精品解析：云南昭通市第一中学等校2025-2026学年高二下学期6月检测数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数 满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 所以. 2. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解，得，则， 解，即，则， ∴. 3. 已知双曲线，则离心率为（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】由题意可知， 所以， 所以， 所以双曲线 的离心率. 4. 一组数据从小到大排列为： ， ， ， ，， ．若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第80百分位数是（ ） A. 4 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】由题意先求出 的值，再根据百分位数的定义求解即可. 【详解】由题意可得， 且中位数为，极差为， 所以， 解得， 所以此组数据为 ， ， ， ，， ．共6个数， 又因为， 所以此组数据的第80百分位数是第5个数，为14. 5. 已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（ ） A. B. C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列与等比数列的性质求解即可. 【详解】因为，，成等比数列，所以， 因为是公差不为零的等差数列，所以， 因为，解得或 ，因为， 所以，所以， 当 时，可得. 6. 已知，，，则 ， ， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数与对数函数的单调性以及中间值0，1进行比较即可. 【详解】因为，，，所以. 7. 已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（ ） A. 1或2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由函数在区间上单调递减可得，由可得函数关于对称，再解方程即可. 【详解】当时，， 因为在区间上单调递减， 所以，，解得 因为，所以 ，， 又因为，所以函数关于对称， 所以，解得， 又，所以， . 8. 已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可推导出，当 时，，令并判断其单调性、奇偶性，进而利用不等式性质求不等式的解集. 【详解】由，得， 因为，，所以，即， 设，则 在上单调递减， 而，则，解得； 因为为 上的奇函数，所以， 则 为 上的偶函数，故 在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正实数 ， 满足 ，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式的知识逐一选项验证即可. 【详解】对于选项A，由基本不等式且 有， ，所以选项A正确. 对于选项B，，所以最小值是9，故选项B不正确. 对于选项C， 所以的最大值为，故选项C正确. 对于选项D，因为 ，所以 所以. 配方得， 即，当时，有最小值.故选项D不正确. 10. 已知抛物线 ，过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线 交于，两点，则（ ） A. 抛物线 的准线方程为 B. 若，则 C. 的取值范围为 D. 设为坐标原点， 的中点到准线的距离为 ，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义将焦半径转化为横坐标，再用韦达定理处理抛物线的焦半径问题，以及利用三角形三边关系解决不等关系. 【详解】对于A， 抛物线得，所以准线方程，故A错误； 对于B，，所以， 故B正确； 对于C，抛物线的焦点 的坐标为 ，设直线 方程为. 联立方程，消去 得. 由韦达定理得，. . 因为，所以. 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，设 中点为，则. 点 到准线 的距离. 又因为， 在 中， ， 所以，故D正确. 11. 已知函数 ，则（ ） A. 是奇函数 B. 0可能是 的极值点 C. 可能有2个极值点 D. 当 在 上有极大值时， 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，判断A；通过分析0是否是的变号零点，判断0是否是的极值点，判断B；利用导数，结合函数的奇偶性，分析函数的极值点个数，判断C；将在 上有极大值时，转化为 在 上有解，求出a的取值范围，判断D. 【详解】因为的定义域为 ，且 ，所以是奇函数，A正确． ，由 ，得 ． 因为是偶函数，所以0不可能是的变号零点，所以0不可能是的极值点，B错误． 令，则． 当时， ，所以 ，又 ，故 ； 当时， ， ，得 . 所以在 上单调递减． 当 时， ，当 时， ，则在 上有1个变号零点， 所以在 上有1个极值点． 又是奇函数，所以有2个极值点．故可能有2个极值点，C正确． 当 在 上有极大值时， 在 上有解， 因为在 上单调递减， 所以，解得 ，D 正确 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出，再利用向量夹角公式计算夹角的余弦值即可. 【详解】因为 所以， 因为，所以， 所以，所以， 即，化简得， 所以. 13. 若曲线在点 处的切线也是曲线的切线，则 __________． 【答案】 【解析】 【详解】令，则，∴， 即曲线在点 处的切线是， 令，则，令，则 ， ∴切点坐标为，即，∴. 14. 学校社团文化节的“盲盒打卡”活动中，准备了4款不同等级的纪念徽章，编号为1（普通款），2（进阶款），3（稀有款），4（隐藏款）．每次打卡可随机获得1枚徽章，且每次打卡获得任意一款徽章的概率均等，徽章可重复获得．某同学计划连续打卡 次，设随机变量 表示他打卡获得的徽章的最高编号．若，则 的最小值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出随机变量 取不同值时的概率,再根据期望公式列出)的表达式,最后结合求解 的最小值. 【详解】由已知可得 的所有可能取值为1,2,3,4. 当时,取出徽章编号不超过 且至少有一次为 ,则. 所以 . 所以. 设. 因为指数函数在上单调递减, 所以在上单调递减. 又因为, , , 所以 的最小值为3. 四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面 为矩形，平面 ，，， 为 的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：底面 为矩形，所以 ， 又因为平面 ，平面 ，所以 ， 又 ，平面，平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）可知 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图2所示： 易知，，，，， 则，， 设平面的法向量为 ， 则，令 ，可得 ， ， 可得， 平面的法向量为， 因为 平面，所以平面的法向量为， 所以， 因此平面与平面所成角的余弦值为． 16. 已知点 是圆上的动点，点 在 轴上的射影为 ，点 满足，记动点 的轨迹为 ． （1）求 的方程； （2）若斜率为1的直线 与 轴交于点 ，与 交于 ， 两点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，则．由，利用相关点法可求解动点的轨迹方程； （2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，可得；根据韦达定理及两点距离公式可得，从而得到的取值范围． 【小问1详解】 设，，因为 为 在 轴上的射影，所以． ，得，即，即． 又因为在圆上，所以， 即，所以 的方程为． 【小问2详解】 设直线 的方程为，，设，， 则， ． 由，得． 所以，即. ，． 所以 ． 又， 所以，即. 所以的取值范围为． 17. 某学校为研究学生的体育锻炼习惯（分为“经常锻炼”和“不经常锻炼”两类）与体能达标情况的关系，随机调查了该校160名学生，其中体能达标的学生80名（称为达标组），体能未达标的学生80名（称为未达标组），得到如下数据： 不经常锻炼 经常锻炼 达标组 20 60 未达标组 40 40 （1）根据小概率值 的独立性检验，能否推断体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯有差异？ （2）从该校学生中任选一人，设事件 表示“选到的学生不经常锻炼”，事件 表示“选到的学生体能达标”． ①直接写出和 的估计值； ②计算指标的估计值（可利用①的结果简化计算）． 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有差异 （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）先由独立性检验计算卡方来说明体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯是否有差异 （2）利用条件概率公式逐一求解，进而求出指标 的值. 【小问1详解】 零假设：体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯没有差异， 由卡方公式可得， 解得，. 根据小概率值 的独立性检验,没有充分证据说明零假设成立， 即认为体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯有差异． 【小问2详解】 ①因为事件 表示“选到的学生不经常锻炼”，事件 表示“选到的学生体能达标” 因为，； 所以， . ②因为, 所以， 所以有，. 又因为，所以. 所以，． 18. 已知数列的前 项和为，且． （1）求、的值； （2）求数列的通项； （3）设数列的前 项和为，求的取值范围． 【答案】（1）-2，-4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用公式求解； （2）利用公式，分 为奇数和偶数求解； （3）利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 由条件知， ，． 【小问2详解】 当 为奇数且 时，，也符合， 所以当 为奇数时，； 当 为偶数时，； 所以数列． 【小问3详解】 由题可知，所以， 所以数列的前 项和， 由，所以， 又因为单调递减，所以当 时，有最大值， 所以的取值范围为． 19. 已知在 中，内角 的对边分别是 ，且满足，．函数，其中． （1）求 ； （2）记是的导数，讨论的单调性； （3）当时，设，若，使在时的单调性与时的单调性相反，则称 为的割线单调分界点，试求出的所有割线单调分界点． 【答案】（1） （2）当时， 在上单调递增； 当 时， 在上单调递减，在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）先用余弦定理结合条件求出，再用正弦定理与和角公式化简边角等式求出，最后由三角形内角和算出； （2）先对求导得到 ，再求 的导数，根据导函数零点，分和 两类讨论 增减区间； （3）代入化简，构造割线函数 并求导，提取分子再求导因式分解得极值点，分 大于、小于、等于三种情况分析符号，找到两段区间单调性相反的． 【小问1详解】 在 中，， 由余弦定理， 因为，所以， 又， 由正弦定理得， 得， 又，所以， 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 ，， 当时，在区间上恒成立， 所以 在上单调递增； 当 时， 由，得；由，得， 所以 在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时， 在上单调递增； 当 时， 在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 由（1）知，当时，， 则，则， 令，易知， 则， 令，得，， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，但，即在区间上，即在区间上，不满足题意； ②当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，但，即在区间上，即在区间上，不满足题意； ③当时，恒成立，在定义域是单调递增， 又，则 在区间上单调递减，在区间上单调递增，满足题意， 所以为 的割线单调分界点； 综上， 的割线单调分界点为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数 满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 13 2. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线，则离心率为（ ） A. 5 B. C. 3 D. 4. 一组数据从小到大排列为： ， ， ， ，， ．若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第80百分位数是（ ） A. 4 B. 12 C. 13 D. 14 5. 已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（ ） A. B. C. 12 D. 18 6. 已知，，，则 ， ， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（ ） A. 1或2 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正实数 ， 满足 ，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为1 10. 已知抛物线 ，过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线 交于，两点，则（ ） A. 抛物线 的准线方程为 B. 若，则 C. 的取值范围为 D. 设为坐标原点， 的中点到准线的距离为 ，则 11. 已知函数 ，则（ ） A. 是奇函数 B. 0可能是 的极值点 C. 可能有2个极值点 D. 当 在 上有极大值时， 的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，，，则__________． 13. 若曲线在点 处的切线也是曲线的切线，则 __________． 14. 学校社团文化节的“盲盒打卡”活动中，准备了4款不同等级的纪念徽章，编号为1（普通款），2（进阶款），3（稀有款），4（隐藏款）．每次打卡可随机获得1枚徽章，且每次打卡获得任意一款徽章的概率均等，徽章可重复获得．某同学计划连续打卡 次，设随机变量 表示他打卡获得的徽章的最高编号．若，则 的最小值为__________． 四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面 为矩形，平面 ，，， 为 的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 16. 已知点 是圆上的动点，点 在 轴上的射影为 ，点 满足，记动点 的轨迹为 ． （1）求 的方程； （2）若斜率为1的直线 与 轴交于点 ，与 交于 ， 两点，求的取值范围． 17. 某学校为研究学生的体育锻炼习惯（分为“经常锻炼”和“不经常锻炼”两类）与体能达标情况的关系，随机调查了该校160名学生，其中体能达标的学生80名（称为达标组），体能未达标的学生80名（称为未达标组），得到如下数据： 不经常锻炼 经常锻炼 达标组 20 60 未达标组 40 40 （1）根据小概率值 的独立性检验，能否推断体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯有差异？ （2）从该校学生中任选一人，设事件 表示“选到的学生不经常锻炼”，事件 表示“选到的学生体能达标”． ①直接写出和 的估计值； ②计算指标的估计值（可利用①的结果简化计算）． 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 已知数列的前 项和为，且． （1）求、的值； （2）求数列的通项； （3）设数列的前 项和为，求的取值范围． 19. 已知在 中，内角 的对边分别是 ，且满足，．函数，其中． （1）求 ； （2）记是的导数，讨论的单调性； （3）当时，设，若，使在时的单调性与时的单调性相反，则称 为的割线单调分界点，试求出的所有割线单调分界点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $