例1-1】（2026高一·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 【变式1-1】（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【答案】A 【详解】对于A，描述的对象“与给定A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线，故A中的对象能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构成集合； 对于D，描述的对象“3班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列元素的全体是否能组成集合，并说明理由： (1)到∠AOB两边等距离的点； (2)高中学生中的灌篮高手． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）根据集合的定义和集合中元素的特性分析判断即可. 【详解】（1）到∠AOB两边等距离的点在∠AOB的角平分线上，故元素是明确的，可以组成集合． （2）对于灌篮高手，概念模糊，无法明确界定，故不能组成集合． 【变式1-3】考察下列每组对象能否构成一个集合. (1)不超过20的非负数； (2)方程在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4)的近似值的全体. 【答案】(1)能 (2)能 (3)不能 (4)不能 【分析】根据集合的定义和特征依次判断即可. 【详解】（1）对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合. （2）方程在实数范围内的解是或，所以方程能构成集合. （3）“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合. （4）“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合. 【题型02】元素与集合的关系判断 【典例2-1】集合则_________A. 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】由可得，所以, 故答案为： 【变式2-1】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合与元素之间的关系即可求解. 【详解】，所以与集合的关系为， 故选项B正确，其他选项都错误. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素和集合的关系逐项分析判断即可. 【详解】对于A，是负数，不是自然数，故错误； 对于B，因为集合A的元素是自然数，而{0}是一个集合，不是自然数，所以，故错误； 对于C，是无理数不是自然数，故错误； 对于D，因为，是无理数，故正确. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）设集合中的所有元素均为整数． (1)若，求集合A； (2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论． 【答案】(1) (2)不是，证明见解析 【分析】（1）根据题意代入即可得结果； （2）假设成立，分或，代入检验即可得出矛盾，进而分析说明. 【详解】（1）若，则，所以集合． （2）4不是集合A中的元素，理由如下： 若，则有或； 当时，，不满足题意； 当时，解得，不满足题意； 综上所述，4不是集合中的元素． 【题型03】根据元素与集合的关系求参数 【典例3-1】（25-26高一上·贵州·期中）若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合元素的确定性，即可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：C 【变式3-1】（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系求出参数即可. 【详解】因为，所以，解得． 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·广东清远·期中）已知集合，若，则_____ 【答案】 【分析】将代入方程，可得出的值. 【详解】由题意可知代入方程的一根，则，解得. 故答案为：. 【变式3-3】记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素． 【答案】 【分析】先由题意得是的解，代入求得，再将代回方程解之即可. 【详解】因为，所以，解得． 解方程，即，得或． 故M含有两个元素． 【题型04】利用元素互异性求参数 【典例4-1】（25-26高一上·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【答案】D 【分析】利用集合元素的互异性讨论即可. 【详解】当时，解得或3； 当； 当； 所有不可能的取值之和. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【分析】分和讨论即可. 【详解】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·全国·随堂练习）若，由两个元素构成的集合中，应满足的条件是______． 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性，可求解. 【详解】根据集合元素的互异性，，解得， 所以应满足的条件是. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）已知集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据属于的定义，结合集合元素互异性分类讨论进行求解即可. 【详解】因为， 所以有，或， 当时，解得，或， 当时，，不符合集合元素互异性， 当时，，符合集合元素互异性， 当时，解得，，不符合集合元素互异性， 综上所述， 故答案为： 【题型05】列举法表示集合 【典例5-1】（25-26高一上·吉林·期末）方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先解方程，将根用列举法表示即可. 【详解】解方程，得或， 所以方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为. 故选：A． 【变式5-1】（25-26高一上·山东济南·期中）用列举法表示集合是大于且小于3的整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把描述法表示的集合转化成列举法来表示即可. 【详解】集合是大于且小于3的整数, 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合，则集合的所有元素之和为______. 【答案】5 【分析】解方程确定集合中的元素，再求它们的和. 【详解】由或. 所以. 则集合中的元素之和为. 故答案为：5 【变式5-3】（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 【题型06】描述法表示集合 【典例6-1】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用描述法表示集合，可表示为_______. 【答案】是的倍数且 【分析】描述元素4,8,12,16的共同特征即可. 【详解】用描述法表示集合，可以为：是的倍数且. 故答案为：是的倍数且（答案不唯一） 【变式6-2】（25-26高一上·全国·随堂练习）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）用集合的描述法来表示即可. 【详解】（1）被5除余3的正整数组成的集合是； （2）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合是. 【变式6-3】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用描述法来表示集合； （2）利用描述法来表示集合； （3）利用描述法来表示集合； 【详解】（1）被5除余3的正整数组成的集合是. （2）正偶数组成的集合是. （3）函数的图象上所有的点组成的集合是. 【题型07】根据集合中元素的个数求参数 【典例7-1】（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 【变式7-1】（25-26高一上·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的元素可求得的范围. 【详解】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 【变式7-2】（多选）（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意； 综上可得或. 故选：AC 【变式7-3】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 【答案】4 【分析】集合只有1个元素，即方程只有1个解，分一元一次、一元二次方程进行讨论即可. 【详解】当时，只有1个解，符合题意； 当时，对于一元二次方程只有1解，则，解得. 综上实数的所有可能值的和为， 故答案为：4. 【题型08】常用数集或数集关系应用 【典例8-1】（25-26高一上·广东清远·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数集字母表示可得答案. 【详解】表示正整数集，表示有理数集，表示非负整数集，表示整数集. 对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为是无理数，所以，故B错误； 对于C，因为2是自然数，所以，故C正确； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据常用数集的概念进行判断即可. 【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 【变式8-2】(多选)（25-26高一上·广东广州·期中）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由元素和集合的关系依次判断各选项即可. 【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误. 故选：AD. 【变式8-3】用符号“”和“”填空： （1）______N；    （2）1______；    （3）______R； （4）______；    （5）______N；    （6）0______． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系判断. 【详解】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断 （1）（2）（3）（4）（5）（6）. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）. 知识点01核心概念梳理 1. 元素与集合 元素：研究对象，小写字母表示： 集合：确定元素构成的总体，大写字母表示： 核心前提：只有确定的对象才能构成集合 2. 集合元素三大特性（必考） 特性 核心含义 考试应用 确定性 对象归属唯一明确 判断能否构成集合 互异性 集合内元素互不相同 含参数集合求值必须检验 无序性 元素顺序不改变集合 知识点02元素与集合的关系（公式必背） 属于关系：元素在集合内，记作 不属于关系：元素不在集合内，记作 知识点03常用数集符号（零失分必记） 自然数集：（含0） 正整数集：或（不含0） 整数集：；有理数集：；实数集： 知识点04集合两种表示方法（公式标准格式） 1. 列举法 格式： 适用：元素个数有限、数量较少的集合 示例：大于-1小于4的整数集 2. 描述法 标准通用格式： 适用：元素个数无限、无法逐一列举的集合 高频示例：全体偶数： 全体正奇数： 知识点05本节课高频易错点汇总 1.模糊描述（好看、接近、很高）不能构成集合，违背确定性； 2.解集合参数题，算出答案一定要检验互异性，剔除重复解； 3.区分数集：0属于自然数集，不属于正整数集； 4.描述法书写不可省略代表元素和竖线，严禁书写格式错误； 5.符号只能用于元素与集合之间，不能用于集合和集合之间。 一、单选题 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【分析】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 2．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，故B正确． 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据常见数集的表示方式，逐一判断，即可得答案. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，所以①正确； 对于②，为整数，而表示整数集合，所以，所以②错误； 对于③，为正整数，而表示正整数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，所以④正确． 故选：C 5．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，列举法表示集合，即可求解. 【详解】集合. 故选：C. 6．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 7．（24-25高一上·湖北荆州·阶段检测）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可. 【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个； 只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个； 取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个； 共有种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素， 故选：A. 8．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 二、多选题 9. （2026高一·全国·专题练习）下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 10．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 11．（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】若，，设，则 ，故A错误，B正确； 若，，设， 则 ，故C正确，D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则B集合中所有元素之和为______． 【答案】13 【详解】当，当，故, 因此B集合中所有元素之和为. 13．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【分析】根据题意，讨论时的情况，即可容易求得结果. 【详解】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 故答案为： 14．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为_________. 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 四、解答题 15．已知集合A有三个元素，且.求实数. 【答案】或 【分析】分或进行分类讨论并检验. 【详解】因为，所以或， 若 ，则，此时集合中含有三个元素,符合题意; 若，则或, 当时，集合中含有三个元素,符合题意， 当时，此时集合中含有重复元素,不符合题意，舍去， 所以实数的值是1或. 16．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解方程，再用列举法写出集合即可； （2）根据题意大于且小于的整数为，，，，，再用列举法写出集合即可； （3）根据题意用描述法表示集合即可． 【详解】（1）解方程得或，故集合为； （2）大于且小于的整数为，，，，，故集合为； （3）能被整除且大于的整数可表示为， 故集合为． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）讨论，根据得出结果； （2）讨论，根据得出结果； 【详解】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 18．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 19.设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 【答案】(1)证明见解析 (2)否，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【详解】（1）由题意，若，则， 则， 若，则， 所以集合A中还有另外两个元素和. （2）否，理由如下： 由题意，若（且），则， 则， 若，则， 所以集合A中应包含，，，而， 所以集合的元素个数为3的倍数， 故集合A不是只含有两个元素的集合. （3）由（2）知，，且集合的元素个数为3的倍数， 因为集合A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以集合的元素个数为6，其中一个元素为， 由结合已知条件可得，， 由， 解得或或， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $